【水文学与水文地质学】3第三章 水文统计

第二节 概率与频率
• 事件 :对随机现象的观测叫做随机试验, 随机试验的结果称为事件。 事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件三种 .
概率 :
k― 有利于随机事件A的结果数 ； n― 在试验中所有可能出现的结果。
• 频率（统计概率） 事件A在n次试验中出现了k次
为事件A在n次试验中出现的频率。
本节内容结束
第三章 水文统计基本原理与方法
第一节 概述 1、 水文现象的两重性 :
必然性，偶然性
偶然现象也称随机现象；偶然 现象仍然是有规律的，一般称为
统计规律
•
2、水文统计的任务 :
•
研究和分析水文随机现象的统计变化特性
3、水文统计的基本方法和内容:
(1)根据已有的资料（样本），进行频率 计算，推求指定频率的水文特征值； (2)研究水文现象之间的统计关系，应 用这种关系延长、插补水文特征值和作 水文预报； (3) 根据误差理论，估计水文计算中的
正态分布
密度函数分 布曲线
频数表资料所绘 制的直方图
直方图顶端的连线就会逐渐形成一条 高峰位于中央（均数所在处），两侧 逐渐降低且左右对称，不与横轴相交 的光滑曲线图（3）。这条曲线称为频 数曲线或频率曲线 ，近似于数学上的 正态分布（normal distribution）。
正态概率密 度函数为
离散型随机变量的概率分布一般以分布列表 示，如表
X
x1
x2 …… xi
……
P(X= xi)
p1
p2 ……
pi
……
连续型随机变量的概率分布用函数表示： 无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的 概率，或是研究事件X≥x的概率，以及事件X ≤x 的概率，后面二者可以相互转换，水文统计中 常用X≥x 的概率及其分布。
I)研究洪峰流量、洪水位、暴雨等最大值问题时
例如，某洪峰流量Qi的频率为P(Q≥Qi)=l％,那么此 洪峰流量的重现期为100年，则称为平均100年出现一 次大干或等于该洪峰流量Qi的事件.或称为百年一遇。
思考题
• 百年一遇洪水，是指 [________]。
•
a、大于等于这样的洪水每隔100年必然
频率与频率之 间的关系
例 （1）抛硬币，（2）抽奖
• 随机变量
• 随机事件的试验结果可用一个数X来表示， X随 试验结果的不同而取得不同的数值，它是带有随机 性的，则将这种随机试验结果X称为随机变量 • 分为：离散型随机变量和连续型随机变量 • 随机变量表示： • 用大写字母X表示 • 可能的取值：x1，x2 ，……，xn：叫系列
经验频率曲线
• 海森概率格纸 • 在概率格纸上绘制则有利于可适当外延曲线。
第五节 理论频率曲线
经验频率曲线存在的问题 ：
• 经验频率曲线计算工作量小，绘制简单，查用 方便，但受实测资料所限,往往难以满足设计上 的需要。 • 徒手对曲线两端外延是一种方法，但随意性 很大
数理统计中，常选择比较符合水文现象频率分布 规律的密度函数f(x)，借以求解累积频率曲线， －－－－称为理论频率曲线
水文频率分布线型
皮尔逊III型曲线 对数皮尔逊III型曲线 耿贝尔型曲线 克里茨基一闵凯里曲线
皮尔逊Ⅲ型曲线
• 是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图4-4-3）， 数学上常称伽玛分布，其概率密度函数为:
记作：N(μ，σ2 )。
若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知 曲线服从正态分布，记号 ～ 。其中μ、σ2 是两个不确定常数 ，是正态分布的参数，不同的μ、不同的σ2对应不同的正态分 布。
正态分布的特征
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线 与横轴间的面积总等于1。 • 服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。 • (1)μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋 势位置。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态 分布源自文库均数、中位数、众数相同，均等于μ。 • (2)σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大， 数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。 也称为是正 态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小， 曲线越瘦高。
例：某桥位处测得40年最高水位资料，如表，求水位 H≥25m的累积频率。（按照频率分段的定义思想，见 书47）
计算 H>=25的频率？？ 解：当水位H＝25m时，W=25%
P=25+5=30% 表明：若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的水 位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为P=30％。
经验频率曲线
• 由实测资料绘制而成的, 它是水文频率计算的基础, 具有一定的 实用性
步骤：具体实例在后边适线法再讲 （1）按从大到小的顺序排列 （2）用经验频率公式计算系列中各项的频率
（3）以水文变量x为纵坐标，以经验频率 为横 坐标，点绘经验频率点据，根据点群趋势绘出 一条平滑的曲线，称为经验频率曲线 （4）在曲线上求得指定频率P 的水文变量值xi
正态分布的应用
• 抽样误差的分布 • 人体身高分布 • 学生成绩分布 • 是其他分布函数的基础：t分布，F分布，误差函数，余误差函数
第四节 频率与重现期
• 频率曲线绘制后，就可在频率曲线上求出指定频率p的设计值xp。 由于"频率"较为抽象，水文上常用"重现期"来代替"频率"。所谓 重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次， 又称多少年一遇。
F(x)=P(X≥x) 称为随机变量x的分布函数
分布密度 分布函数 可以近似的用累积频率代替概率
频率密度
累积频率曲线
第三节 统计参数
均值 均方差 变差系数 偏态系数
均值
均方差： 均方差是反映系列中各变量集中或离散的程度
变差系数 系列的相对离散程度
偏态系数
衡量系列不对称程度的参数 CS＞0，正偏； CS＜0，负偏； Cs=0，对称系列，正态分布
会出现一次；
b、大于等于这样的洪水平均100年可能出
现一次；
c、小于等于这样的洪水正好每隔100年出
现一次；
d、小于等于这样的洪水平均100年可能出
现一次；
• 2)研究枯水流量、枯水位等最小值问题时，为了保证灌溉、发电、 给水等用水需要，一般设计频率P>50％．
例如，某枯水位Hi的频率为P(H≥Hi)=95％．那 么此枯水位的重现期T=20年，则称平均20年中有 一年的水位低于枯水位Hi或称为20年一遇。