凸壳问题

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凸壳问题
凸壳问题的格雷厄姆（Graham ）扫描法
一、凸壳问题
1、凸壳的定义
定义：令S 是平面上的一个点集，封闭S 中所有顶点的最小凸多边形，称为S 的凸壳，表示为)(S CH 。

)(S CH 上的顶点，有时也叫做S 的极点。

2、凸壳问题 给定平面上n 个点的集合S ，求S 的凸壳)(S CH 。

二、思想方法
1、在平面点集S 中，寻找Y 坐标最小的点。

把它称为0p 。

2、以0p 为源点，对所有点的坐标进行变换。

3、对变换后的所有点，以0p 为源点，计算它们的极坐标幅角。

4、以幅角的非降顺序来排序}{0p S -中的点，令排序过的点为},,,{121-=n p p p T Λ，其中，1p 和1-n p 分别与0p 构成最小与最大的幅
角。

5、把点集T 中的元素，作为事件调度点进行扫描。

6、用堆栈CS 作为扫描过程中局部构成的半封闭凸多边形，把它
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作为扫描线状态维护。

7、堆栈初始化为},{01p p CS n -=，其中，0p 为栈顶元素。

8、按极坐标的幅角，从1p 开始，到1-n p 为止进行扫描。

9、扫描处理：
假定，在某一个时刻，堆栈内容为：
},,,,,{01k j i n p p p p p CS Λ-=
其中，k p 为栈顶元素，则栈中元素按顺序构成半封闭的凸多
边形。

令l p 是正在扫描的点，如果由j p 、k p 、l p 所构成的路径是左转
的，则由j p 、k p 、l p 形成的边是凸边，把l k p p 作为凸多边形中的
边加入进来，把l p 压入栈顶，把扫描线移到下一点；
如果由j p 、k p 、l p 所构成的路径是右转的，则由j p 、k p 、l p 形成的边是凹边，k p 不是凸壳的极点。

把k p 弹出栈顶，扫描线仍然
停留在l p 上。

在下一轮处理中，将由i p 、j p 、l p 进行判断和作出处理。

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格雷厄姆扫描法的实现
一、算法步骤：
1. 求平面点集S 中Y 坐标最小的点0p ；
2. 以0p 为源点，变换}{0p S -中所有点的坐标；
3. 以0p 为源点，计算}{0p S -中所有点的幅角；
4. 以幅角的非降顺序排序}{0p S -中所有的点，令事件调度点},,,{121-=n p p p T Λ是排序过的数组；
5. 初始化堆栈：令1]0[-=n p CS ，0]1[p CS =；令堆栈指针1=sp ，事件调度点数组T 的下标0=k ；
6. 如果1-<n k ，转7；否则，算法结束；
7. 按（11.1.7）式计算]1[-sp CS ，][sp CS ，][k T 所构成的三角区符号D ，若0≥D ，1+=sp sp ，][][k T sp CS =，1+=k k ；
转6；否则，1-=sp sp ；转6；
二、数据结构：
typedef struct {
float x; /* X 坐标 */
float y; /* Y 坐标 */
float ang; /* 极坐标的幅角 */
} SPOINT;
POINT S[n]; /* 平面点集 */
SPOINT T[n]; /* 按幅角的非降顺序排序的平面点集 */
POINT CS[n]; /* 构成凸壳的点集 */
三、算法的实现：
算法11.2 求平面点集的凸壳
输入：平面点集S[],顶点个数n
输出：构成凸壳的极点CS[];极点个数sp
1. void convex_hull(POINT S[],POINT CS[],int
n,int &sp)
2. {
3. int i,k;
4. float D;
5. SPOINT T[n];
6. for (i=1;i<n;i++)
/* S中Y坐标最小的点于S[0]*/
7.if
(S[i].y<S[0].y)||((S[i].y==S[0].y)&&(S[i].x<S
[0].x)))
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8. swap(S[i],S[0]);
9. for (i=1;i<n;i++) {
/* 以S[0] 为源点,变换S[i]的坐标于T[i] */
10. T[i－1].x = S[i].x – S[0].x;
T[i].y = S[i].y – S[0].y;
11. T[i－1].ang = atan(T[i－1].y,T[i－1].x); /* 求T[i]的幅角 */
12. }
13. sort(T,n－1);
/* 按T[i]幅角的非降顺序排序T[i] */
14. CS[0].x = T[n-2].x; CS[0].y = T[n-2].y;
15. CS[1].x = 0; CS[1].y = 0; sp = 1; k = 0;
16. while (k<n-1) {
/* 求栈顶两点及扫描线上一点所构成的三角区符号 */ 17. D = CS[sp-1].x*CS[sp].y + CS[sp].x*T[k].y + T[k].x*CS[sp-1].y
18. - CS[sp-1].y*CS[sp].x - CS[sp].y*T[k].x - T[k].y*CS[sp-1].x;
19. if (D>=0)
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20. CS[++sp] = T[k++];
/* 若D≥0,T[k]压入栈顶，扫描线前移一点 */
21. else sp--; /* 否则,弹出栈顶元素 */
22. }
23. }
四、复杂性分析
1、数据复杂性：
第6～8行及9~12行，各需)
Θ时间；
(n
第13行的排序操作，需)
O时间；
n
log
(n
第16~22行的while循环，需)
Θ时间。

(n
因此，算法的时间复杂性是)
O。

n
log
(n
2、空间复杂性：
用于输入的平面点集、用于输出的凸壳极点需要)
Θ空间
(n 事件调度点数组，需要)
(n
Θ空间。

6。