余弦定理公式大全
三角公式大全
ctg + tga - tga + tga - tga
三角函数值等于
a 的异名三角函
数值，前面加上一 个把 a 看作锐角 时，原三角函数值 的符号;即： 函数名 改变，符号看象限
⒐和差角公式 ①
sin(a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b
②
cos(a ± b ) = cos a cos b m sin a sin b
p -a
p +a
2p -a 2k p + a
2
sin
p -a 2 p +a 2 3p -a 2 3p +a 2
+ cos a + cos a - cos a - cos a
con + sin a - sin a - sin a + sin a
tg + ctga - ctga + ctga - ctga
反正切函数
y = arctgx
æ p p ö arctg(-x) = - arctgx 奇 ç- , ÷ è 2 2ø
反余切函数
y = arcctgx
R
减
(0, p )
arcctg ( - x ) = p - arcctgx
⒗最简单的三角方程 方程 方程的解集
sin x = a
a =1 a <1
{x | x = 2kp + arcsin a, k Î Z }
三角公式总表 nπR ⒈L 弧长= a R= 180 ⒉正弦定理：
S 扇=
1 1 np × R 2 LR= R2 a = 2 2 360
b c a = = = 2R（R 为三角形外接圆半径） sin A sin B sin C
高中数学正弦余弦公式大全
正弦定理和余弦定理一：基础知识理解1 ．正弦定理分类内容定理＝＝＝2 R ( R 是△ ABC 外接圆的半径 )变形公式① a ＝ 2 R sin _ A ， b ＝ 2 R sin _ B ， c ＝ 2 R sin _ C ，② sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝a ∶ b ∶ c ，③ sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝解决的问题① 已知两角和任一边，求其他两边和另一角，② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2 ．余弦定理分类内容定理在△ ABC 中，有 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos _ A ；b 2 ＝ a 2 ＋c 2 －2 ac cos _ B ； c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos _ C 变形公式cos A ＝；cos B ＝；cos C ＝解决的问题① 已知三边，求各角；② 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3 ．三角形中常用的面积公式( 1 ) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高 )；( 2 ) S ＝ bc sin A ＝ ac sin B ＝ ab sin C ；( 3 ) S ＝ r ( a ＋ b ＋ c )( r 为三角形的内切圆半径 )．二：基础知识应用演练1 ．( 2012·广东高考 ) 在△ ABC 中，若∠ A ＝ 60°，∠ B ＝ 45°， BC ＝ 3 ，则 AC ＝()A ． 4B ． 22 ．在△ ABC 中， a ＝， b ＝ 1 ， c ＝ 2 ，则 A 等于 ()A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 75°3 ．( 教材习题改编 ) 在△ ABC 中，若 a ＝ 18 ， b ＝ 24 ， A ＝ 45°，则此三角形有 ()A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定4 ．( 2012·陕西高考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c .若 a ＝ 2 ， B ＝， c ＝ 2 ，则 b ＝ ________.5 ．△ ABC 中， B ＝ 120°， AC ＝ 7 ， AB ＝ 5 ，则△ ABC 的面积为________ ．解析：1 选B 由正弦定理得：＝，即＝，所以 AC ＝ × ＝2 .2 选C ∵ cos A ＝＝＝，又∵ 0°< A <180°，∴ A ＝60°.3 选B ∵ ＝，∴ sin B ＝ sin A ＝ sin 45°，∴ sinB ＝ .又∵ a < b ，∴ B 有两个．4 由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ＝4＋12－2×2×2 × ＝4，所以 b ＝2.答案：25、解析：设 BC ＝ x ，由余弦定理得49＝25＋ x 2 －10 x cos 120°，整理得 x 2＋5 x －24＝0，即 x ＝3.因此 S △ ABC ＝ AB × BC ×sin B ＝ ×3×5× ＝ . 答案：小结： ( 1 ) 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ ABC 中，A > B ⇔ a > b ⇔ sin A >sin B .( 2 ) 在△ ABC 中，已知 a 、 b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝ b sin A b sin A < a < b a ≥ b a > b解的个数一解两解一解一解三、典型题型精讲（1）利用正弦、余弦定理解三角形[例1] ( 2012·浙江高考 ) 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ，且 b sin A ＝ a cos B .( 1 ) 求角 B 的大小； ( 2 ) 若 b ＝ 3 ， sin C ＝ 2sin A ，求 a ， c 的值．解析： ( 1 ) 由 b sin A ＝ a cos B 及正弦定理＝，得sinB ＝ cos B ，所以tan B ＝，所以 B ＝ .(2) 由 sin C ＝2sin A 及＝，得 c ＝ 2 a . 由 b ＝3 及余弦定理 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，得 9＝ a 2 ＋ c 2 － ac . 所以 a ＝， c ＝2 .思考一下：在本例 ( 2 ) 的条件下，试求角 A 的大小．方法小结：1 ．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2 ．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．试题变式演练 1 ．△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， a sin A sin B ＋ b cos 2 A ＝ a .( 1 ) 求；( 2 ) 若 c 2 ＝ b 2 ＋ a 2 ，求 B .解： ( 1 ) 由正弦定理得，sin 2 A sin B ＋sin B cos 2 A ＝ sin A ，即 sin B ( sin 2 A ＋cos 2 A ) ＝ sin A .故 sin B ＝ sin A ，所以＝ .( 2 ) 由余弦定理和 c 2 ＝ b 2 ＋ a 2 ，得 cos B ＝ .由 (1) 知 b 2 ＝ 2 a 2 ，故 c 2 ＝(2＋ ) a 2 . 可得 cos 2 B ＝，又 cos B >0，故 cos B ＝，所以 B ＝45°.（2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[例2] 在△ ABC 中 a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边，且2 a sin A ＝( 2 b ＋ c ) sin B ＋( 2 c ＋ b ) sin C .( 1 ) 求 A 的大小；( 2 ) 若sin B ＋ sin C ＝ 1 ，试判断△ ABC 的形状．[ 解析 ] ( 1 ) 由已知，根据正弦定理得 2 a 2 ＝ ( 2 b ＋ c ) · b ＋ ( 2 c ＋ b ) c ，即a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ＋ bc .由余弦定理得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，故 cos A ＝－，∵ 0< A <180°，∴ A ＝120°.(2) 由 (1) 得 sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ＋sin B sin C ＝又 sin B ＋sin C ＝1，解得 sin B ＝sin C ＝ .∵ 0°< B <60°，0°< C <60°，故 B ＝ C ，∴△ ABC 是等腰的钝角三角形．方法小结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：( 1 ) 利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；( 2 ) 利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A ＋ B ＋ C ＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．试题变式演练 ( 2012·安徽名校模拟 ) 已知△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，向量 m ＝( 4 ，－ 1 )， n ＝，且m · n ＝ .( 1 ) 求角 A 的大小；( 2 ) 若 b ＋ c ＝ 2 a ＝ 2 ，试判断△ ABC 的形状．解：( 1 ) ∵ m ＝ ( 4，－1 ) ， n ＝，∴ m · n ＝4cos 2 －cos 2 A ＝4·－ ( 2cos 2 A －1 ) ＝－2cos 2 A ＋2cos A ＋3.又∵ m · n ＝，∴ －2cos 2 A ＋2cos A ＋3＝，解得 cos A ＝. ∵ 0< A < π ，∴ A ＝ .(2) 在△ ABC 中， a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，且 a ＝，∴ ( ) 2 ＝b 2 ＋c 2 －2 bc ·＝ b 2 ＋ c 2 －bc . ①又∵ b ＋ c ＝2 ，∴ b ＝2 － c ，代入① 式整理得 c 2 － 2 c ＋3＝0，解得 c ＝，∴ b ＝，于是 a ＝ b ＝ c ＝，即△ ABC 为等边三角形．（3）与三角形面积有关的问题[例3] ( 2012·新课标全国卷 ) 已知 a ， b ， c 分别为△ ABC 三个内角 A ， B ，C 的对边， a cos C ＋ a sin C － b － c ＝ 0.( 1 ) 求 A ；( 2 ) 若 a ＝ 2 ，△ ABC 的面积为，求 b ， c .[ 解 ] ( 1 ) 由 a cos C ＋ a sin C － b － c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋ sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为 B ＝π－ A － C ，所以 sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ＝ . 又0＜ A ＜π，故 A ＝ .( 2 ) △ ABC 的面积 S ＝ bc sin A ＝，故 bc ＝4.而 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，故 b 2 ＋ c 2 ＝8. 解得 b ＝ c ＝2.方法小结：1 ．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2 ．在解决三角形问题中，面积公式 S ＝ ab sin C ＝ bc sin A ＝ ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．试题变式演练 ( 2012·江西重点中学联考 ) 在△ ABC 中， cos 2 A ＝ cos 2 A －cos A .( 1 ) 求角 A 的大小；( 2 ) 若 a ＝ 3 ， sin B ＝ 2sin C ，求 S △ ABC .解： ( 1 ) 由已知得 ( 2cos 2 A －1 ) ＝cos 2 A －cos A ，则cos A ＝ .因为0< A <π，所以 A ＝ .( 2 ) 由＝，可得＝＝2，即 b ＝ 2 c .所以cos A ＝＝＝，解得 c ＝， b ＝2 ，所以 S △ ABC ＝ bc sin A ＝ ×2 × × ＝ .课后强化与提高练习（基础篇-必会题）1 ．在△ ABC 中， a 、 b 分别是角 A 、 B 所对的边，条件“ a < b ”是使“cosA >cosB ”成立的 ()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2 ．( 2012·泉州模拟 ) 在△ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 所对的边．若 A ＝， b ＝ 1 ，△ ABC 的面积为，则 a 的值为 ()A ． 1B ． 23 ．( 2013·“江南十校”联考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，c ，已知 a ＝ 2 ， c ＝ 2 ， 1 ＋＝，则 C ＝()A ． 30°B ． 45°C ． 45°或135°D ． 60°4 ．( 2012·陕西高考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c ，若 a 2 ＋ b 2 ＝ 2 c 2 ，则cos C 的最小值为 ()D ．－5 ．( 2012·上海高考 ) 在△ ABC 中，若sin 2 A ＋ sin 2 B <sin 2 C ，则△ ABC 的形状是 ()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6 ．在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .若 b ＝ 2 a sin B ，则角 A 的大小为________ ．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵ sin B ≠0，7 ．在△ ABC 中，若 a ＝ 3 ， b ＝， A ＝，则 C 的大小为________ ．8 ．( 2012·北京西城期末 ) 在△ ABC 中，三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ，c .若 b ＝ 2 ， B ＝， sin C ＝，则 c ＝ ________ ； a ＝ ________.9 ．( 2012·北京高考 ) 在△ ABC 中，若 a ＝ 2 ， b ＋ c ＝ 7 ， cos B ＝－，则 b ＝ ________.10 ．△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a sin A ＋ c sin C －a sin C ＝b sin B .( 1 ) 求 B ；( 2 ) 若 A ＝ 75°， b ＝ 2 ，求 a ， c .11 ．( 2013·北京朝阳统考 ) 在锐角三角形 ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ，C 所对的边，且满足 a － 2 b sin A ＝ 0.( 1 ) 求角 B 的大小；( 2 ) 若 a ＋ c ＝ 5 ，且 a > c ， b ＝，求 ·的值．12 ．( 2012·山东高考 ) 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，c ，已知sin B ( tan A ＋ tan C )＝ tan A tan C .( 1 ) 求证： a ， b ， c 成等比数列；( 2 ) 若 a ＝ 1 ， c ＝ 2 ，求△ ABC 的面积 S .课后强化与提高练习（提高篇-选做题）1 ．( 2012·湖北高考 ) 设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .若三边的长为连续的三个正整数，且 A > B > C ， 3 b ＝ 20 a cos A ，则sin A ∶ sin B ∶ sin C 为 ()A ．4 ∶ 3 ∶ 2B ．5 ∶ 6 ∶ 7C ．5 ∶ 4 ∶ 3D ．6 ∶ 5 ∶ 42 ．( 2012·长春调研 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知4sin 2 － cos 2 C ＝，且 a ＋ b ＝ 5 ， c ＝，则△ ABC 的面积为________ ．3 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足 ( 2 b － c ) cos A － a cos C ＝ 0.( 1 ) 求角 A 的大小；( 2 ) 若 a ＝， S △ ABC ＝，试判断△ ABC 的形状，并说明理由．选做题1 ．已知 a ， b ， c 分别是△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边．若 a ＝ 1 ，b ＝， A ＋ C ＝ 2 B ，则sin C ＝ ________.2 ．在△ ABC 中， a ＝ 2 b cos C ，则这个三角形一定是 ()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知cos 2 C ＝－ .( 1 ) 求sin C 的值；( 2 ) 当 a ＝ 2 , 2sin A ＝ sin C 时，求 b 及 c 的长．4 ．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，且cos B ＝， b ＝ 2.( 1 ) 当 A ＝ 30°时，求 a 的值；( 2 ) 当△ ABC 的面积为3时，求 a ＋ c 的值．课后强化与提高练习（基础篇-必会题）解析1 解析：选C a < b ⇔ A < B ⇔ cos A >cos B .2 解析：选D 由已知得 bc sin A ＝ ×1× c ×sin ＝，解得 c ＝ 2 ，则由余弦定理可得 a 2 ＝ 4 ＋ 1 － 2×2×1×cos ＝3 ⇒ a ＝ .3 解析：选B 由1 ＋＝和正弦定理得 cos A sin B ＋sin A cos B＝2sin C cos A ，即 sin C ＝2sin C cos A ，所以 cos A ＝，则 A ＝60°. 由正弦定理得＝，则 sin C ＝，又 c < a ，则 C <60°，故 C ＝45°.4 解析：选 C 由余弦定理得 a 2 ＋ b 2 － c 2 ＝2 ab cos C ，又 c 2 ＝( a 2 ＋ b 2 )，得 2 ab cos C ＝ ( a 2 ＋ b 2 )，即 cos C ＝≥ ＝ .6 解析：选 C 由正弦定理得 a 2 ＋ b 2 < c 2 ，所以 cos C ＝<0，所以 C 是钝角，故△ ABC 是钝角三角形．∴ sin A ＝，∴ A ＝30°或 A ＝150°. 答案：30°或 150°7 解析：由正弦定理可知 sin B ＝＝＝，所以 B ＝或 ( 舍去 )，所以 C ＝π － A － B ＝π －－＝ . 答案：8 解析：根据正弦定理得＝，则 c ＝＝2 ，再由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，即 a 2 － 4 a －12＝0，( a ＋2)( a －6)＝0，解得 a ＝6 或 a ＝－2( 舍去 )．答案：2 69 解析：根据余弦定理代入 b 2 ＝4＋(7－ b ) 2 －2×2×(7－ b )× ，解得b ＝4. 答案：410 解：(1) 由正弦定理得 a 2 ＋ c 2 － ac ＝ b 2 . 由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋c 2 －2 ac cos B .故cos B ＝，因此 B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ .故 a ＝ b × ＝＝1＋， c ＝ b × ＝2×＝ .1 1 解：(1) 因为 a －2 b sin A ＝0，所以 sin A －2sin B sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以 sin B ＝ . 又 B 为锐角，所以 B ＝ .( 2 ) 由 ( 1 ) 可知， B ＝ .因为 b ＝ .根据余弦定理，得7＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos ，整理，得 ( a ＋ c ) 2 － 3 ac ＝7.由已知 a ＋ c ＝5，得 ac ＝6.又 a > c ，故 a ＝3， c ＝2.于是cos A ＝＝＝，所以 ·＝| |·| |cos A ＝ cb cos A＝2× × ＝1.12 解： ( 1 ) 证明：在△ ABC 中，由于sin B ( tan A ＋tan C ) ＝tan A tan C ，所以sin B ＝ ·，因此sin B ( sin A cos C ＋cos A sin C ) ＝sin A sin C ，所以 sin B sin( A ＋ C )＝sin A sin C .又 A ＋ B ＋ C ＝π ，所以 sin( A ＋ C )＝sin B ，因此 sin 2 B ＝sin A sin C .由正弦定理得 b 2 ＝ ac ，即 a ， b ， c 成等比数列．( 2 ) 因为 a ＝1， c ＝2，所以 b ＝，由余弦定理得cos B ＝＝＝，因为0< B <π，所以sin B ＝＝，故△ ABC 的面积 S ＝ ac sin B ＝ ×1×2× ＝ .课后强化与提高练习（提高篇-选做题）解析1 解析：选D 由题意可得 a > b > c ，且为连续正整数，设 c ＝ n ， b ＝ n ＋1，a ＝ n ＋2 ( n >1，且n ∈ N * ) ，则由余弦定理可得3 ( n ＋1 ) ＝20 ( n ＋2 ) ·，化简得7 n 2 －13 n －60＝0，n ∈ N * ，解得 n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝a ∶ b ∶ c ＝6 ∶ 5 ∶ 4.2 解析：因为4sin 2 －cos 2 C ＝，所以2[1－cos( A ＋ B )]－2cos 2 C ＋1＝，2＋2cos C －2cos 2 C ＋1＝，cos 2 C －cos C ＋＝0，解得cos C ＝ .根据余弦定理有cos C ＝＝，ab ＝ a 2 ＋ b 2 －7 , 3 ab ＝ a 2 ＋ b 2 ＋2 ab －7＝ ( a ＋ b ) 2 －7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ ABC 的面积 S △ ABC ＝ ab sin C ＝ ×6× ＝.答案：3 解： ( 1 ) 法一：由 ( 2 b － c ) cos A － a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴ 2sin B cos A －sin( A ＋ C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0. ∵ 0< B < π ，∴ sin B ≠0，∴ cos A ＝. ∵ 0< A < π ，∴ A＝ .法二：由 (2 b － c )cos A － a cos C ＝0，及余弦定理，得 (2 b － c )·－ a ·＝0，整理，得 b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ bc ，∴ cos A ＝＝，∵ 0<A < π ，∴ A ＝ .(2) ∵ S △ ABC ＝ bc sin A ＝，即 bc sin ＝，∴ bc ＝3，①∵ a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ， a ＝， A ＝，∴ b 2 ＋ c 2 ＝6，② 由①② 得 b ＝ c ＝，∴△ ABC 为等边三角形．选择题解析1 解析：在△ ABC 中， A ＋ C ＝2 B ，∴ B ＝60°. 又∵ sin A ＝＝，∴ A ＝30°或 150°( 舍 )，∴ C ＝90°，∴ sin C ＝1.答案：12 解析：选A 法一： ( 化边为角 ) 由正弦定理知：sin A ＝2sin B cos C ，又 A ＝π －( B ＋ C )，∴ sin A ＝sin( B ＋ C )＝2sin B cos C .∴ sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴ sin B cos C －cos B sin C ＝0，∴ sin ( B － C ) ＝0.又∵ B 、 C 为三角形内角，∴ B ＝ C .法二： ( 化角为边 ) 由余弦定理知cos C ＝，∴ a ＝2 b ·＝，∴ a 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － c 2 ，∴ b 2 ＝ c 2 ，∴ b ＝ c .3 解： ( 1 ) 因为cos 2 C ＝1－2sin 2 C ＝－，且0< C <π，所以sin C ＝ .( 2 ) 当 a ＝2 , 2sin A ＝sin C 时，由正弦定理＝，得 c ＝4.由cos 2 C ＝2cos 2 C －1＝－，及0< C <π得cos C ＝± .由余弦定理 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos C ，得 b 2 ± b －12＝0，解得 b ＝或2 ，所以或4 解： ( 1 ) 因为cos B ＝，所以sin B ＝ .由正弦定理＝，可得＝，所以 a ＝ .( 2 ) 因为△ ABC 的面积 S ＝ ac ·sin B ，sin B ＝，所以 ac ＝3， ac ＝10.由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，得4＝ a 2 ＋ c 2 － ac ＝ a 2 ＋ c 2 －16，即 a 2 ＋ c 2 ＝20.所以 ( a ＋ c ) 2 － 2 ac ＝20， ( a ＋ c ) 2 ＝40.所以 a ＋ c ＝2 .。
余弦定理公式大全
余弦定理公式大全余弦定理是解决三角形问题时经常使用的重要公式，可以通过它计算三角形的边长或角度。
它的表达式是：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中，a、b、c分别代表三角形的边长，C代表夹在边a和边b之间的角度。
1.角度公式：根据余弦定理公式，我们可以解出夹在边a和边b之间的角度C的值：cos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab通过这个公式，如果我们已知三角形的三个边长a、b、c，就可以计算出夹在边a和边b之间的角度C的大小。
2.边长公式：根据余弦定理公式，我们可以解出边c的值：c = √(a² + b² - 2ab*cos(C))通过这个公式，如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C，就可以计算出边c的长度。
3.面积公式：根据余弦定理公式，我们可以推导出三角形的面积公式：S = 1/2 * a * b * sin(C)其中，S代表三角形的面积。
通过这个公式，如果我们已知三角形的两个边长a、b和夹在边a和边b之间的角度C，就可以计算出三角形的面积。
4.费马定理公式：根据余弦定理公式，我们可以推导出费马点定理公式：AF² + BF² + CF² = 4S² / sqrt(3)其中，AF、BF、CF分别代表三角形的三个顶点到费马点的距离，S代表三角形的面积。
通过这个公式，如果我们已知三角形的面积S，就可以计算出费马点到三个顶点的距离。
总结：余弦定理提供了一种解决三角形问题的强大工具。
通过余弦定理公式，我们可以计算三角形的边长、角度和面积等相关参数。
这些公式的应用范围非常广泛，是解决三角形问题时的基础知识之一、掌握了余弦定理公式，我们就可以快速准确地解决三角形相关的数学问题。
正余弦公式大全
正余弦公式大全正余弦公式大全：1.正弦函数：正弦函数的公式是：y=sinθ，其中θ表示弧度。
2.余弦函数：余弦函数的公式为：y=cosθ，其中θ表示弧度。
3.正切函数：正切函数的公式为：y=tgtθ，其中θ表示弧度。
4.反正弦函数：反正弦函数的公式为：y= sin-1x，其中x表示反正弦函数的自变量。
5.反余弦函数：反余弦函数的公式为：y=cos-1x，其中x表示反余弦函数的自变量。
6.反正切函数：反正切函数的公式为：y=tg-1x，其中x表示反正切函数的自变量。
7.正割函数：正割函数的公式为：y=secθ，其中θ表示弧度。
8.余割函数：余割函数的公式为：y= cscθ，其中θ表示弧度。
9.余切函数：余切函数的公式为：y=cotθ，其中θ表示弧度。
10.反正割函数：反正割函数的公式为：y=sec-1x，其中x表示反正割函数的自变量。
11.反余割函数：反余割函数的公式为：y=csc-1x，其中x表示反余割函数的自变量。
12.反余切函数：反余切函数的公式为：y=cot-1x，其中x表示反余切函数的自变量。
正余弦公式的应用：1.三角恒等式：三角恒等式的公式可以为：sinθ=cosθ，tgtθ=secθ，cotθ=cscθ。
2.三角函数关系式：三角函数关系式的公式可以为：sin2θ+cos2θ=1，tan2θ+1=sec2θ，cot2θ+1=cscy2θ。
3.振动函数：振动函数表达式可以为：Y=Asinωt+b，其中A表示振幅，ω表示角频率，t表示正余弦函数的自变量，b表示相位移动量。
4.几何图形：几何图形的表示式可以为：X=Acos(ωt+θ)，Y= Asin(ωt+θ)，其中A表示振幅，ω表示角频率，t表示正余弦函数的自变量，θ表示相位移动量。
5.振动和回荡解一元二次方程：一般形式：at2+bt+c=0，其中a，b，c是常量，而t表示根号式振动解，可以化为：t=(-b±√b2-4ac)/2a,其中“±”代表正负号。
余弦定理6个公式
余弦定理6个公式
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
用余弦定理求三角形面积是常见的数学问题，但是想要快速的算出三角形的面积，还需要牢记余弦定理求三角形的面积的公式。
余弦定理有三个公式，三角形ABC中，如果∠A，∠B，∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系：
在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。
则有：
正弦定理：a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R(R为三角形外接圆半径)
余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC
余弦定理变形公式：cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC
cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab
注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
cos公式的其他资料：
它是周期函数，其最小正周期为2π。
在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
三角形余弦定理公式
三角形余弦定理公式是cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。
余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理。
拓展知识
判定定理，两根判别法。
若记m，c1,c2为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值。
①若m（c1,c2）=2,则有两解。
②若m（c1,c2）=1,则有一解。
③若m（c1,c2）=0,则有零解即无解。
注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
余弦定理公式及变形公式
余弦定理公式及变形公式好的，以下是为您生成的关于“余弦定理公式及变形公式”的文章：在咱们学习数学的这趟奇妙旅程中，余弦定理就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多难题的大门。
先来说说余弦定理的基本公式吧，对于一个三角形，假设三条边分别是a、b、c，对应的角分别是A、B、C，那么余弦定理的公式就是：a² = b² + c² - 2bc·cosA，b² = a² + c² - 2ac·cosB，c² = a² + b² - 2ab·cosC。
就拿我之前给学生讲题的时候遇到的一个例子来说。
有一次，课堂上我出了这样一道题：一个三角形，两条边分别是 3 和 4，它们夹角的余弦值是 1/8 ，让大家求第三条边。
同学们一开始都有点懵，不知道从哪儿下手。
我就引导他们，这时候余弦定理就派上用场啦！根据余弦定理 a² = b² + c² - 2bc·cosA，咱们把数值代入进去，就得到 a² = 3² + 4² - 2×3×4×(1/8) ，经过计算，就能得出 a 的值。
再来说说余弦定理的变形公式。
通过基本公式进行一些推导和变换，咱们能得到好多有用的变形。
比如 cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)，cosC = (a² + b² - c²) / (2ab) 。
这些变形公式在解题的时候可好用啦。
有一回，我带学生们做练习题，有一道题是只知道三角形的三条边的长度，让求其中一个角的余弦值。
这时候，用变形公式就能轻松解决。
直接把边的长度代入变形公式，就能算出角的余弦值。
三角形正余弦定理公式
三角形正余弦定理公式a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理的公式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosCb^2 = a^2 + c^2 - 2accosBa^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA接下来，我们将推导上述公式。
首先，我们以正弦定理开始推导：根据正弦定理，我们知道a/sinA = b/sinB。
假设我们知道其中两个比值，我们可以通过比较这两个比值来推导出第三个比值。
将两个比值相等的两个方程进行等式转换：a/sinA = b/sinBb/sinB = c/sinC将第一个方程两边乘以sinB，第二个方程两边乘以sinA，可以得到：a*sinB = b*sinA将这两个等式相等的两个比值相减，可得到：a*sinB - b*sinA = 0我们可以得到：b*sinA = a*sinB这意味着边长a与角度A的正弦值相等于边长b与角度B的正弦值。
由此得到了正弦定理。
现在，让我们来推导余弦定理：在三角形ABC中，我们可以通过向量的内积来得到余弦值。
令向量AB为a，向量AC为b。
根据三角形余弦定理，我们有：c^2=，a-b，^2=(a-b)•(a-b)（这里的^2表示平方，，表示向量的模，•表示向量的内积）=a•a-a•b-b•a+b•b=，a，^2-2(a•b)+，b，^2将向量的长度记为边长，即a=，a，b=，b，得到：c^2=a^2-2(a•b)+b^2利用三角形余弦定理的定义，我们可以得到：a •b = ，a， * ，b， * cosC将其代入上式，可以得到：c^2 = a^2 - 2(，a， * ，b， * cosC) + b^2这样我们就得到了三角形余弦定理。
通过以上推导，我们得到了三角形正弦定理和余弦定理的公式。
在实际应用中，我们可以根据具体问题来选择合适的定理进行计算。
下面将通过一些解题示例来说明如何应用这些公式。
【解题示例】①已知一个三角形的两边分别为3和4，夹角为60度，求第三边的长度。
余弦定理公式6个
余弦定理公式6个余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要工具。
它可以帮助我们计算未知的边长或角度，从而更好地理解和分析三角形。
1. 第一个余弦定理公式是用于计算三角形边长的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：c = a + b - 2abcos(C)。
这个公式可以帮助我们计算未知边长，只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。
2. 第二个余弦定理公式是用于计算三角形内角的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：cos(C) = (a + b - c) / 2ab。
这个公式可以帮助我们计算未知角度，只需要已知三个边长即可。
3. 第三个余弦定理公式是用于计算三角形面积的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：Area = 0.5 * ab * sin(C)。
这个公式可以帮助我们计算未知面积，只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。
4. 第四个余弦定理公式是用于判断三角形形状的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，则余弦定理可以表达为：c < a + b，如果等号成立，则表示三角形是直角三角形；如果等号不成立，则表示三角形是锐角三角形；如果等号反向成立，则表示三角形是钝角三角形。
5. 第五个余弦定理公式是用于计算三角形的高度的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：h = b * sin(A)，其中h表示三角形的高度。
这个公式可以帮助我们计算未知高度，只需要已知一个边长和它对应的角度即可。
6. 第六个余弦定理公式是用于计算三角形的周长的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，则余弦定理可以表达为：Perimeter = a + b + c。
这个公式可以帮助我们计算未知周长，只需要已知三个边长即可。
综上所述，余弦定理提供了多种公式和方法来解决三角形中的边长和角度之间的关系。
三角函数公式大全详解
三角函数公式大全详解一、什么是三角函数？三角函数是一类函数，它们以三角形为基本图形，通过三角形任意两条边和它们之间的夹角代表某一比例关系。
它们是以平面角度（θ）来描述某一比例关系，可以将角度θ在特定范围内运用到具有实际意义的函数中，比如描述的是三角形的大小或形状。
二、三角函数的九大公式（正弦定理、余弦定理、正切定理）1. 正弦定理：a2=b2+c2-2bccosA（a、b、c分别表示三角形的三边的长度，A表示夹角）；2. 余弦定理：a2=b2+c2-2accosB（a、b、c分别表示三角形的三边的长度，B表示夹角）；3. 正切定理：tanA/tanB=tan(A+B)/tan(A-B)（A、B分别表示三角形两个内角的大小）；4. 正弦函数：y=sinx（x为角度，sinx表示一个三角形的第三边与夹角的长度的比率）；5. 余弦函数：y=cosx（x为角度，cosx表示一个三角形的第二边与夹角的长度的比率）；6. 正切函数：y=tanx（x为角度，tanx表示一个三角形第一边与夹角的长度的比率）；7. 余切函数：y=cotx（x为角度，cotx表示一个三角形第一边与夹角的长度相反的比率）；8. 正割函数：y=secx（x为角度，secx表示一个三角形第二边与夹角的长度的比值的倒数）；9. 余割函数：y=cscx（x为角度，cscx表示一个三角形第三边与夹角的长度的比值的倒数）。
三、三角函数的反函数1. 反正弦函数：y=arcsinx（x表示一个三角形的第三边与夹角的长度之比，arcsinx表示求三角形夹角的大小θ）；2. 反余弦函数：y=arccosx（x表示一个三角形的第二边与夹角的长度之比，arccosx表示求三角形夹角的大小θ）；3. 反正切函数：y=arctanx（x表示一个三角形第一边与夹角的长度之比，arctanx表示求三角形夹角的大小θ）；4. 反余切函数：y=arccotx（x表示一个三角形第一边与夹角的长度相反的比率，arccotx表示求三角形夹角的大小θ）；5. 反正割函数：y=arcsecx（x表示一个三角形第二边与夹角的长度的倒数，arcsecx表示求三角形夹角的大小θ）；6. 反余割函数：y=arccscx（x表示一个三角形第三边与夹角的长度的倒数，arccscx表示求三角形夹角的大小θ）。
三角函数诱导公式正弦定理余弦定理基本公式
三角函数诱导公式正弦定理余弦定理基本公式1.三角函数诱导公式：正弦诱导公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)余弦诱导公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)正切诱导公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b))/(1 ∓ tan(a)tan(b))这些诱导公式可以用来简化计算，将三角函数的运算转化为其他三角函数的运算，从而简化复杂的计算过程。
2.正弦定理：正弦定理用于求解具有三个边的三角形的角度。
根据正弦定理，三角形的三个边的比例等于其对应角度的正弦值的比例。
正弦定理的公式如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c为三角形的三个边的长度，A、B、C为对应的三个角的度数。
正弦定理可以通过三边求角、两边一角求边等问题中使用。
3.余弦定理：余弦定理用于求解具有三个边或两边一角的三角形的边长。
根据余弦定理，三角形的一个边的平方等于另外两边的平方的和减去这两边长度的乘积与这两边所夹角的余弦值的两倍的乘积。
余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，a、b、c为三角形的三个边的长度，C为夹在a、b之间的角的度数。
余弦定理可以通过三边求角、两边一角求边等问题中使用。
4.基本三角函数公式：基本三角函数公式包括正弦、余弦、正切的定义和性质。
正弦公式：sin(a) = opposite/hypotenuse = a/c余弦公式：cos(a) = adjacent/hypotenuse = b/c正切公式：tan(a) = opposite/adjacent = a/b其中，a、b为直角三角形的两个直角边的长度，c为斜边的长度。
这些基本公式在解决直角三角形问题中非常常用。
三角形边与角的关系公式大全
三角形边与角的关系公式大全
三角形边与角的关系公式大全包括：
1、三角形内角和公式：三个内角之和等于180°，即A+B+C=180°；
2、余弦定理：在任意三角形中，每条边的平方等于其他两条边的乘积，再减去2乘以这两条边的乘积乘以余弦值，即：a²=b²＋c²－
2bc·cosA；
3、正弦定理：任意三角形中，每条边的正切等于其他两条边的比例，
再乘以这两条边的正切，即：tanA=b/c·tanB；
4、正弦定理：任意三角形中，每条边的正切等于其他两条边的比例，
再乘以这两条边的正切，即：sinA/a=sinB/b=sinC/c；
5、余切定理：任意三角形中，每条边的余切等于其他两条边的比例，
再乘以这两条边的余切，即：cotA=b/c·cotB；
6、面积公式：在任意三角形中，其面积S等于这三条边的一半乘以它
们的乘积的根号，即：S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))；其中p为边a、b、c
的半周长，即p=(a+b+c)/2。
余弦定理一般公式
余弦定理一般公式余弦定理是解决三角形相关问题常用的定理之一，它可以帮助我们求解三角形的边长或角度。
下面我们来介绍一下余弦定理的一般公式。
假设有一个三角形ABC，三个顶点分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c。
我们可以通过余弦定理来求解这个三角形的各个边长或角度。
余弦定理的一般公式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)其中，c表示边长c，a表示边长a，b表示边长b，C表示夹角C （夹角C是边c与边a、边b的夹角）。
根据余弦定理的一般公式，我们可以利用已知的边长或角度来求解未知的边长或角度。
下面我们通过几个例子来说明如何应用余弦定理。
例题1：已知三角形的两边长分别为a=5，b=7，夹角C=60°，求第三边c的长度。
根据余弦定理的一般公式，我们可以得到：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2*5*7*cos(60°)c^2 = 25 + 49 - 70*cos(60°)c^2 = 74 - 70*0.5c^2 = 74 - 35c^2 = 39因此，第三边c的长度为c = √39 ≈ 6.24。
例题2：已知三角形的一边长为a=8，夹角C=45°，另一边长b=10，求第三边c的长度。
使用余弦定理的一般公式，我们可以得到：c^2 = 8^2 + 10^2 - 2*8*10*cos(45°)c^2 = 64 + 100 - 160*cos(45°)c^2 = 164 - 160*0.7071c^2 = 164 - 113.1376c^2 = 50.8624因此，第三边c的长度为c = √50.8624 ≈ 7.13。
通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理的一般公式在解决三角形相关问题时非常有用。
我们只需要知道三角形的两个边长和夹角，就可以求解第三边的长度。
当然，如果已知三个边长，我们也可以通过余弦定理来求解夹角。
总结一下，余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具之一。
【初中数学】初中数学余弦的基础定理公式大全
【初中数学】初中数学余弦的基础定理公式大全【—三角函数的余弦公式定理】余弦是初中数学的自学中常用的一种数学术语，就是推论出来余弦函数的。
余弦基础公理角a的邻边比斜边叫作∠a的余弦，记作cosa(由余弦英文cosine缩写单单)，即cosa=角a的邻边/斜边(直角三角形)。
定理cos=x/r余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即为在余弦定理中，令c=90°，这时cosc=0，所以c2=a2+b2a0`30`45`60`90`cosa1√3/2√2/21/20∴cos30°=√3/2cos45°=√2/2cos60°=1/2cos90°=0(1)未知三角形的三条边长，纡出来三个内角;(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边;(3)未知三角形两边及其一边对角，可以谋其它的角和第三条边。
(看法三角形公式，推论过程略。
)判定定理一(两根判别法)：若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值①若m(c1,c2)=2，则存有两求解;②若m(c1,c2)=1，则有一解;③若m(c1,c2)=0，则存有零求解(即为难解)。
注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
认定定理二(角边辨别法)：一当a>bsina时①当b>a且cosa>0(即a为锐角)时，则存有两求解;②当b>a且cosa<=0(即a为直角或钝角)时，则有零解(即无解);③当b=a且cosa>0(即a为锐角)时，则存有一求解;④当b=a且cosa<=0(即a为直角或钝角)时，则有零解(即无解);⑤当b二当a=bsina时①当cosa>0(即a为锐角)时，则存有一求解;②当cosa<=0(即a为直角或钝角)时，则有零解(即无解);余弦和正弦一样，都就是推论出来适当的三角函数的基础知识，就是奠基石的促进作用。
余弦定理公式
余弦定理公式1. 引言余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理之一。
它可用于计算三角形的边长或角度，为解决各种实际问题提供了有效的工具。
本文将介绍余弦定理的原理、公式及其应用。
2. 余弦定理的原理余弦定理基于三角形中的角余弦定义。
在一个三角形中，我们可以使用余弦定理计算任意一边的平方与另外两边的关系。
余弦定理的基本原理如下：对于一个三角形ABC，设边长分别为a，b，c，对应的角为A，B，C。
那么余弦定理可以表示为以下形式：a² = b² + c² - 2bc * cos(A)类似地，我们可以根据需要选择其他两条边的关系。
3. 余弦定理的公式根据余弦定理的原理，我们可以总结出三个公式：•当需要计算边a时：a = sqrt(b² + c² - 2bc * cos(A))•当需要计算边b时：b = sqrt(a² + c² - 2ac * cos(B))•当需要计算边c时：c = sqrt(a² + b² - 2ab * cos(C))根据余弦定理的这三个公式，我们可以根据已知的数据计算出未知边的长度。
4. 余弦定理的应用余弦定理可以应用于各种实际问题中，例如计算位置坐标、测量距离等等。
4.1 三角形的边长计算假设我们知道一个三角形的两条边的长度和它们之间的夹角，可以使用余弦定理计算出第三条边的长度。
这对于测量无法直接获得的边长非常有用。
4.2 角的计算如果我们知道一个三角形的三条边的长度，并且我们想计算出其中一个角的大小，也可以使用余弦定理解决这个问题。
通过重排余弦定理公式并使用反余弦函数，我们可以计算出角度的值。
4.3 相似三角形的判定余弦定理还可以用于判断两个三角形是否相似。
如果两个三角形的对应边长比例相等，那么它们就是相似三角形。
通过使用余弦定理进行计算，我们可以得出两个三角形的边长比例，从而判断它们是否相似。
(完整版)高中数学三角函数公式大全全解
三角函数公式1.正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin =AC B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)4.诱导公试注：奇变偶不变，符号看象限。
注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注：三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg8.积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin9.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 锐角三角形函数公式总结大全1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
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正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识结构1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外 证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c aA bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。
正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。
5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力B练习题1．(2006山东)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,3,13A a b π===，则c = （ ）C.31-D.32．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A.223 B.233 C.23D.33 3．（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )A. 285cm B. 2610cm C. 2355cm D. 220cm5.（2006全国Ⅱ）已知ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为_________.6.(2006春上海)在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos.◆答案:; 3.由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ，∴a =b .4.组成边长6,7,7时面积最大;5.3; 6.257 四、经典例题【例1】(2006天津)如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ． （1）求AB 的值； （2）求()C A +2sin 的值. 解（Ⅰ）： 由余弦定理，2222..cos AB AC BC AC BC C =+- 341221 2.4=+-⨯⨯⨯= ∴ 2.AB =（Ⅱ）解：由3cos 4C =，且0,C π<<得sin4C==由正弦定理: ,sin sinAB BCC A=解得sinsin8BC CAAB==。
所以，cos8A=。
由倍角公式sin2sin2cos16A A A=⋅=，且29cos212sin16A A=-=，故()sin2sin2cos cos2sin8A C A C A C+=+=.◆解读思想：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.【例2】在ΔABC中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C及边c．解：由正弦定理得：sinA=23245sin3sin=⋅=bBa,因为B=45°<90°且b<a,所以有两解A=60°或A=120°(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°，c=22645sin75sin2sinsin+=⋅=BCb,(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=22645sin15sin2sinsin-=⋅=BCb◆解读思想：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1︒）[解] 连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700于是∵710120sin20sin︒=ACB, ∴sin∠ACB=73,∵∠ACB<90°∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援点拨纠正:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；【例4】已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有()()B b aC A R sin 2sin sin 222-=-成立，求△ABC 面积S 的最大值．解：由已知条件得()()()b a BR B A R -=-2sin 2sin sin2222．即有 2222b ab c a -=-，又 222cos 222=-+=ab c b a C ∴ 4π=c ．34A B π+= ∴ B A R ab C ab S sin sin 44242sin 212⋅===222232sin sin()4222sin (cos sin )22(sin 21cos 2)2[2sin(2)1]24R A A R A A A RA A R A ππ=-=+=+-=-+当32,()428A AB πππ-===即时, 2max 212R S +=．◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。
2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质． 【研讨.欣赏】（2006江西）如图,已知△ABC 是边长为1的正三角形, M 、N 分别是边AB 、AC 上的点,线段MN 经过△ABC 的中心G .设2()33MGA ππαα∠=≤≤. (1) 试将△AGM 、△AGN 的面积(分别记为1S 与2S )表示为α的函数; (2) 求221211y S S =+的最大值与最小值. 解:(1)因为G 为边长为1的正三角形ABC 的中心, 所以233,.3236AG MAG π=⨯=∠=由正弦定理,sinsin()66GM GA πππα=--6sin()6GM α=+得11sin sin (212sin()6S GM GA ααπα=⋅⋅==+则或,,sinsin()6sin()666GN GA GN πππαα==--又得21sin sin()(212sin()6S GN GA απαπα=⋅⋅-==-则或2222221211144(2)sin ()sin ()72(3cot ).sin 66y S S ππαααα⎡⎤=+=++-=+⎢⎥⎣⎦ 因为233ππα≤≤,所以当233ππαα==或时,y 的最大值max 240y =; 当2πα=时, y 的最小值min 216y =.提炼总结1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理； 2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
4．边角互化是解三角形的重要手段．正弦、余弦定理 解斜三角形【选择题】1.（2004浙江）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.（2004全国Ⅳ）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于 ( )A.231+ +3 C.232++33..下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 ( ) +cos A =51 B.AB ·BC ＞0 +tan B +tan C ＞0=3，c =33，B =30°4.(2006全国Ⅰ)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = ( )A.14 B. 34C. 4D. 3【填空题】5.（2004春上海）在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。
若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________6.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.练习简答：; 1.在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°答案：B2. 2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .由S=21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.得cos B =ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b =1+3.答案：B3.由tan A +tan B +tan C=tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.答案：C ; 6.若c 最大，由cos C ＞0.得c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.【解答题】7.（2004春北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac . 又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aAb sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中， 由面积公式得21bc sin A =21ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴cBb sin =sin A =23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理. 8.（2005春北京）在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积. 解法一：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）=22， ∴cos （A －45°）=21. 又0°＜A ＜180°， ∴A －45°=60°，A =105°. ∴tan A =tan （45°+60°）=3131-+=－2－3.∴sin A =sin105°=sin （45°+60°） =sin45°cos60°+cos45°sin60°=462+. ∴S △ABC =21AC ·AB sin A =21·2·3·462+=43（2+6）. 解法二：∵sin A +cos A =22， ①∴（sin A +cos A ）2=21.∴2sin A cos A =－21. ∵0°＜A ＜180°，∴sin A ＞0，cos A ＜0. ∴90°＜A ＜180°.∵（sin A －cos A ）2=1－2sin A cos A =23， ∴sin A －cos A =26.②①+②得sin A =462+. ①－②得cos A =462-. ∴tan A =A Acos sin =462+·624-=－2－3.（以下同解法一）9. （2004全国Ⅱ）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ； （2）设AB =3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）. （1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B AB A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43， 即BA BA tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tanB 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6. 评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力. 10. 在△ABC 中，sin A =CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得 a =abc b a ca b a c cb 22222222-++-++，所以22222222c a b a b c b c c b+-+-+=+,化简得a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.【探索题】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）（C B A A-+cos cos sin 2.（1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化试证明你的结论. （2）求y 的最小值. 解：（1）∵y =cot A +[][]）（）（）（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2=cot A +）（）（）（C B C B C B -++-+cos cos sin 2=cot A +CB CB C B sin sin sin cos cos sin +=cot A +cot B +cot C ，∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化. （2）∵cos （B －C ）≤1，∴y ≥cot A +A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A-+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2cot 2tan 3A A ⋅=3. 故当A =B =C =3π时，y min =3. 评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥3.可由三数的均值不等式结合cot A +cot B +cot C =cot A cot B cot C 来证.。