双向S-粗集系统不确定性的近似处理方法

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智能信息处理教材第五章粗糙集5.1,5.2

第五章粗糙集粗糙集（Rough Set ，RS ）理论是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析和处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。

该理论是由波兰学者Z.Pawlak 教授在1982年提出的[12]，1991年的Z.Pawlak 出版了第一本关于粗糙集的专著[51]，系统全面地阐述了RS 理论，奠定了严密的数学基础。

该书和1992年R.Slowinski 主编出版的关于粗糙集应用及其相关方法比较研究的论文集较好地总结了这一时期RS 理论与实践的研究成果[52]，促进了国际上对粗糙集理论与应用的深入研究。

从1992年至今，每年召开以RS 为主题的国际会议，推动了RS 理论的拓展和应用。

国际上成立了粗糙集学术研究会。

目前RS 理论已成为人工智能以及计算智能中一个较新的学术热点，且在机器学习、决策分析、数据挖掘和知识发现等领域得到了具体应用和发展，并引起越来越多的科研人员的关注[13,52,53]。

粗糙集理论主要研究属性约简和规则提取，为此，本章主要介绍知识约简、属性约简和规则提取等方法。

5.1 粗糙集的基本概念5.1.1 知识表达系统为了处理智能数据，需要知识的符号表达，而知识表达系统（KRS ）的基本成分是研究对象的集合，因此可以表达为：),,,(f V Q U K = （5.1.1）这里，U 是论域，即为对象的集合；Q 是属性集合，分为条件属性集C 和决策属性集D ，Q =C U D ，C ID =∅； a Q a V V ∈=U 是属性值的集合，a V 表示了属性Q a ∈的范围；f 是V Q U →×的映射。

知识表达系统K 有时可以简写为：K =(U ,Q )，它常用表格表达或决策表来实现。

5.1.2 不可辨识关系对于y x ,∈U ，P ⊆Q ，如果满足∀q ∈P :)()(y f x f q q =，则称对象x y 、对于属性集合P 是不可辨识的。

粗糙集理论的模型构建方法及其预测性能评估

粗糙集理论的模型构建方法及其预测性能评估引言：粗糙集理论是一种基于不完全信息的数据分析方法，它可以处理不确定性和模糊性问题，并在决策和预测中发挥重要作用。

本文将介绍粗糙集理论的模型构建方法以及如何评估其预测性能。

一、粗糙集理论的模型构建方法1. 粗糙集理论的基本概念粗糙集理论最基本的概念是等价关系和上近似集、下近似集。

等价关系是指在给定条件下，某个对象的属性值相同，上近似集是指在给定条件下，某个对象的属性值不确定，下近似集是指在给定条件下，某个对象的属性值确定。

通过等价关系和近似集，可以对数据进行粗糙划分。

2. 特征选择特征选择是粗糙集理论中的一个重要步骤，它通过选择最重要的特征来减少数据集的维度。

特征选择可以基于信息增益、相关性等指标进行，选取具有较高区分度的特征。

3. 粗糙集约简粗糙集约简是指通过删除冗余的属性，减少数据集的复杂性，提高数据处理的效率。

约简的目标是找到最小的等价类，使得约简后的数据集仍能保持原始数据集的重要信息。

4. 粗糙集分类模型构建粗糙集分类模型构建是通过学习已知类别的样本，建立一个分类模型，用于对未知类别的样本进行分类。

常用的分类算法有基于规则的分类算法、基于决策树的分类算法等。

二、粗糙集理论的预测性能评估1. 交叉验证交叉验证是一种常用的评估粗糙集模型性能的方法。

它将数据集划分为训练集和测试集，通过训练集训练模型，再通过测试集评估模型的预测性能。

常见的交叉验证方法有k折交叉验证、留一交叉验证等。

2. ROC曲线ROC曲线是一种评估分类模型性能的图形化方法。

它以真正例率（True Positive Rate）为纵轴，假正例率（False Positive Rate）为横轴，通过绘制不同阈值下的真正例率和假正例率，可以评估模型在不同阈值下的预测性能。

3. 混淆矩阵混淆矩阵是一种评估分类模型性能的表格方法。

它以实际类别和预测类别为行列，通过统计真正例、假正例、真负例、假负例的数量，可以计算出模型的准确率、召回率、F1值等指标。

单向S-粗模糊集对偶及其结构

（．）１３
论是基于经典集合的。一集具有三类形式：单向ｓ粗
将筒记为＝１Ｘ＝Ｕ＋，Ａ３Ａ
＾ｅＯ１【，】＾【，】ＥＯ１
（．１）４
１单向Ｓ粗集对偶及其结构．２一
收稿日期：０７１一１２Ｏ— Ｏ８
性问题的重要理论，知识发现的理论与应用研究在
中已经取得了许多成果，是ｚＰｗａ但．ａｌｋ粗集是基于
静态、明确的对象集合，给动态、这模糊系统的研究
带来了困难。对此许多学者对Ｐｗａａｌｋ粗集理论进
对的隶属度）记。
张凌邱锦明，
（．１龙岩学院数学与计算机科学学院福建龙岩３４０；６００
２三明学院数学与计算机科学系福建三明３５０）．６０４摘要：于动态系统，基结合模糊集理论和单向Ｓ粗集理论，出了单向Ｓ粗模糊集对偶的概念一提一及其结构，对特性进行了讨论，出了应用。给关键词：粗集；向Ｓ粗模糊集对偶；近似；单一上下近似
上，对动态系统的粗模糊集给出进一步的讨论，提
出单向Ｓ粗模糊集对偶及其一一特性。
为了便于讨论，容易接受本文给出的结果，把模糊集及其水平截集的结构【单向Ｓ粗集对偶－１和一的结构【入到这里。３】引
称以为的Ａ水平截集，Ｘ＋为的强水平截集。

不完备信息系统下的不确定性度量方法

这样，由于补齐的过程导致了原始系统信息的变化，所得到的结果不一定反映原始系统的真实情况。因而，我们有必要扩充不完备信息系统的理论与方法，直接从不完备信息系统中
获取知识。Ｊ
尺（Ｂ）＝｛ＥＵＩＢ）ｆ（）＝｛ＥＵＩＹｆＹ（，），ｓ，Ｙ（，）。ｓ
性的一个重要因素，传统的处理方法是首先将不完备信息系
统采用某种方法进行补齐，然后再用粗集的方法来进行处理。
＝＜ＵＲ＞及上定义的二元关系ｓ相似关系）ｓ，，（，的定义如下：ｘＹＥ，ＢＹ，ＵＹＲ，有ｓ（，）乍ＶＢｙ（ｂＥ（（）≠ ）６ｂ一（）＝ｂｙ；可定义两个相似集合（）由此
第２６卷第１期
２００６年１月
文章编号：０１９８（０６０ —０９Ｏ１０ — ０１２０）１１８一４
计算机应用
ＣｍｐｔｒＡｐｌａｉｎｏｕｅｐｉｔｓｃｏ
Ｖ１２ｏ１ｏ．６Ｎ。
Ｊｎ０６ａ．２０
Ａｂｔａｔｔｓｈｒｏｄｒｃｌｅｌｗｔｎｏｌｔｎｏｍａｉｎｓｓｅｎｒｕｈｓｔｔｅｒ。Ｔｅｍｅｓｒｍｅｔｏｅｓｒｃ：Ｉｉａｄｔｉｔｄａｉｉｃｍｐｅｅｉｆｒｔｙｔｍｓｉｏｇｅｈｏｙｅｙｈｏｈａｕｅｎｆｔｈｕｃｒｉｔｆｉｃｍｐｅｅｉｏａｉｎｓｓｅｓａｄｆｃｌｐｏｌｍ。Ｔｅｇｎｒｉｌｒｒｌｔｎｏｎｏｌｔｎｏａｉｎｎｅｔｎｙｏｏｌｔｎｒｔｙｔｍｓｉｉｉｕｔｒｂｅａｎｆｍｏｈｅｅａｓｍｉｅａｉｆｉｃｍｐｅｅｉｒ系统不确定性的方法。通过实例分析，验证了该方法的有效性。

GIS中属性不确定性的处理方法及其发展

收稿日期:2001-05-22;修订日期:2001-12-06基金项目:香港理工大学科研基金项目No .1.34.9709、国家高技术研究发展计划(863计划)项目No .2001AA 135081和国家自然科学基金项目No .40023004资助。

作者简介:史文中(1963—　),男,副教授,香港理工大学,目前主要从事GIS ,遥感技术应用研究。

发表论文150篇,著作3部。

文章编号:1007-4619(2002)05-0393-08GIS 中属性不确定性的处理方法及其发展史文中1,王树良1,2(1.香港理工大学土地测量与地理资讯学系,九龙香港;2.武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室,武汉湖北　430079)摘　要:　属性数据的不确定直接影响决策的准确性和可靠性,特别是对侧重于属性分析的领域。

在研究属性不确定性的基础上,分析了GIS 中的主要处理方法及其研究进展,具体地就基于GIS 的模型、概率论及数理统计学、模糊集合、云理论、粗集等方法及进展进行讨论。

关键词:　属性不确定性;GIS ;研究进展中图分类号:　P208 文献标识码:　A1　引　言GIS 作为一个空间信息决策支持系统,其应用日益广泛(图1)。

在现实世界中,复杂的地理现象并非全都是空间匀质分布的,且实体多相互混杂,甚至很少界限分明。

纯几何意义上的点、线和面在现实世界并不存在。

GIS 采样获取数据有时不易明确地将其分类,只是对现实世界的一种近似描述。

同时,误差一般指测量值或计算值与真实数据或假定真实数据间的差值,可是获取大量空间数据的真值并不容易,甚至有些严格或绝对意义上的真值往往并不存在。

由于现实世界的位置和属性信息的定位、储存、处理、分析、管理大部分都和GIS 有关,故在GIS 应用过程中,空间数据质量中的不确定性问题越来越为人重视。

但是多年来,传统的数据处理方法认为空间分布可以用一组离散的点、线和面来表达,通常假设已经检核了属性数据,并把属性不确定性和位置不确定性隔离讨论。

粗神经网络在煤与瓦斯突出预测系统的应用

ＣＮ控制器发送给地面ＰＡＣ机，时可接收地面Ｐ同Ｃ机的控制指
系，通过去掉冗余属性，以简化知识表达空间维数。可
文中基于粗糙集理论和神经网络系统的瓦斯突出检测方法主要包括如下几个方面：
（）４神经网络系统：用约简后形成的学习样本对神经网络系统进行学习和训练。在人工神经网络中，习规则就是修正学
权值的一个算法，按照最小条件属性集及其相应的原始数据重
新形成测试样本集ｊ。
总线
图１中，，： … ，是输入特征属性，ｏＹ，Ｙ，是输出类别，隐含层的每个神经元对应一个决策模式，输入层到隐含层的权
ＡｂｔａｔＢｓｄｏｈｏｒｈｎｉｅｓｕｙｏｈａｉｕｌｏｔｍｓｗｔｈｏｇｅｈｏｙａｄｔｅＢｅｒｌｎｔｒ，ｓｒｃ：ａｅｎｔｅｃｍｐｅｅｓｖｔｄｆｔｅｖｒｓａｇｒｈ，ｉｔｅｒｕｈｓｔｔｅｒｎｈＰｎｕａｅｗｏｋｏｉｈｔｋｎｄａｔｇｆｒｕｈｓｔｍｅｈｄｃｎｒｍｏｅｒｄｎａｔｉｆｒｔｎ，ｅｒｅｗｏｋｃｎａｃｒｔｌｃｅｅａｅｔｅｃｎｅ－ａｉｇａｖｎａｅｏｏｇｅｔｏａｅｖｅｕｄｎｎｏｍａｉＢＰｎｕａｎｔｒａｃｕａｅｙａｃｌｒｔｈｏｖｒｏｌｇｎｅｓｅｄａｖｎａｅ．ｒｍｉｅｔｕｅｏｐｃｆｅｗｏｋｐｅｉｔｎｍｅｈｎｓ，ｄｕｅｔｉｒｄｃｉｎｏｎａｕｂｒｔｅｃｐｅｄａｔｇｓＰｏｎｎｓｆａｓｅｉｃｎｔｒｒｄｃｉｃａｉｍａｓｈｓｐｅｉｔｆｍｉｅｇｏｔｕｓｉｏｎｏｓｍｅｈｉｔｒｄｃｈｉａｉｎＰａｔａｐｌａｉｎｄｍｏｓｒｔｓｔａｅｍｏｉｅＰｐｅｉｔｎｍｏｅａｅｎｔｅＭＡＡＢｃａｓｏｐｅｉｔｅｓｕｔ．ｒｃｉｌｐｉｔｅｎｔｅｔｔｄｆｄＢｒｄｃｉｄｌｓｄｏｈＴＬｎｍｔｔｏｃａｃｏａｈｈｉｏｂｎｕａｅｗｒｏｌｏａｌｖｒｏｈｉａｖｎａｅｆｃｎｔｉｇｎｙａｄｈｓｏｖｒｅｃｐｅｎｏｄｐｅｉｔｎａｃ — ｅｒｌｎｔｏｋｔｏｂｘｃｒｏｅｃｍｅｔｅｄｓｄａｔｇｓｏｏｓｎｅｃａｆｔｎｅｇｎｅｓｅｄａｄｇｏｒｄｃｉｃｕｒｎｓａｃｏｒｃ．ｈｘｅｉｎａｅｕｔｅｅｌｔａａｅｎｒｕｈｓｔＢｅｒｌｅｗｒｒｄｃｉｎｍｏｅｓｒｌａｌｆｓｏｖｒｅｃｎａｙＴｅｅｐｒｍｅｔｒｓｌｒｖａｓｈｔｓｄｏｏｇｅ — Ｐｎｕａｔｏｋｐｅｉｔｄｌｉｅｉｂｅ，ｔｃｎｅｇｎｅａｄｌｂｎｏａｈｇｃｕａｙｇｏｆｃ．ｉｈａｃｒｃ，ｏｄｅｆｔｅＫｅｒｓｒｕｈｓｔＢｅｒｅｗｒＤＳｓｍｕａｉｎａｄｐｅｉｔｙｗｏｄ：ｏｇｅ・Ｐｎｕａｎｔｏｋ；Ｐ；ｉｌｔｎｒｄｃｉｌｏｏ

基于知识含量的粗糙集不确定性度量

算的简便性。关键词粗糙集，不确定性，识含量测度，似精度，糙度知近粗
ＡｎＵｎｃｒａｎｔｅｓｒｏｒＲｏｇＳｔｓｄｎｅｔｉｙＭａｕｅｆｕｈｅｓＢａｅｏＫｎｏｅｅＣａａｉｙｗｌｄｇｐｃｔ
ＬＵｉｎＳａＱｕｎＩＪＱｉＨＩｉａ－Ｋ —
（ｅａｔｎｆｔｔｔｓａｄＭａｈｍａｉ，Ｓａｄｎｉａｃｓｉｔ，ｉａ５０４ＤｐｒｍｅｔｏａｉｉｎｔｅｔｓｈｎｏｇＦｎｎｅＩｔｕｅＪｎｎ２０１）Ｓｓｃｃｎｔ（ｃｏｌｆｔｅｔｓａｄＳｓｅＳｉｎｅ，ｈｎｏｇＵｎｖｒｉ，ｉａ５１０ＳｈｏｈｍａｉｎｙｔｍｅｃｓＳａｄｎｉｅｓｙＪｎｎ２００）ｏＭａｃｃｔ
ｎｗｎｅｔｉｔｅｓｒ．ｅｕｃｒａｎｙｍａｕｅ
ＫｅｗｏｄＲｏｇｅｓＵｎｅｔｉｔ，ｏｅｇａａｉｙｍｅｓｒ，ｃｒｃＲｏｇｎｓｙｒｓｕｈｓｔ，ｃｒａｎｙＫｎｗｌｄｅｃｐｃｔａｕｅＡｃｕａｙ，ｕｈｅｓ
ｏｈｅｕｃｒａｎｙｍｅｓｒｒｕｔｅｉｃｓｅ．Ｉｈｎ，ａｘｍｐｅｓｏｈａｉｎｌｙａｄｓｍｐｉｉｆｈｆｔｅｎｗｎｅｔｉｔａｕｅａｅｆｒｈｒｄｓｕｓｄｎｔｅｅｄｎｅａｌｈｗｓｔｅｒｔａｉｎｉｌｔｏｅｏｔｃｙｔ

变精度广义双向s-粗集模型

．
数（０
＜０５，宣（、（）称为Ｘ的下近似与上近似如果．） “ ｘ
，
，
“Ｘ） ∈ＵＩ（Ｒ（＝｛Ｘｌ】））Ｐ［
其概率分布
（： ∈ＵＩ（＜１）ｘ）｛Ｘｌ］）一，Ｐ【
Ｐ
‘ｋ｛ｋ ’ ［】：：
Ｎｏ２２０．．０８年
Ｇｅｅａ．０ｎｒｌＮｏ６
文章编号：０８７２（０８０．０６０１０－８６２０）２０３．６
变精度广义双向ｓ粗集模型．
陈秀
（漳州师范学院数学与信息科学系，福建漳州３３０）６００
摘
１９年Ｚａｏ９３ｉ引入参数ａ（＜０５提出了可变精度的Ｒｕｈ集模型［允许一定程度的错误分类率的ｋｏ≤ ．）ｏｇ３］，
存在．定义１１．
设是非空有限论域上的等价关系，ｌｌ是上的等价类对任意的ＸＵ，以及参ｘＲｃ
是Ｘ的Ｒ值域称
，
ｆｌ一
，ｘ≠ ｉ ≯ ］
下面我们引入广义双向ｓ．粗集［的一些概念．４
定义１给定非空有限论域Ｕ，Ｒ是Ｕ上的一般二元关系，称．２定义域，如果对于给定的满足是Ｘ的
尺＝ＹｘｙＹＵ，（＝Ｙｙｘ）Ｕ．（｛ｌ，∈ ）尺Ｘ｛Ｒ，∈ ））Ｒ）ｌ，
的研究提供了有力的工具，得到了一系列富有应用价值的成果．
在ｓ．粗集生成的近似空间中所讨论的二元关系是给定的非空有限论域上的等价关系，但在实际问题中，论域上的关系并不都是等价关系，为此文献［】ｓ４就．粗集给出了推广，出了广义双向ｓ提．粗集，讨论一般关系下的ｓ．粗集．本文在文献［的基础上引入变精度参数ａ（４】ｏ首先，回顾粗集及ｓ．粗集的一些相关概念．ＺＰｗａ．ａｌｋ粗糙集模型所处理的分类必须是完全正确的或肯定，缺乏对噪音数据的适应能力．于是＜０５提出了变精度广义双向Ｓ．）．粗集．研究关于变精度的广义双向ｓ．粗集模型．本文未定义的符号参看文［，］２［．】６

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ｃｎｅｔｆｉｓｄｕｄｒｎｕｓｄｏｎａｙＴｈｅｅａｒｐｒｉｓｏｓｄｏｕｄａｙａｄｏｔｉｅｂｕｄｒｅｄｓｕｓｄａｄｔｅｍｅｓｒｏｃｐｓｏｉｅｂｏｎａｙａｄｏｔｉｅｂｕｄｒ．ｅｒｌｖｎｔｏｅｔｅｆｉｉｅｂｎｒｎｕｓｄｏｎａｙａｉｃｓｅｎｐｎｒｎｈａｕｅｍｅｏｄｏｌｔｖｒｃｓｏｓｅｐｔａｅ．ｔｉｅｅａｐｏｉａｅｍｅｏｅｌｔｙｓｅｕｃｒｉｔｎｒｖｓｔｅｒｌｔｖｒｃｓｏｂａｎｄｈｔｆｒａｅｐｅｉｉｎｉｘａｉｔｄＩｖｓｔｐｒｘｍｔｔｄｔｄａｈｓｔｍｎｅｔｎｙａｄｐｏｅｅａｉｅｐｅｉｉｎｏｔｉｅｅｉｇｈｈｏｗｉａｈ
ｏｆＴｗｏＤｉｅｔｎＳｒｕｇｅｒｃｉ・ｏｈＳｔｏ
ＧＵｏＺｈｉ１ｎ．ｉ
（ｐｒｎｆｔｅｔｓＳａｇｉｏｍａｏｌｅＳａｇｉ７００Ｄｅａｔｔｈｍａｉ，ｈｎｑｕＮｒｌｌｇ，ｈｎｑｕ４６０）ｍｅｏＭａｃＣｅ
ｂｙａｉｖｍｅｔｏｅｅｅｎｔｉｅｂｕｄｒｏｍｎｏｗｏｄｒｃｉｎＳ－ｏｇｅａｅｔｔｅｅｒｒｒｑｕｒｍｅｔｂｘｍｐｅｈｅｓｓｅｇｌｍｏｅｎｆｔｌｍｅｎｔｏｎａｙｄｍｅｈｈｆｔｉｅｔｒｕｈｓｔｃｎｍｅｒｏｅｉｅｎｙｅａｌ．Ｔｙｔｍｏｈ
ｆａｉｉｔｄｅｅｔｅｅｓａｅｖｉａｅ．ｅｓｂｌｙａｆｃｉｎｓａｄｔｄｉｎｖｒｌ
｜ｙｗｏｄＩｔｉｃｏ－ｕｈｓｔｂｕｄｒ；ｅａｖｒｃｓｎｓｓｍｎｅｔｉｔＫｅｒｓｗｏｄｒｔｎＳｒｇ；ｏｎａｙｒｌｔｅｐｅｉｏ；ｙｔｕｃｒｎｅｉｏｅｉｉｅａｙ
中图分类号：Ｔ３１Ｐ９
双向Ｓ粗集系统不确定性的近似处理方法．
郭志林
（商丘师范学院数学系，商丘４６０）７００
摘
要：向ｓ粗集的边界变化会引起系统不确定性。针对该问题提出内边界和外边界的概念，讨论内边界和外边界的相关性质，阐述相双一
，ｆ， ∈Ｆ，且ＸＸ’ｆＩ∈ ，芒，“ ＝＝ＵＵＵＵＸ，（） ∈Ｘ，其中，｝Ｘ＝｛ｌＸ，＝ ’ Ｘ＼ ∈ ，（蜒ｘ））称为ｘ的亏集，由于Ｆ的存
在，使得静态ｘ…发生双向动态的奇异变化，产生ｘ。定义２设Ｘ是Ｕ上的双向ｓ集合，称（，）ｘ是一Ｆ。）（
１概述
粗集理论是一种处理不精确性、不确定性的数学工具，自文献【】１提出以来取得了很多相关成果。目前，粗集理论已
成功应用于机器学习、决策分析、过程控制、模式识别与数
ＸｃＵ是ｕ上的双向奇异集合，简称为双向ｓ集合，如果一
［ｂｔａｔｈａｉｙｏｉｃｉｎＳｒｕｈｓｔｂｕｄｒａｒｕｅｓｓｍｎｅｔｉｔ．ｍｉｇａｉｐｏｌｍ，ｈｓｐｐｒｒｐｓｓｔｅＡｓｒｃＩＴｅｖｒｔｆｗｏｄｒｔ－ｇｅｓｏｎａｙｃｎａｏｓｙｔｕｃｒｎｙＡｉｎｔｈｓｒｂｅｔｉａｅｏｏｅｅｔｅｏｏｅａｔｐｈ
据挖掘等领域，被众多学者关注。文献［】１仅研究了粗集系统的静态特性，针对具有动态特性的集合ＸｃＵ，文献［】２提出
ｓ粗集，并给出ｓ粗集的２类结构。文献【—】一一２４讨论了ｓ粗集一
Ｘ的下近似，如果（）ｘ）｛Ｕ［。称Ｆ。＝Ｉ∈ ，】￡Ｘｌ（
对精度度量方法。给出系统不确定性近似处理方法，通过实例说明在双向ｓ粗集边界域中，元素灵活迁移而得到的相对精度能满足一定分一类误差要求，验证了该系统的可行性和有效性。
关健词：双向ｓ粗集；边界；相对精度；系统不确定性．
ＡｐｒｘｍａｅＰｒｃｓｉｇＭｅｈｄｆｒＳｓｅｃｒａｎｙｐｏｉｔｏｅｓｎｔｏｏｙｔｍＵｎｅｔｉｔ
第３６卷第４期
Ｖ１ｏ．３６
・
计
算
机
工
程
２１００年２月
Ｆｅｕａｙ２０ｂｒｒ０１
Ｎｏ４．
ＣｏｐｕｔｒＥｎｇｎｅ
文章编号：１ｏ＿４８０ｏ４＿１．０文献０ｍ３２（１）＿８＿３２００７＿标识码：Ａ
的特性和应用，通过考察双向ｓ粗集的本质可知，它是以具一
有双向特性的Ｒ等价类来定义的，双向Ｒ等价类使集合一一ＸｃＵ的边界既向外扩张又向内收缩。在粗糙集理论中，知识的不确定性主要由２个原因引起：（）接来自论域上二元１直