2020高中数学---圆锥曲线中的面积问题

第72炼 圆锥曲线中的面积问题

一、基础知识：

1、面积问题的解决策略：

（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。

（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形

2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化

3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析

4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）

（1）椭圆：设P 为椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则

12

2tan

2

PF F S

b θ

=

（2）双曲线：设P 为椭圆()22

221,0x y a b a b

-=>上一点，且12F PF θ∠=，则

12

21cot

2

PF F S

b θ

=⋅

二、典型例题： 例1：设12,F F 为椭圆

2

214

x y +=的左右焦点，

过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________

思路：由椭圆中心对称的特性可知,P Q 关于原点中心对称，所以12PF F 与12QF F 关于原点对称，面积相等。且四边形12PF QF 可拆成12PF F 与12QF F 的和，所以四边形12PF QF 的面积最大即12PF F 面积最大，因为12

121

2

PF F p p S

F F y c y =

⋅=⋅，所以当p y 最大时，12PF F 面积最大。即P 位于短轴顶点时，12PF F 面积最大。由2214

x y +=可知

2,1,a b c ===所以(

)(

))

12

0,1,,P F F ，进而计算出12PF PF ⋅的值为2-

答案：2-

例2：已知点P 是椭圆22

16251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，直线2PF

的斜率为-，则12PF F 的面积是（ ）

A.

B.

C.

D.

思路：将椭圆化为标准方程为

22

110064

x y +=，进而可得6c =，所以()()126,0,6,0F F -，计算12PF F 的面积可以以12F F 为底，y P 为高，所以考虑利用条件计算出P 的纵坐标，

设(),P x y

，则有2

6PF y k x ==--

，所以22162516006

x y y

x y ⎧+=⎪

⎪=-⎨-⎪>⎪⎩

可解得y =

或19

y =-

（舍去）

，所以12

1211

1222

PF F S F F y =

⋅=⋅⋅= 答案：B

例3：已知F 为抛物线2

y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，

2OA OB ⋅=，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是（ ）

A. 2

B. 3

C.

8

D.

思路：由2OA OB ⋅=入手可考虑将向量坐标化，设()()1122,,,A x y B x y ，则

12122x x y y +=，进而想到可用韦达定理。所以设AB 与x 轴交于(),0M m 直线

:AB x ty m

=+。联立方程

220y x

y ty m x ty m

⎧=⇒--=⎨

=+⎩，所以

22

21212120,y y m x x y y m =-<==，所以由12122x x y y +=可得：222m m m -=⇒=，所

以

122

y y =-，不妨设

A

在

x

轴上方，如图可得：

()12112119

228

ABO AFO

S

S

OM y y OF y y y +=

⋅-+⋅=-，由122y y =-可知212y y =-，

消元后可得：1111

92922388ABO AFO

S S

y y y y +=

+≥⋅=，等号成立当且仅当14

3y =，所

以ABO

AFO

S

S

+的最小值为3

答案：B

例4：抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴

上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AFK 的面积是（ ） A. 4 B. 33 C. 43 D. 8 思路：斜率为3可知直线的倾斜角为

3

π

，从而可得3KAF π∠=，

所以在计算面积时可利用两边与夹角，所以可得

1sin 23

AKF

S

AK AF π

=

⋅，由抛物线性质可得AK AF =，所以只需求得焦半径AF ，即只需解出A 点横坐标。利用几何关系可

得1

2

A x OF FM OF AF =+=+，另一方面，由焦半径公式可得：1A AF x =+，所以可得方程：()1

132

A A A x OF x x =++⇒=，从而

14A AF x =+=，所以2

1sin 4323

AKF S AF π==

答案：C

小炼有话说：（1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为直线的倾斜角

3

π

，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运算更为简单。

（2）本题的A x 也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下： 由抛物线方程可得：()1,0F ，设():31l y x =-，联立方程：

()

()22431431y x

x x y x ⎧=⎪⇒-=⎨

=-⎪⎩，整理可得： 231030x x -+= 3x ∴=或1

3

x =