量子力学考试题
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量子力学考试题
（共五题，每题20分）
1、扼要说明：
（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧
F ，∧
G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧
F ），试证明：
（a ）∧
K 的本征值是实数。
（b ）对于∧
F 的任何本征态ψ，∧
K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2
G ≥K
3、自旋 /2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为
S H ˆˆω=
∧
H ＝ω∧
z S +ν∧
x S （ω，ν>0，ω»ν）
（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧
x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→ r )，b ψ(→ r )，c ψ(→ r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。 （i ）无自旋全同粒子。 （ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。 量子力学考试评分标准 1、（a ），（b ）各10分 （a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ∆＝1±，m ∆＝0,1±，s m ∆＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2 λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22 νω+，E 1＝-2 2 2 νω+，E 2＝2 22νω+ 当ω»ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22 E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2 ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ω 21± ，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0） ＝ω 21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 '11H =0，'22H =0，'12H ＝' 21H ＝ν 21 E 1＝E 1 （0）+' 11H + )0(2)0(12 '21 E E H -＝-ω 21+0-ων 2241＝-ω 21-ων241 E 2＝E 2（0）+' 22H +)0(1 )0(22 ' 12 E E H -＝ω 21+ων241 4、E 1＝2 22 2ma π，)(1x ψ＝⎪⎩⎪⎨⎧0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00 x ＝dx x a ⎰02 1 ψ＝2sin 20 2a dx a x x a a =⎰π x p ＝-i ⎰=a dx dx d 11ψψ-i ⎰=a a x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ⎰⎰-=a a a x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝ ⎰-a a x xd a i 02) (sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --⎰a dx a x 0 2]sin π ＝0+⎰=a i dx ih 0 2 122 ψ 四项各5分 5、（i ），（ii ）各10分 （i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。 ),(21→ →r r ψ有：)(1→ r a ψ→ )(2r a ψ，)(1→ r b ψ→ )(2r b ψ，)(1→ r c ψ→ )(2r c ψ， )] ()()()([21 2121→ →→→+r r r r a b b a ψψψψ a c c a b c c b 共6种。 （ii ）s ＝21 ，单粒子态共6种： ⎥ ⎦⎤⎢⎣⎡0 1a ψ， ⎥ ⎦⎤⎢⎣⎡1 0a ψ， ⎥ ⎦⎤⎢⎣⎡0 1b ψ， ⎥ ⎦⎤⎢⎣⎡1 0b ψ， ⎥ ⎦⎤ ⎢⎣⎡0 1c ψ， ⎥ ⎦⎤⎢⎣⎡1 0c ψ。