第八章不确定线性系统的鲁棒二次镇定

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§8.1 问题的描述和定义
图 8.1 不确定线性反馈关联
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§8.1 问题的描述和定义
其次，对一般的范数有界不确定性，总可以选择适当的 结构矩阵，使其具有(8.1.4)的形式。若 ΔA(t ) = D1 F1 (t ) E1 , ΔB (t ) = D2 F2T (t ) E2
F1T (t ) F1 (t ) ≤ I , F2T (t ) F2 (t ) ≤ I , 则可选取 F (t ) ⎡ E1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ 1 ⎤ F (t ) = ⎢ , D = [ D1 D2 ], E1 = ⎢ ⎥ , E2 = ⎢ ⎥ ⎥ F2 (t ) ⎦ ⎣ ⎣0 ⎦ ⎣ E2 ⎦ 则不确定矩阵 ΔA(t ), ΔB (t ) 可以表示成 (8.1.4).
q ( t ) 是Lebesgue可测的， q ( t ) ∈ Ω (\ k 中的一个紧集)。
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§8.1 问题的描述和定义
主要考虑不确定系统(8.1.1)的二次镇定问题. 对不确定自治系统
=⎡ x ⎣ A + ΔA ( q ( t ) ) ⎤ ⎦x
(8.1.2)
引进二次稳定的概念。 定义8.1 对系统(8.1.2)，若存在一个n 阶正定对称矩阵P 和一个常数 α > 0, 使得对任意允许的不确定性 q ( t ) , 2 T ⎡ ⎤ L ( x, t ) = 2 x P ⎣ A + ΔA ( q ( t ) ) ⎦ x ≤ −α x (8.1.3)
T
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§8.1 问题的描述和定义
3. 系统的二次稳定性可以推出系统在Lyapunov意义下的 稳定性，但反之则不成立. 对线性定常系统, 二次稳定性 和Lyapunov意义下的稳定性是等价的。 不确定性的假设. 本章主要考虑范数有界且具有如下形式的不确定性 ⎡ (8.1.4) ⎣ ΔA ( t ) Δ B ( t ) ⎤ ⎦ = DF ( t ) [ E1 E2 ] D, E1 , E2 是具有适当维数的已知常矩阵，它们反映了 出现在系统模型中的不确定性结构
第八章 不确定线性系统的鲁 棒二次镇定

马树萍
§8.1 问题的描述和定义
考虑不确定线性系统 (t ) = ⎡ x ⎣ A + ΔA ( q ( t ) ) ⎤ ⎦ x (t ) + ⎡ ⎣ B + ΔB ( q ( t ) ) ⎤ ⎦ u ( t ) (8.1.1)
A, B x ( t ) ∈ \ n , u ( t ) ∈ \ m 分别是系统的状态和控制向量， ΔA ( ⋅) , ΔB ( ⋅) 是连续的实矩阵 分别为 n × n, n × m 的实常阵， 值函数, q ( t ) ∈ \ k 是一个不确定参数向量,它可以是时变的, 也可以依赖系统状态, 反映了系统模型中的参数不确定性.
另外，还有许多系统的不确定性可以按此方式表示。
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§8.2 不确定线性系统的二次稳定条件
考虑不确定线性系统 = ( A + ΔA(t )) x (8.2.1) x x ∈ \ n 为状态向量, A ∈ \ n×n 为已知常阵, ΔA ∈ \ n×n 为不确定关于 t 连续。 (8.2.2) ΔA(t ) = DF (t ) E D ∈ \ n×i , E ∈ \ j×n 为已知常阵, F (t ) ∈ \ i× j 是具有 Lebesgue可测元的不确定矩阵, F (t ) ∈ Ω. 首先给出几个有用的引理。
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§8.1 问题的描述和定义
F (t ) ∈ \i× j 是具有Lebesgue可测元的不确定矩阵, 且满足 F (t ) ∈ Ω = {F (t ) | F T (t ) F (t ) ≤ I } (8.1.5)
I 表示适当维数的单位矩阵。
不确定性的说明. 对范数有界时变不确定性, 假设有(8.1.4)的结构形式, 并不 失一般性 . 首先，一个含有装置和不确定性 F (t ) 线性关联（如图8.1） 可以表示成(8.1.1)和 (8.1.4)的形式 .
引理8.2 对于任意给定的 ξ ∈ \ n , 存在 F0 (t ) ∈ Ω 使得 max (ξ T PDF (t ) Eξ ) 2 = (ξ T PDF0 (t ) Eξ ) 2 = ξ T PDDT Pξξ T E T Eξ 证明：令 v = D Pξ , η1 = F (t ) Eξ , η = Eξ , 则 (ξ T PDF (t ) Eξ ) 2 = (vTη1 ) 2 根据Schwarz不等式，对于任意给定 ξ ∈ \ n , | vTη1 |≤ vT vη T 1η 1
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§8.1 问题的描述和定义
关于二次稳定的3点说明： 1. 若系统(8.1.2)是二次稳定的，则存在一个Lyapunov 函数 V ( x ) = x Px, 使得沿系统(8.1.2)的轨线 V ( x ) 关于 时间的导数恰好是 L ( x, t ) . 因此, 根据Lyapunov稳定性理 论知：系统的平衡状态 x = 0 是大范围一致渐近稳定的。 2. 二次稳定性要求对所有允许的不确定参数，系统存在 一个统一的Lyapunov函数，显然，这样的要求是比较苛 刻的，由此导出的结果必然是比较保守的。但此方法仍不 失为处理时变不确定性的一种有效方法。
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§8.2 不确定线性系统的二次稳定条件
引理8.1 对任意适当维数的矩阵 X , Y , 有 1 T T T T X Y + Y X ≤ ε X X + Y Y , ∀ε > 0 证明：由不等式 1 (ε X + Y )T (ε X + Y ) ≥ 0
ε
(8.2.4)
ε
直接可得.
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§8.2 不确定线性系统的二次稳定条件
对所有 ( x, t ) ∈ \ n × \ 成立, 则称系统(8.1.2)为二次稳定的.
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§8.1 问题的描述和定义
定义8.2 对不确定系统(8.1.1)，若存在一个反馈控制律 (可以是动态, 或静态反馈, 也可以是线性或非线性反馈), 使得所导出的闭环系统是二次稳定的，则称系统(8.1.1) 是二次能镇定的，相应的控制律称为是系统(8.1)的一个 二次稳定化控制律。 若存在线性状态反馈控制律 u = Kx, K ∈ \ m×n , 使得闭环 系统是二次稳定的，则称系统(8.1.1)是可以通过线性 状态反馈二次镇定的。