[2006]几种经典相似性度量的比较研究

2
问题描述
设 S 和 R 分别表示实时图和 基准图 , 大小 分别为 M1 ×N1
收稿日期 : 2005- 09- 20; 修返日期 : 2006- 03- 30 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 60234010, 60434020) ; 国家“ 973” 计划资助项目 ( 2002CB312200)
( 3) 平方差 ( SD)
D3 ( j) = ∑ (
k =1 N
分别为 ξ 1 和 ξ 2 按 NVs 准则归 一化后 的结果 , 且 η i 的 均值 和
2
xj k
- y k)
( 3)
* * 2 方差分别为 μ ij 和( σ ij ) ( i = 1 , 2 ; j = 0 , 1) 。 j = 0 和 j = 1 分 别
Abstract: In view of the image registration probability and registration precision, some classical similarity measures are compared theoretically. The conclusions drawn from this paper are: Absolute Difference( AD) and Mean Absolute Difference ( MAD) are equivalent. Square Difference( SD) , Mean Square Difference( MSD) , Product correlation sim ilarity measure ( Prod) and the Normalized product correlation similarity measure( Nprod) are equivalent. Prod/ Nprod/SD/ MSD is better than AD/ MAD when Signal-Noise-Ratio( SNR) is low, otherwise AD/ MAD is better than Prod/ Nprod/SD/ MSD. The comparison of the classical similarity measures may be used as a reference for the choice of similarity measures when some practical image registration or scene matching problems are encountered. Key words: Similarity Measure; Registration Precision; Capture / Registration/ False-alarm Probability 和 M2 ×N2 ( M1 ≤ M2 , N1 ≤ N2 ) 。图像匹配的目的是找到 S 在 R 中的位置 , 即找到 R 的一个与 S 相匹配的子图所在的坐标。一 般来说 , 只有一个正确的匹配位置 , 而不匹配的位置则有许多。 匹配位置中心与其中一个不匹配位置中心的距离称为偏移量 , 记为 j( 图 1) 。其中 , a 和 b 分 别表 示匹 配点 和 不匹 配点 的 中 心 , j 表示它们之间的距离( 偏移 量 ) 。当 j = 0 时 , 实 时图和 基 准子图匹配
( 4) 平均平方差( MSD)
D4 ( j) = 1 N ∑ ( x j - y k) N k =1 k
2
表示匹配和不匹配的情况 , 则有
( 4) η 1 = η 2 = ( 5) ( 6) ξ 1 - μ 10 μ 11 - μ 10 ξ 2 - μ 20 μ 21 - μ 20
( 9) ( 10 ) ( 11 ) ( 12 )
+ ∑ ( y k)
k =1
N
2
=
2 2 2 2 - 2 D5 ( j) + Nσ2 x + N( σ x + σ n) = - 2 D5 ( j) + N( 2 σ x + σ n)
( 18 )
4
相似性度量的比较
文献 [ 7] 隐含了一种判 别相似 性度量 优劣的 标准。设 D1
由定理 1 可知 , D5 ( j) 等价于 D3 ( j) , 即推论 2 之( 1) 得证。 由第 3 节的假设和式 ( 7) , 有
平均 绝对 差 ( MAD) 算法 等价 ; 平方 差 ( SD) 、 平 均 平 方 差 ( MSD) 、 积 相 关 ( Prod) 与归 一 化 积 相 关 ( Nprod) 算 法 等 价的 结论 。当图 像信 噪比 较低 时 , Prod/ Nprod/ SD/ MSD 算 法 优 于 AD / MAD 算 法 ; 否 则 , 后 者 优 于 前 者。 相 似 性 度量 的比 较研 究可为 实际 应用 中图 像配 准或 景象 匹配 问题 中相似 性度 量的 选择 提供 重要 的参 考依 据。 关键 词 : 相 似性 度量 ; 匹配 精度 ; 捕获 / 匹配 / 虚 警概 率 中图 法分 类号 : TP391. 4 文献 标识 码 : A 文章 编号 : 1001- 3695( 2006) 11- 0001 - 03
3
基本假设
为简化分析 , 理论上一般都采用 Johnson 的假设
[ 1]
由式 ( 16) 可得
* 2 * 2 (σ =( σ 1j ) 2j ) , j = 0 , 1
( 17 )
:
( 1) 设基准图的每个像素均是 平稳各态历 经的 , 并且是 零
2 均值的高斯过程 , 方差为 σ x。
因此作为相似性度量 , ξ 1 和 ξ 2 在 NVs 准则下等价。 推论 1 ( 1) AD 与 MAD 等价 ; ( 2) SD 与 MSD 等价 ; ( 3) 两种形式的积相关度量 , 即 D5 ( j) 与 D6 ( j) 等价。 推论 2 ( 1) SD 与 Prod 等价 ; ( 2) Prod 与 Nprod 等价 ; ( 3) SD, MSD, Prod 与 Nprod 等价。 证明 : 由第 3 节的假设和式( 3) , 有
D1 ( j) = ∑ |xj k - yk |
k =1
N
( 2) 平均绝对差 ( MAD)

( 1)
・ 2・
D2 ( j) = 1 N ∑ | xj - y k | N k =1 k
计算机应用研究
( 2)
2006 年
点和非匹配点均具有相同的方差即可。
2 设μ ij和 σ ij 分别表示 ξ 1 和 ξ 2 的均值和方差 , 并记 η 1 和 η 2
( 5) 积相关 ( Prod)
D5 ( j) = ∑ D6 ( j) =
N k =1
xj ky k
N
* * μ 10 = μ 20 = 1 * * μ 11 = μ 21 = 0
1 ∑ xj y N k =1 k k
为区别起见 , 式 ( 5) 记为 Prod-1, 式 ( 6) 记为 Prod-2。 ( 6) 归一化积相关 ( Nprod)
Comparison of Some Classical Similarity Measures
LIU Bao-sheng1, 2 , YAN Li-ping1 , ZHOU Dong-hua1
( 1 . Dept. of Automation, Tsinghua University, Beijing 100084 , China; 2 . Equipment Academy of Airforce, Beijing 100085 , China)
D3 ( j) = ∑ ( x j k - y k)
k =1 N 2 j = - 2 ∑ xj k yk + ∑ ( x k ) k =1 k= 1 N N 2
( 2) 实时图是被噪声污染的基准子图 , 即
y k = xk + nk , k = 1 , 2 , … , N
( 8)
且假设 nk 是平稳各态历经 的高斯 白噪声 , 均值 为 0, 方 差 为σ n。
D7 ( j) =
k =1 N
由于
ξ 2 = aξ 1 +b
( 13 )
∑ xj ky k
1/ 2
利用期望的线性性质 , 有
N
[ ∑(
k =1
N
2 xj k)
]
[ ∑
k =1
y2 k
1/ 2
( 7)
μ 20 = a μ 10 + b μ 21 = a μ 11 + b
( 14 ) ( 15 )
]
前四个 相 似性 度 量为 最小 相 似性 度量 , 而 Prod 和 Nprod 为最大相似性度量。
2
( 3) 设基准数据不同 的像素 之间 相互 独立 , 且 xk 与 nk 相
互独立。 基于上述假设 , 对于充分大的 N ( 一 般 N≥30) , 利用 中心 极限定理可知 , 第 2 节 列出 的六 种 相似 性度 量 均服 从高 斯 分 布 [ 1] 。因此 , 研究上 述 相似 性度 量 之间 的关 系 只需 研究 它 们 的均值与方差之间的关系。
将式 ( 13) ～式 ( 15) 代入式 ( 10) , 可得
η 2 = ξ 2 - μ 20 μ 21 - μ 20 =
( aξ 1 + b) - ( aμ 10 + b) ( aμ 11 + b) - ( a μ 10 + b)
=
ξ 1 - μ 10 μ 11 - μ 10
=η 1
( 16 )
[ 1]
1
引言
相似性度量是用于比较 一些形 状、 图像、 信息或 数据相 似
性的一个函数。 在图 像配 准、 景 象匹 配、 信 息检 索、 计算机视 觉、 图像融合、 遥感以及天气预报等领域 , 相似性度量有着很基 本但却十分重要的意义
[1～ 5]
。
[ 6]
据统计 , 到 1979 年 为 止 , 已 经 有 包 括 内 积、 Dice 系 数 和 J accard 系数等在内 的 60 多种 不 同的 相 似性 度量 。随 着 科 学技术和计算机应用技术的 发展 , 在一 些新的 应用需 求下 , 又 产生了许多新的相似性度量 , 如归 一化互相 关 ( NCC) ( 即归 一 化积相关 ( Prod) ) 、 相 位 相 关、 Hausdorff 距离 ( HD) 、 基于互信 息( MI) 的度量等 [ 2] 。然而 , 虽然有许多人研究相 似性度量 , 但 到目前为止 , 却很少有人真正去研究它们之间的关系。 本文研究了几 种典 型 的相 似 性度 量 , 之所 以 称它 们 为 典 型, 是因为它们自提出之 日到现 在, 依 然被众 多的研 究人员 广 泛采用。
。
a j b
图 1 偏移量示意图
设 R 表示 R 的偏移量为 j 的一个基准子图。进 一步记 R
j
j
j 为 Rj( x j1 , x2 , … , xjN ) ∈ RN , S 为 S( y 1 , y2 , … , yN) ∈ RN。其中 , 对
基于灰度的图像匹配 , N = M1 N1 ; 对基于特征的匹 配, N 表示 待
k =1 N
∑ xj ky k
2 1/ 2
和 D2 是两个相似性度量 , μ ij 和 σ 分别表示它们在匹配点 ( j = 0) 和非匹配点( j = 1) 的均值和方差。若 μ 10 = μ 20 = 1 , μ 11 = μ 21 = 0 且 σ ≤σ ( j = 0, 1) , 则 D1 优于 D2 ; 若 σ = σ , 则 D1 与 D2 等价。为方便描述 , 称满 足上 述条件 的度 量为 归一 化相 似 性度量 , 相应的均值 和 方差 分别 称 为归 一化 均 值和 归一 化 方 差, 称上述准则为归一化方差准则 ( NVs) 。 下面将基于准则 NVs 研究第 2 节列出的 相似性 度量之 间 的关系。 定理 1 设ξ 1,ξ 2 为两个 服从 高斯 分布的 随机 变量 , 且 满
0 0 0 匹配的特征点数。为方便描述 , 记 R0 ( x 0 1 , x2 , … , xN ) = R ( x 1 , x2 , … , xN) 。将寻找 S 在 R 中位置的问题转换为在欧式空间中
寻找与 S( y1 , y2 , … , yN ) ∈ RN 最相 近的 向 量的 过 程。一 般 来 说 , 度量两向量的相近程度可选用向量之间的夹角最小或距离 最短为标准。 本文研究几个经典的相似性度量 , 分别为 [ 1, 5] ( 1) 绝对差 ( AD)
2006 年第 11 期
刘宝生等 : 几种经典相似性度量的比较研究
・ 1・
几种经典相似性度量的比较研究
刘宝生
1, 2
*
, 闫莉萍 , 周东华
1
1
( 1. 清华 大学 自 动化 系 , 北 京 100084; 2 . 空 军装 备研 究院 , 北京 100085)
摘
要 : 以 图像 匹配 概率 和匹 配精 度为 准则 , 对 几种 经 典的 相 似 性 度 量进 行 了 比 较 研 究。 得 出 绝 对差 (Baidu NhomakorabeaAD) 与