随机信号与系统 循环平稳性

定义3.5 随机过程 X (t ), t T ，如果其任意 n 维概率分布函数具有周期性，即：存在某 常数L>0，任取 t1 kL, t2 kL,..., tn kL T 当 t1 , t 2 ,..., t n T与x1 , x2 ,..., xn R n 时 ，有
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严格周期平稳随机信号的特性
注意：定理3.2中的公式不仅限于严格周期 平稳的随机信号，它适用于所有的随机信 号，只要随机滑动是均匀的并且与随机信 号本身独立即可。
经周期内均匀的随机滑动 严格平稳 过程 以任意值为周期
1 L m m ( t ) dt X X L 0 L 1 R ( ) R ( t , t ) dt X L 0
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广义循环平稳性 E[E( X Y )] E[ X ]全期望公式
证明：令 Y(t)=X(t-Θ ) ，且X(t) 是广义周期平 稳的。其均值

L
0
f X ( y, t )d
相关函数：
R(t , t ) E[Y (t )Y (t )] E[ X (t ) X (t )]
* * * E E [ X ( t ) X ( t ) ]
RX (t , t ) f ( )d
第3章 平稳性与功率谱密度 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 平稳性与联合平稳性 循环平稳性 平稳信号的相关函数 功率谱密度与互功率谱密度 白噪声与热噪声 应用举例
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3.2 循环平稳性
X(t)=Acos(ωt+θ)
t
L=2π/ω
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3.2 循环平稳性
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另一种证明思路

Y(t)=X(t-Θ )，且Θ 与X(t)独立，由定理3.2 得 1 L
fY ( y , t )

1 L mY (t ) y fY ( y, t )dy y 0 f X ( y, t )d dy L 1 L 1 L yf X ( y, t )dyd yf X ( y, t )dyd L 0 L 0 1 L x(t ) f X ( y, t )dyd L 0 1 L 1 L mX (t )d 电子科技大学通信学院 mX (t )d 11 L 0 L 0
L
mY E[Y (t )] E[ X (t )] E E [ X ( t ) ]
mY E m ( t ) m ( t ) f ( ) d X X 0 t t 1 L 1/ L, [0, L] mX (t )dt f ( ) L 0 0, otherwise

严格循环 平稳过程
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3.2.2 广义循环平稳性 （WSCS）

定义3.6 随机过程 X (t ), t T ，如果其均值 与相关函数存在，并且具有周期性，即存 在常数L，使：
m(t ) E[ X (t )] E[ X (t kL)] m(t kL) R(t1 , t2 ) R(t1 kL, t2 kL)
F ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn ) F ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 kL, t2 kL,..., tn kL) 成立。则称X(t) 具有严格循环平稳性 （SSCS），也称X(t)是严格循环平稳随机信 号。L被称为X(t)的循环周期。
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百度文库
L
1 L RX (t , t )d L 0 1 L RX (t , t )dt L 0
所以X(t-Θ ) 是广义平稳的。
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FY ( y1 , y2 ,..., yn ; t1 , t2 ,..., tn ) E[ FX ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn )] 1 L FX ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn )d L 0
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严格周期平稳随机信号的特性


严格平稳随机信号可以看作严格周期平稳 随机信号，而其平稳周期可以是任意值。 严格周期平稳随机信号通过在其平稳周期 内均匀地随机滑动后，变为SSS R.S.。即定 理3.2。
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X(t)=Acos(ωt+θ)
t1+2T t3+2T
则称 X(t) 具有广义循环平稳性，也称 X(t) 是广义循环平稳随机信号。L被称为X(t)的 循环周期。
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广义循环平稳性
定理3.3 若广义周期平稳随机过程的周期 为 L ，而 Θ 是 [0,L] 上均匀分布的随机变量， 且 Θ 与X(t) 统计独立。则X(t-Θ ) 是广义平 稳的，并且有如下关系式
t
t1t2 t3 tn tn+1
X(t)=Acos(ωt+θ)
t2+2T t1+τ
tn+1+2T
t3+τ
t
t1t2 t3 tn tn+1 t2+τ 电子科技大学通信学院
tn+1+τ
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严格周期平稳随机信号的特性
定理3.2 若严格循环平稳随机过程X (t ), t T 的周 期为L，而Θ是[0,L]上均匀分布的随机变量， 且Θ与X(t)统计独立。则Y(t)=X(t-Θ)是严格平 稳的，并且，其任意 n 维概率分布函数有如 下关系式（证明略）：