n n 1|.|成立的条件是基矢集{}>n |组成正
交、归一、完备系，任意态矢均可按{}>n |唯一展开><>>=>=
∑∑
A n n n A A n
n n
||||，由于
>A |为任意态矢，故得到∑∑=><=n
n
n n n P 1||，此式可作为完全集的定义式，称为封闭性
关系。
22、简述定态微扰论的基本思想。
解答：量子力学体系的哈密顿算符∧
H 不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程 ψψE H =∧
时，若可
以把不显函时间的∧H 分为大、小两部分∧
∧∧
'+=H H
H )
0( ||||)
0(∧
∧
'>>H H
，其中 )0()0()0()
0(n n n E H
ψψ=∧，即
∧
)
0(H
的本征值)0(n E 和本征函数)
0(n ψ是可以精确求解的，或已有确定的结果。
满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数λ（10<<λ），将微扰写成 ∧
'H λ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以λ的幂级数展开
???+++=+++=ΛΛ
)
2(2)1()0()
2(2)1()0(n n n n
n n n n E E E E ψλλψψψλλ )
0(n
E
与)
0(n ψ
称为零级近似能量和零级近似波函数，
是未受微扰时∧
)
0(H
的本征能量和本征函数，也是我们求解
微扰问题的必备基本条件，后面各项按λ的幂次称为一级修正、二级修正、…。 23、非简并定态微扰论的适用条件是什么？
解答：非简并定态微扰论的适用条件为||||)
0()0(m n mn E E H -<<'，一是要求微扰本身应很小，二是要求能级间隔||)
0()0(m n E E -较大。
24、证明：非简并定态微扰中，基态能量的二级修正永为负值。 解答：能量的二级修正)
0()0(2)
2(||m
n nm m
n
E E H E
-''=∑
，若)
0(n E 为基态能量，当然其数值为最小，因而在求和中n m ≠的任一项0)0()0(<-m n E E ，故)
2(n E 永为负值。
25、简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？什么条件下，简并能级情况可用非简并态微扰处理？ 解答：简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是零级近似能量给定后，对应的零级近似波函数
一般说来是不能完全确定的。对于f 度简并能级,)0(k E 如选择的f 个独立的)
0(αψk 已使H '对角化， 即αβαββαδψψH H k k '>='<)
0()0(||，此时αααH E k '=)1(，对应的零级近似波函数为)0(αψk ，虽然能级)0(k E 是
简并的，仍可用非简并定态微扰论处理一级近似问题。
26、若总哈密顿量∧H 在0∧H 表象中为非对角矩阵，物理上意味着什么？若∧H 在0∧
H 表象中为对角矩阵，又意
味着什么？
解答：∧H 在0∧H 表象不是对角矩阵，表示二者不对易，显然∧'H 和0∧
H 亦不对易，无共同本征态， 这时需要另求∧H 的本征态。若∧H 在0∧H 表象中为对角矩阵，说明二者对易，这时∧'H 和0∧
H 亦对易， 即0∧
H 的本征态是它们的共同本征态，使求解大为简化。
27、量子跃迁问题与定态微扰在研究目标和处理方法上有何不同?
解答：定态微扰和量子跃迁是量子力学中两个不同类型的问题，在研究目标和处理方法上都不一样。定态微扰处理定态问题，考虑加入微扰后如何求出体系总哈密顿量的本征值和本征函数的修正项，其出发点是定态薛定谔方程。量子跃迁是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间的变化问题，是依据含时薛定谔方程
),()
,(t x H t
t x i ψψ=??η
具体计算量子态之间的跃迁几率问题。一般说来，这两类问题都需要运用近似方法求解。
28、自旋可在坐标空间中表示吗？它与轨道角动量性质上有何差异？ 解答：（1）自旋是内禀角动量，它不能在坐标空间中表示出来。
（2）轨道角动量是微观粒子的外部空间角动量，它可在坐标表象中表示出来，量子数为整数，本征态为球谐函数；自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋函数需用多分量波函数表示。此外，二者的旋磁比不同。
29、电子z S 的本征态常被写为???? ??=01α，???
?
??=10β；它们的含义是什么？
解答：z S 的本征态是自旋波函数????
??=b a χ的特例。由于在z S 的本征态中，本征值仅有2η±与量子数21
±=s m 对应，分别记为???? ??==01)(21αχz s ，????
??==-10)(2
1βχz s ；βα,是电子的两个线性独立的自旋态，组成一组正
交完备基矢，以此为基矢的表象为z S 表象。任一自旋态???
?
??=b a χ在z S 表象中可展开为βαχb a +=。
30、对于自旋为1/2的粒子，是否存在态???
?
??=b a χ，在其中0===z y x S S S ？
解答：首先令在?
??
? ??=b a χ态中，()
0100122**=-=???? ?????? ??-==+b a b a b a z z χσχσ 设δi e b a 21,21==
，得???
?
??=δχi e 121； 再由0cos 0=?=δσx 0sin 0=?=δσy 由于δ无法同时满足0sin cos ==δδ，所以，对于自旋为1/2的粒子，使
0===z y x S S S 态是不存在的。
31、微观粒子的全同性原理表述为：“全同粒子体系中，体系的物理状态不因交换任意两个粒子而改变”。问：
（1）“物理状态”是指宏观态还是微观态？ （2）“交换任意两个粒子”的准确含义是什么？ （3）它与全同粒子的不可区分性有什么联系？ 解答：
（1）物理状态不变是指体系的微观态和宏观态都不因全同粒子间的交换而改变，全同性原理中强调的是微观态（量子态）的不变；
（2）交换任意两个粒子是指在描述全同粒子体系状态的波函数中交换两个粒子的包括自旋在内的全部坐标；
（3）实质相同。所以，全同性原理往往也被称为不可区分（分辨）原理。
1、二维空间哈密顿算符∧
H 在能量表象中的矩阵表示为
???
? ??=)0(2)
0(1E a
a E H 其中a 为实数。
（1）用微扰公式求能量至二级修正； （2）求能量精确解。
解：（1）首先看∧
H 的矩阵元
>'<+>>=<=<∧
∧
∧
n H m n H
m n H m H mn ||(|||)
0(
mn
mn n n H E n H m n m E
'+>='<+><=
∧
δ)
0()0(||| 即∧
)
0(H
在自身表象为对角矩阵，本问题H 可写为 ???
? ??+???? ??=000
0)0(2)
0(1a a E E H 于是可得微扰矩阵元 02211
='='H H a H H ='='2112 所以011
)
1(1
='=H E
∑≠-=-'=-'=1)0(2
)
0(12
)0(2)0(1221)0()0(121)
2(1||||m m m E E a E E H E E H E
)0(2
)
0(12
)
0(1)2(1)1(1)0(11
E E a E E E E E -+=++≈
同理可得 )0(1
)
0(22
)0(2
)2(2
)1(2
)0(2
2E E a E
E
E
E
E -+=++≈
（2）设∧
H 的本征矢为???? ??βα，则本征方程为 ???
?
??=???? ?????? ?
?βαβαE E a a E )0(2)
0(1
即有 ?
??=-+=+-0)(0
)()
0(2)0(1βαβαE E a a E E α、β有非零解的条件是
0)
0(2)0(1=--E
E a
a
E
E 由此可得关于本征值E 的二次方程
0]))([()(2)
0(2)0(1)0(2)0(12
=-++-a E E E E E E
故本征值为
{}
]))([(4)(2
12)0(2
)0(12)0(2)0(1)0(2)0(1a E E E E E E E --+±+= 将根号整理展开得
Λ+-+-=+-)0(2
)0(12
)0(2
)0(122)0(2)
0(1
24)(E E a E E a E E 所以?
?????+-+-±+=
Λ)0(2)0(12
)
0(2)0(1)0(2)0(12(21E E a E E E E E ???
????=+--=+-+=2
)
0(2)0(12
)0(21)
0(2)0(12
)0(1E E E a E E E E a E ΛΛ（10分） 六、假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B 沿z 轴正向，电子磁
矩在均匀磁场中的势能：V B μ=-?r
r ，这里2s e
e g s m μ=-r r ，（2s g =）为电子的磁矩。 （1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：?i H t
χχ?=?h ； （2）假设0t =时，电子自旋指向x 轴正向，即2x s =
h ，求0t >时，自旋s r
的平均值； （3）求0t >时，电子自旋指向y 轴负向，即2
y s =-h
的几率是多少？
解：（1）因不考虑电子轨道运动，222s
z z B z e e e e H T V g B B B m m σσμσ=+===h h ；这里2B e
e m μ=h
，是玻尔磁子。
所以哈密顿为：???? ??-==B B B H B B z B μμσμ00，薛定谔方程为00B B B i B t μχχμ???= ?-???h
（2）在z σ表象中求解，自旋波函数可表示为：
1001a a b a b b χχχ↑↓??????==+=+ ? ? ??????? ，00B B B a a i B b b t μμ???????= ? ? ?-???????h ，()()()()
B B i a
t Ba t i b t Bb t μμ?=??=-??&h &
h ()()()0exp 0i t B B a t a t a e i ωμ-??==????h ，()()()0exp 0i t B B b t b t b e i ωμ??
=-=????h ，2B e B eB m μω==h 。
设0t =时，电子的自旋指向x 轴正向，即???
?
??=
1121)0(χ 21)0()0(==b a 所以 (
)i t i t e t e ωωχ-??
=??
时刻t
)
)
22
01
10
22
11
cos2
2222
i t i t
i t i t i t i t
x i t i t
i t i t
s
e e t
ωω
ωωωω
ωω
ωωω
--
--
-
??
??
??
==
???
??????
??
=+=
?
??
h h
h h
)
)
22
22
11
sin2
2222
i t i t
i t i t i t i t
y i t i t
i t i t
i
s
i
i e e t
ωω
ωωωω
ωω
ωωω
--
--
-
??
-
??
??
==
???
??????
??
=-=
?
??
h h
h h
)
)
1011
01
22222
i t i t
i t i t i t i t
z i t i t
s
ωω
ωωωω
ωω
--
--
??
????
??
===-=
? ?
??
-??
??????
h h h
所以：()cos2sin20
22
x y
s t e t e t
ωω
=++
h h
r r r
（3）假设t时刻，
2
y
s=-
h
的几率为P，则
2
y
s=
h
的几率为1P
-，
()
1sin2
2222
y
s P P P tω
??
=-+-=-+=
?
??
h h h h
r
h，所以：
1sin2
2
t
P
ω
-
=
3、（20分）中子n和反中子n的质量都是m，它们的态矢>
n|和>
n|可以看成是一个自由哈密
顿量
H的简并态：>
>=n
mc
n
H|
|2
>
>=n
mc
n
H|
|2
设有某种相互作用H'能使中子与反中子互相转变：>
>=
'n
n
H|
|α>
>=
'n
n
H|
|α其中，*
α
α=。试求0
=
t时刻的一个中子在t时刻变为反中子的几率。
解：选取
H表象，基矢为>
>=n|
1|>
>=n|
2|则
∧
∧
∧
'
+
=H
H
H
在
H表象的矩阵元
>=
'
+
=<
∧
∧
1|
|1
11
H
H
H2
|
|mc
n
H
H
n>=
'
+
<
∧
∧
α
>=
'
+
<
∧
∧
n
H
H
n|
|
α
=
=*
12
21
H
H
>=
'
+
=<
∧
∧
2|
|2
22
H
H
H2
|
|mc
n
H
H
n>=
'
+
<
∧
∧
（5分）定态方程>
>=
∧
ψ
ψ|
|E
H即??
?
?
?
?
=
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
2
1
2
1
2
2
c
c
E
c
c
mc
mc
α
α
求解可得α
+
=2
1
mc
E)
|
(|
2
1
1
1
2
1
|
1
>
+
>
=
??
?
?
?
?
>=n
n
ψ
α-=2
2mc E )|(|2
11121|2>->=???? ??->=n n ψ （5分） 从而可写出 >+>>=--2/1/||)(|21ψψψηηt iE t iE Be Ae t
已知 ????
??>=+>>=01||)0(|2211ψψψc c （中子态）
则 ()21011121
)0(|11=???
? ??>=
=<ψψc ()21011121
)0(|22=???
? ??->=
=<ψψc （5分） 所以 >+
>>=
--2/1/|2
1|2
1)(|21ψψψηηt iE t iE e e t
????
?????? ??-+???? ??=
--111121///2ηηηt i t i t imc e e e αα ????
?? ?
?
-=-ηηηt i t e
t imc ααsin cos /2 ?????????? ??-???? ??=-10sin 01cos /2ηηηt i t e t imc αα ?
??
???>->=-n t i n t e
t imc |sin |cos /2ηηη
αα
由此可见t 时刻n n →的几率为η
t
α2sin （5分）
六、（30分）无限高势阱中的粒子
质量为m 的一个粒子在边长为a 立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：
()()()0,0,;0,;0,,x a y a z a V others
∈∈∈??=?∞??
（1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法（()()()(),,x y z X x Y y Z z ψ→）求系
统能量本征值和归一化波函数；
（2）求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态简并度。 （3）假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多
少？并写出归一化系统基态波函数（提示：要考虑电子自旋）；
（4）假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能
是多少？并写出归一化系统基态波函数。
解：（1）定态薛定谔方程：()()22
,,,,2x y z E x y z ψψμ
-?=h 分离变量：()()()(),,x y z X x Y y Z z ψ=，x y z E E E E =++
()()()()()()222222
222
222x y z d X x E X x dx d Y y E Y y dy d Z z E Z z dz μμμ?-=????-=????-=??
h h h ；(
)(
)(
)m x X x a n y Y y a l z Z z a πππ???
=? ????
??
??=? ????????= ?????；222
22222
222
2
222x y z E m a E n a E l a πμπμπμ?=????
=???=???
h h h ()3/2
2,,sin sin sin m x n x l x x y z a a a a πππψ??
??????= ?
? ? ???
??????
()22
22222mnl
E m n l a
πμ=++h ，,,1,2,3,...m n l = 基态：22
01112
32E E a
πμ==h ，基态波函数： ()()(
)()()()()11221111111112223
1112221212,;,,,,,2sin sin sin sin sin sin A A
z z z z z z r s r s x y z x y z x y z x y z a a a a a a a s s s s ψψψχππππππχχχχ↑↓↓↑=??????????????
= ? ? ? ? ? ? ???????????????-??v v
（6分） （2）系统基态能量：22
01112
32E E a πμ==h ，简并度：1
第一激发态能量：221211121112
2
3E E E E a πμ====h ，简并度：3 （6分） （3）电子是费米子，波函数应是反对称的：
()()()11221212,;,,,A S A z z z z r s r s r r s s ψφχ=v v v v
由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；
（8分）
（4）玻色子可占据相同态，基态：22
01112
32E E a
πμ==h ，基态波函数：
()()()
121111*********
111222,,,,,2sin sin sin sin sin sin S r r x y z x y z x y z x y z a a a a a a a ψψψππππππ=??????????????
= ? ? ? ? ? ? ???????????????
v v
（8分）
五、（20分）中子n 和反中子n 的质量都是m ，它们的态矢>n |和>n |可以看成是一个自由哈密顿量0H 的简并态： >>=n mc n H ||20 >>=n mc n H ||20设有某种相互作用H '能使中子与反中子互相转变： >>='n n H ||α >>='n n H ||α其中，*αα=。试求0=t 时刻的一个中子在t 时刻变为反中子的几率。
解：选取0H 表象，基矢为>>=n |1| >>=n |2| 则∧
∧∧'+=H H H 0在0H 表象的矩阵元 >='+=<∧∧1||1011H H H 20||mc n H H n >='+<∧
∧
α>='+<∧
∧n H H n ||0 α==*
12
21H H >='+=<∧∧2||2022H H H 20||mc n H H n >='+<∧
∧ （5分）
定态方程 >>=∧ψψ||E H 即???
?
??=????
?????? ?
?212122
c c E c c mc mc α
α 求解可得 α+=21mc E )|(|2
11121|1>+>=???? ??>=
n n ψ α-=22mc E )|(|2
11121|2>->=???? ??->=
n n ψ （5分） 从而可写出 >+>>=--2/1/||)(|21ψψψηηt iE t iE Be Ae t
已知 ????
??>=+>>=01||)0(|2211ψψψc c （中子态）
则 ()21011121
)0(|11=???
? ??>=
=<ψψc ()21011121
)0(|22=???
? ??->=
=<ψψc （5分） 所以 >+
>>=
--2/1/|2
1|2
1)(|21ψψψηηt iE t iE e e t
???
?
?????? ??-+???? ??=--111121///2ηηηt i t i t imc e e e αα ????
?? ?
?
-=-ηηηt i t e
t imc ααsin cos /2 ???
?
?????? ??-???? ??=-10sin 01cos /2ηηη
t i t e
t imc αα ?
??
???>->=-n t i n t e t imc |sin |cos /2ηηηαα
由此可见t 时刻n n →的几率为η
t
α2sin （5分）
四、（30分）无限高势阱中的粒子
质量为m 的一个粒子在边长为a 立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：
()()()0,0,;0,;0,,x a y a z a V others
∈∈∈??=?∞??
（1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法（()()()(),,x y z X x Y y Z z ψ→）求系
统能量本征值和归一化波函数；
（2）求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态简并度。 （3）假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多
少？并写出归一化系统基态波函数（提示：要考虑电子自旋）；
（4）假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能
是多少？并写出归一化系统基态波函数。
解：（1）定态薛定谔方程：()()22
,,,,2x y z E x y z ψψμ
-?=h 分离变量：()()()(),,x y z X x Y y Z z ψ=，x y z E E E E =++
()()()()()()222
222
222222x y z d X x E X x dx d Y y E Y y dy d Z z E Z z dz
μμμ?-=????-=????-=??h h h ；(
)(
)(
)m x X x a n y Y y a l z Z z a πππ?
??
=? ????
??
??=? ????
?
???= ?????；222
22222
222
2
222x y z E m a E n a E l a πμπμπμ?=????
=???=???
h h h
()3/2
2,,sin sin sin m x n x l x x y z a a a a πππψ??
??????= ?
? ? ???
??????
()222222
2mnl
E m n l a
πμ=++h ，,,1,2,3,...m n l = 基态：22
01112
32E E a πμ==h ，基态波函数：
()()(
)()()()()11221111111112223
1112221212,;,,,,,2sin sin sin sin sin sin A A
z z z z z z r s r s x y z x y z x y z x y z a a a a a a a s s s s ψψψχππππππχχχχ↑↓↓↑=??????????????
= ? ? ? ? ? ? ???????????????-??v v
（2）系统基态能量：22
01112
32E E a πμ==h ，简并度：1
第一激发态能量：221211121112
2
3E E E E a
πμ====h ，简并度：3 （3）电子是费米子，波函数应是反对称的：
()()()11221212,;,,,A S A z z z z r s r s r r s s ψφχ=v v v v
由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；
（4）玻色子可占据相同态，基态：22
01112
32E E a πμ==h ，基态波函数：
()()()
121111*********
111222,,,,,2sin sin sin sin sin sin S r r x y z x y z x y z x y z a a a a a a a ψψψππππππ=??????????????
= ? ? ? ? ? ? ???????????????
v v
量子力学思考题及解答
1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
中国电子科技大学量子力学典型考题.doc
电子科技大学二零零 七 至二零零 八 学年第 1 学期期 末 考试 量子力学 课程考试题 A 卷 （ 120 分钟） 考试形式： 闭卷 考试日期 200 8年 月 日 课程成绩构成：平时 20 分， 期中 10 分， 实验 0 分， 期末 70 分 一、填空（每空2分，共30分） 1、德布罗意关系为： k p E ==ω 。（没有写为矢量也算正确） 2、量子力学的状态由 波函数 描述，在体系空间r 点处小体积元d τ内粒子出现的几率与 波函数模的平方 （|Ψ|2） 成正比。 3、非简并状态加上微扰后，能级会发生 移动 ；而简并状态加上微扰后，能级会发生 分裂 。 4、任意两个力学量A 和B 有共同的本征函数，则]?,?[B A = 0 ，表明A ?和B ? 对易 。 5、力学量F 的算符是 厄密 算符，其本征函数系组成 正交归一完备系 。 6、费米子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换反对称 ，玻色子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换对称 。 7、泡利不相容原理指 任何两个全同费米子不能处于完全相同的状态 。 8、一维线性谐振子的量子数取n 的波函数为ψn (x)，其定态薛定谔方程为 )()()2 2(2222x E x x k dx d m n n n ψψ=+- ，与ψn (x)相对应的能量为ω )2/1(+n 。 9、粒子处于三维无限深势阱中，能量为)(22 322212 2 2n n n ma E ++= π，能量最低的三个能态的简并度分别 为 1，3，3 。（答对1或2个给1分，3个全对给2分） 二、简答题（每小题5分，共20分） 1、写出至少五个力学量的算符。 ?-===== i p r r z z y y x x ,,,, （任意5个，正确一个1分） 2、简述测不准原理及其意义。 （答对1或2个给1分，3 个全对给2分）
高等量子力学复习题
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
量子力学试题
量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n ma E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1） 首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???????????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12 =c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-=
能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为 ()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。 解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20= += α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 ' 2 32ψψψψ== 得到
量子力学考试题
量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0（a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2ηω［1001-］+2ην［0110］＝2η［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2η λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2η22νω+，E 2＝2η 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22 E 1≈-2η［ω+ων22］，E 2 ＝2η ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ωη21± ，取E 1（0）＝-ωη21，E 2（0） ＝ωη21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为
高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
量子力学教程课后习题答案
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学期末考试题解答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
中国人民大学《617量子力学》考研真题详解
中国人民大学《617量子力学》考研真题详解 2021年中国人民大学理学院物理系《617量子力学》考研全套 目录 ?全国名校量子力学考研真题汇编 ?2021年量子力学考研真题精解精析50题 说明：本科目考研真题不对外公布（暂时难以获得），通过分析参考教材知识点，精选了有类似考点的其他院校相关考研真题，以供参考。 2．教材教辅 ?曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】 ?曾谨言《量子力学导论》（第2版）网授精讲班【39课时】说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。
? 试看部分内容 2021年量子力学考研真题精解精析50题1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚 在谐振子势中，因此其哈密顿量为。假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。 （1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数； （2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。（注意：参数在不同范围内，情况会不同） [浙江大学2014研]【解题思路】 ①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中 的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。 ②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用， 利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。
③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。 【解析】 （1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量 由薛定谔方程 得本征能量为 本征波函数为 两粒子间有相互作用 设 因此 即
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
河师大量子力学考题
一、填空题 1．玻尔的量子化条件为。 2．德布罗意关系为。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率 为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率 为。 6．波函数的标准条件为。 7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。 8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。 9．力学量算符应满足的两个性质是。 10．厄密算符的本征函数具有。 11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。 12.______;_______;_________。 28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。 13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．为氢原子的波函数，的取值范围分别 为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。 19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符 与态矢量的关系为__________。 20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。 21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。 21．设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，则系 数c的取值为，的可能值为 ，本征值为出现的几率为。 22．原子跃迁的选择定则为。 23．自旋角动量与自旋磁矩的关系为。 24．为泡利算符，则，， 。 25．为自旋算符，则，， 。 26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________， _______________________________。 27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是 ______________。 27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
量子力学思考题及解答
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 — 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
量子力学期末考试试卷及答案集复习过程
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
哈工大考研量子力学试题
2.2.3 2008年真题 【题目】1. 轨道角动量的三个分量x L ，y L 和z L 是否有共同本征态？若果有， 写出一个来；如果没有，请说明为什么 【解题】 没有，^^^ ,x y z L L i L ?? =???? 不对易，故无共同本征态 【分析】 本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。属于 基础概念的考核。对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。 【题目】2. 已知哈密顿量2 21()2H V r μ =- ?+的本征值为n E ，相应的本征函数 为()n r ?，求2 22()2H V r C μ =- ?++的本征值和本征函数（C 为常数）。 【解题】 ^ 1^^^ 211()() ()()()()()()()()() n n n n n n n n n n n n H r E r H r H C r H r C r E r C r E C r ?????????==+=+=+=+ 由上式知，^ 2H 的本征函数为()n r ?，本征值为n E C + 【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出 相关结果
【题目】3. 计算对易关系2[,]?;[,]?z x y z p L L iL L =+= 【解题】 （1） 22^^^^^^^^^^^^ ^^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ,,,,()()()0 z z z z y x y x y x x y y x x y p L L p L p p p L p i p i i p j p p i p i i p j i p p p p p p p p ????????=-=--???????? ???????????? =----=--+-= （2） ^^^^^^^^^ ,,,x y z x z y z y x L i L L L L i L L i L i L ?????? +=+=+???????????? 【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与 动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如 ?? ? ???+??????=??????∧∧∧∧∧∧∧∧∧C A B C B A C ,,B A ，，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算符表示出来，并化简得出结果 【题目】4. 利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。 【解题】 2222 (),()x x x p p p =-=- 对线性谐振子 0x p == 2222,x x p p ∴==
高等量子力学考试知识点
1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符
渤海大学《629量子力学》考研真题详解
渤海大学《629量子力学》考研真题详解 2021年渤海大学物理科学与技术学院《629量子力学》考研全套 目录 ?全国名校量子力学考研真题汇编 说明：本科目考研真题不对外公布（暂时难以获得），通过分析参考教材知识点，精选了有类似考点的其他院校相关考研真题，以供参考。 2．教材教辅 ?周世勋《量子力学教程》（第2版）笔记和课后习题（含考研真题）详解?周世勋《量子力学教程》（第2版）配套题库【考研真题精选＋章节题库】说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。 ? 试看部分内容
绪论 1.1 复习笔记 在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。黑体辐射、光电效应和固体的比热等一系类问题是经典物理无法解释的。之后的旧量子论包括玻尔理论、爱因斯坦的光量子和德布罗意波粒二象性假说给物理学的发展带来了希望，它们也为量子力学的发展奠定了基础。现代物理学中的两大支柱（量子力学、相对论）逐步验证并解释物理实验中的现象的同时，量子力学自身也在不断完善，并发展出了电磁场量子化理论、解释光子原子相互作用的量子电动力学、应用于原子中核子相互作用的量子色动力学理论，以及当下试图对引力场解释的超弦理论。所以，不论是为了备考还是为了将来的物理学科研，学习好量子力学是十分重要的。量子力学是现代物理学的基石，也是物理科研必备的工具。 【本章重难点】 1．了解经典物理的成功和所面临的危机，以及量子力学的发展历史； 2．掌握德布罗意波粒二象性关系； 3．熟练运用玻尔-索末菲量子化条件。 一、波粒二象性（见表1-1-1）
量子力学考试题
量子力学考试题
量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0' 11 H =0，'22 H =0，'12H ＝'21 H ＝ν η21 E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12 '21 E E H -＝-ωη21+0-ωνηη2241＝-ωη21-ων241η E 2＝E 2 （0） +' 22H + )0(1)0(22'12 E E H -＝ωη21 +ων241η 4、E 1＝2 22 2ma ηπ，)(1x ψ＝?????0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00 x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 20 2a dx a x x a a =?π x p ＝-i η?=a dx dx d 011ψψ-i ?=a a x d a 020)sin 21(2πη x xp ＝-i η??-=a a a x d a x x a i dx dx d x 00 11)(sin sin 2ππψψη ＝ ?-a a x xd a i 02) (sin 1πη ＝0sin [12a a x x a i πη--?a dx a x 0 2]sin π ＝0+?=a i dx ih 0 2 122ηψ 四项各5分 5、（i ），（ii ）各10分 （i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。 ),(21→ →r r ψ有：)(1→ r a ψ→ )(2r a ψ，)(1→ r b ψ→ )(2r b ψ，)(1→ r c ψ→ )(2r c ψ， )] ()()()([21 2121→ →→→+r r r r a b b a ψψψψ a c c a b c c b 共6种。 （ii ）s ＝21 ，单粒子态共6种： ? ?????0 1a ψ， ? ?????1 0a ψ， ? ?????0 1b ψ， ? ?????1 0b ψ， ? ?????0 1c ψ， ? ?????1 0c ψ。
