广东省华南师范大学附属中学2.3.2 双曲线的简单几何性质 第一课时

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2.3.2 双曲线的简单几何性质(第一课时)（学生版）
一、【目标】——认清目标，这是你前进的方向！
1.通过“冷却塔”这一生活中出现的双曲线的例子，引入双曲线的几何性质，数形结合思想的贯彻，
学生通过双曲线的标准方程，推导出这些性质
2.能根据双曲线的方程求出双曲线的几何性质
3.运用双曲线的几何性质求双曲线方程
二、【合作探究】——数学来源于生活，对数学的探索，也就是对生活的探索
冷却塔利用简单的烟囱效应带动空气来工作。其实无论什么形状，只要营造出一定垂直坡度的空
间，就可以产生烟囱效应。那为什么要双曲面的设计呢？那是因为双曲线形的设计有助于提高冷却的
效率，底部有最大的圆周，可以最大限度地进入冷空气，冷空气到达最细部位时，接触热水，这时首
先由于管径变小，空气流速加快，可以尽快的带走热水中的热量，其次由于管径变小，冷空气的体积
也受到压缩，故压力也有增加，而压力增加流体的含热能力会随之增加，于是在细腰部冷空气可以最
大限度的吸收热水的热量从而使热水冷却。到了最上部，管径再次扩大，已携带了大量热量的空气由
于速度减慢，压力减小，又将所含的热量释放出来形成白色的水蒸气。
另外，冷却塔的单叶双曲面是一种直纹曲面，这一点可以形象化地简单的理解为把一根直线绕
着与它异面的一个轴旋转，这个直线划过的曲面就是一个单叶双曲面。这意味着一个建筑，如果有着
单叶双曲面的造型，那么它的主体可以只由直的钢梁来建造。毕竟大型钢梁，生产直的会比生产弯的
更方便。这样既可以减少风的阻力，又可以用最少的材料来维持结构的完整性。一个最典型的例子是
广州塔“小蛮腰”。

双曲线在我们日常生活中的应用例子非常多，这是由双曲线的性质决定的，下面我们一起探究
一下双曲线的性质
探究1：类比探究椭圆的几何性质，拿出你手上的双曲线纸板，你可以将它对折，使得两部分重合吗？
这样的折痕有多少条？
由探究1可知，对折后，使得两部分重合的折痕有 条。按上一节我们建立的坐标系可知，
双曲线的对称轴为 .它是一个 的图形。
探究2：（1）同样的，我们把双曲线与坐标轴的交点成为椭圆的顶点，请问这样的顶点有多少个？它
们的坐标分别是什么？
由探究2可知.双曲线的顶点有 个，它们的坐标分别
是 .

新知：我们图中把12AA称为实轴，12BB称为虚轴
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反思 ：与椭圆比较，为什么12,BB不叫双曲线的顶点？为什么12BB称为虚轴？
探究3：（1）请同学们在下面的矩形的长（6）和宽（4）为实轴，作出虚轴作双曲线

（2）你能写出你画出来的双曲线的标准方程及其x，y的取值范围吗？

（3）若双曲线的方程为22221xyab，请写出其x，y的取值范围.

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探究4：（1）探究3中画出的双曲线与矩形的对角线有什么关系？
（2）直线bya与双曲线22221xyab又有什么关系呢？
（3）新知：我们把与双曲线无限接近但不相交的直线成为双曲线的渐近线，请问双曲线
22
22
1xyab

的渐近线是
探究5：类比椭圆，椭圆的离心率是描述椭圆的圆扁程度。那双曲线的离心率的大小对双曲线的影响
是什么？

三、【归纳总结】——试一试总结两种双曲线的几何性质

标准方程
22221xyab 22
22
1yxab

图形
范围
对称性
顶点坐标
离心率
渐近线

四、【闯关训练】—— 一关接一关，打怪前进！
第一关 （1）求双曲线22169144xy的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐

厉害了，你已经认识椭圆的几何性质有一个基本的认识！
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第二关 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
第二关 (1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2) 离心率2e，经过点(5,3)M
(3)经过点A(3,-1)的等轴双曲线

厉害了，你会利用双曲线的几何性质求出双曲线的方程！
五、【巩固提高】—— 本节的内容真的吃透了吗？
1.求双曲线22916144yx的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程。

2.22832xy的实轴长为 ，虚轴长为 ，顶点坐标为 ，焦
点坐标为 ，离心率为 。

3．双曲线1322yx的两条渐近线所成的锐角是__________________

4. 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率54e，焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的标准
方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标。

5. 求以椭圆1162522yx的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程.

6．已知双曲线的两焦点是椭圆16410022yx的两顶点，双曲线的两条准线恰好过这个椭圆的焦点，
求双曲线的方程