【】数学物理方法试卷(全答案)

嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题

一、简答题（共70分）

1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（6分）

解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。

无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。

2、奇点分为几类如何判别（6分）

在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。

判别方法：洛朗级数展开法

A，先找出函数f(z)的奇点；

B，把函数在的环域作洛朗展开

1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点；

2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点；

3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。

3、何谓定解问题的适定性（6分）

1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。

4、什么是解析函数其特征有哪些（6分）

在某区域上处处可导的复变函数

称为该区域上的解析函数.

1）在区域内处处可导且有任意阶导数.

2）()()⎩⎨⎧==2

1,,C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u ,和()y x v ,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数)

4）在边界上达最大值。

4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6分）

数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。

5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分）

()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==-⎰⎰⎰∞

∞∞-∞∞

-)

()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f ϖϖ

ϖϖδδδ

6、写出复数2

31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3

sin 3cos 231cos sin 2

321isin cos 222ππϕ

ϕρϕϕρi i i +=++=+=+

指数形式：由三角形式得：

313πρπϕi e z ===

7、求函数

2)

2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解：

奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2

1)2)(1()1(lim Re 21)1(=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---=→z z z z sf z 1)1(1lim )2)(1()2(!11lim

Re 22222)2(\-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=→→z z z z z dz d sf z z 8、求回路积分 dz z

z z ⎰=13cos （8分）

解：)(z f 有三阶奇点z=0（在积分路径内）

[]21-cosz lim z cosz !21lim Re 033220)0(\==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=→→z z z dz d sf ∴原积分=i i sf i πππ-=-=)2

1(2)0(Re 2

9、计算实变函数定积分

dx x x ⎰∞∞-++1

142（8分） 解：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=++=)1(22)1(22)1(22)1(22111)(242i z i z i z i z z z z z f 它具有4个单极点：只有z=)1(22i --和z=)1(2

2i +在上半平面，其留数分别为：

π

π2)221

221

(2I 221)

1(22)1(22)1(221lim Re 221)1(22)1(22)1(221lim Re 20))1(22(\20))1(22(\=+=∴=⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

--+==⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=→+→--i i i i

i z i z i z z sf i i z i z i z z sf

z i z i

10、求幂级数k k i z k

)(11-∑∞

= 的收敛半径（8分）

1

11

lim 1

11

lim lim 1≤-=+=+==∞→∞→+∞→i z k k k k

a a R k k k k k 所以收敛圆为

二、计算题（共30分）

1、试用分离变数法求解定解问题（14分）

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===><<=-====0

,2/100

,000002t t t l x x x x xx tt u x u u

u t l x u a u

令)()(),(t T x X t x u =，并代入方程得

⎪⎩⎪⎨⎧===-0)()(0)()0(0

''''2''t T l X t T X T X a XT 移项 λ-==X X T a T '

'2''

⎪⎩

⎪⎨⎧===+0)(0)0(0''''l X X X X λ和02''=+T a T λ x

C x C x X C x C x X e C e C x X x x λλλλλλ

λsin cos )(0)(0)(0212

121+=+==+=---时，方程的解为：＞在时，方程的解为：在时，方程的解为：＜在

由边界条件0)(0)0(''==l X X ，得： x l

n C x X l n n l l C l C l C l X C C X x

C x C x X C

Xx x X ππλπλλλλλλλλλλλλλλλcos )(0

sin 00

sin cos )(000)0(sin cos )(0(00

)(0122

2121'22'21'==→=∴=≠=+-==≠==+===≡（否则方程无解），，时，＞时，时，＜

)3,21(sin cos )()(000002''22

2Λ，得：的方程代人和把=⎪⎩

⎪⎨⎧+=+==+==n l at n B l at n A t T t B A t T T a T T l

n n n n ππλπλλ x l

n l at n B l at n A t B A t x U n n n πππcos )sin cos (),(100+∑++=∴∞= 由初始条件得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∑+-=∑+∞=∞=0cos 21cos 1010x l n l a n B B x x l n A A n n n n πππ 把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数得

⎰⎰⎰⎰⋅=⋅-==-=l n l n l l xdx l n a n B xdx l n x l A dx l B dx x l A 000

000cos 02cos )21(201)2

1(1πππ 得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=∴-=-=)2(0)12(4)1(cos 2212

2220k n k n n l A n n l

A l A n n πππ