余弦定理公式(题目)

正弦、余弦定理 解斜三角形
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1．三角形基本公式：
（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos
2C =sin 2B A +, sin 2
C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2
1casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A
2．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C
===外 证明：由三角形面积
111sin sin sin 222
S ab C bc A ac B =
== 得sin sin sin a b c A B C
== 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2=b 2+c 2
-2bccosA , 222
cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-
222222
22sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。

正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．
4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。

5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力
B
练习
1．(2006山东)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,13A a b π=
==，则c = （ ）
A.1
B.2 1 2．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ） A.223 B.2
33 C.23 D.33 3．（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )
A. 2
B. 2m
C. 2
D. 2
20cm 5.（2006全国Ⅱ）已知ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为_________.
6.(2006春上海)在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos
.
四、经典例题做一做
【例1】(2006天津)如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，4
3cos =
C ． （1）求AB 的值；
（2）求()C A +2sin 的值.
【例2】在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．
【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30
，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1︒）？
【例4】已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有
()()
B b a
C A R sin 2sin sin 222-=
-成立，求△ABC 面积S 的最大值．
【研讨.欣赏】
（2006江西）如图,已知△ABC 是边长为1的正三角形, M 、N 分别是边AB 、AC 上的点,线段MN 经过△ABC 的中心G .设2()33
MGA π
παα∠=≤≤. (1) 试将△AGM 、△AGN 的面积(分别记为1S 与2S )表示为α的函数;
(2) 求2212
11y S S =
+的最大值与最小值.
提炼总结
1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；
2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形
【选择题】
1.（2004浙江）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞2
1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2004全国Ⅳ）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为
23，那么b 等于 ( ) A.
231+ B.1+3 C.2
32+ D.2+3 3..下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 ( )
A.sin A +cos A =51
B.·＞0
C.tan A +tan B +tan C ＞0
D.b =3，c =33，B =30° 4.(2006全国Ⅰ)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则c o s B =
( )
A . 14 B. 34 C. 【填空题】
5.（2004春上海）在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。

若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ，
则=c __________
6.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.
【解答题】
7.（2004春北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及
c
B b sin 的值.
8.（2005春北京）在△ABC 中，sin A +cos A =
2
2，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.
9. （2004全国Ⅱ）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=
53，sin （A －B ）=5
1. （1）求证：tan A =2tan B ；
（2）设AB =3，求AB 边上的高.
10. 在△ABC 中，sin A =
C
B C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.
【探索题】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）
（C B A A -+cos cos sin 2. （1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论.
（2）求y 的最小值.。