广东省华南师范大学附属中学2.3.2 双曲线的简单几何性质 第一课时
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2.3.2 双曲线的简单几何性质(第一课时)(学生版)
一、【目标】——认清目标,这是你前进的方向!
1.通过“冷却塔”这一生活中出现的双曲线的例子,引入双曲线的几何性质,数形结合思想的贯彻,
学生通过双曲线的标准方程,推导出这些性质
2.能根据双曲线的方程求出双曲线的几何性质
3.运用双曲线的几何性质求双曲线方程
二、【合作探究】——数学来源于生活,对数学的探索,也就是对生活的探索
冷却塔利用简单的烟囱效应带动空气来工作。其实无论什么形状,只要营造出一定垂直坡度的空
间,就可以产生烟囱效应。那为什么要双曲面的设计呢?那是因为双曲线形的设计有助于提高冷却的
效率,底部有最大的圆周,可以最大限度地进入冷空气,冷空气到达最细部位时,接触热水,这时首
先由于管径变小,空气流速加快,可以尽快的带走热水中的热量,其次由于管径变小,冷空气的体积
也受到压缩,故压力也有增加,而压力增加流体的含热能力会随之增加,于是在细腰部冷空气可以最
大限度的吸收热水的热量从而使热水冷却。到了最上部,管径再次扩大,已携带了大量热量的空气由
于速度减慢,压力减小,又将所含的热量释放出来形成白色的水蒸气。
另外,冷却塔的单叶双曲面是一种直纹曲面,这一点可以形象化地简单的理解为把一根直线绕
着与它异面的一个轴旋转,这个直线划过的曲面就是一个单叶双曲面。这意味着一个建筑,如果有着
单叶双曲面的造型,那么它的主体可以只由直的钢梁来建造。毕竟大型钢梁,生产直的会比生产弯的
更方便。这样既可以减少风的阻力,又可以用最少的材料来维持结构的完整性。一个最典型的例子是
广州塔“小蛮腰”。
双曲线在我们日常生活中的应用例子非常多,这是由双曲线的性质决定的,下面我们一起探究
一下双曲线的性质
探究1:类比探究椭圆的几何性质,拿出你手上的双曲线纸板,你可以将它对折,使得两部分重合吗?
这样的折痕有多少条?
由探究1可知,对折后,使得两部分重合的折痕有 条。按上一节我们建立的坐标系可知,
双曲线的对称轴为 .它是一个 的图形。
探究2:(1)同样的,我们把双曲线与坐标轴的交点成为椭圆的顶点,请问这样的顶点有多少个?它
们的坐标分别是什么?
由探究2可知.双曲线的顶点有 个,它们的坐标分别
是 .
新知:我们图中把12AA称为实轴,12BB称为虚轴
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反思 :与椭圆比较,为什么12,BB不叫双曲线的顶点?为什么12BB称为虚轴?
探究3:(1)请同学们在下面的矩形的长(6)和宽(4)为实轴,作出虚轴作双曲线
(2)你能写出你画出来的双曲线的标准方程及其x,y的取值范围吗?
(3)若双曲线的方程为22221xyab,请写出其x,y的取值范围.
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探究4:(1)探究3中画出的双曲线与矩形的对角线有什么关系?
(2)直线bya与双曲线22221xyab又有什么关系呢?
(3)新知:我们把与双曲线无限接近但不相交的直线成为双曲线的渐近线,请问双曲线
22
22
1xyab
的渐近线是
探究5:类比椭圆,椭圆的离心率是描述椭圆的圆扁程度。那双曲线的离心率的大小对双曲线的影响
是什么?
三、【归纳总结】——试一试总结两种双曲线的几何性质
标准方程
22221xyab 22
22
1yxab
图形
范围
对称性
顶点坐标
离心率
渐近线
四、【闯关训练】—— 一关接一关,打怪前进!
第一关 (1)求双曲线22169144xy的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐
厉害了,你已经认识椭圆的几何性质有一个基本的认识!
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第二关 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
第二关 (1)实轴的长是10,虚轴长是8,焦点在x轴上;(2) 离心率2e,经过点(5,3)M
(3)经过点A(3,-1)的等轴双曲线
厉害了,你会利用双曲线的几何性质求出双曲线的方程!
五、【巩固提高】—— 本节的内容真的吃透了吗?
1.求双曲线22916144yx的实半轴长和虚半轴长,焦点坐标,离心率,渐近线方程。
2.22832xy的实轴长为 ,虚轴长为 ,顶点坐标为 ,焦
点坐标为 ,离心率为 。
3.双曲线1322yx的两条渐近线所成的锐角是__________________
4. 已知双曲线顶点间的距离是16,离心率54e,焦点在x轴上,中心在原点,写出双曲线的标准
方程,并且求出它的渐近线和焦点坐标。
5. 求以椭圆1162522yx的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程.
6.已知双曲线的两焦点是椭圆16410022yx的两顶点,双曲线的两条准线恰好过这个椭圆的焦点,
求双曲线的方程