广东省华南师范大学附属中学2.3.2 双曲线的简单几何性质 第一课时

2.3.2 双曲线的简单几何性质(第一课时)（学生版）

一、【目标】——认清目标，这是你前进的方向！

1.通过“冷却塔”这一生活中出现的双曲线的例子，引入双曲线的几何性质，数形结合思想的贯彻，学生通过双曲线的标准方程，推导出这些性质

2.能根据双曲线的方程求出双曲线的几何性质

3.运用双曲线的几何性质求双曲线方程

二、【合作探究】——数学来源于生活，对数学的探索，也就是对生活的探索

冷却塔利用简单的烟囱效应带动空气来工作。其实无论什么形状，只要营造出一定垂直坡度的空间，就可以产生烟囱效应。那为什么要双曲面的设计呢？那是因为双曲线形的设计有助于提高冷却的效率，底部有最大的圆周，可以最大限度地进入冷空气，冷空气到达最细部位时，接触热水，这时首先由于管径变小，空气流速加快，可以尽快的带走热水中的热量，其次由于管径变小，冷空气的体积也受到压缩，故压力也有增加，而压力增加流体的含热能力会随之增加，于是在细腰部冷空气可以最大限度的吸收热水的热量从而使热水冷却。到了最上部，管径再次扩大，已携带了大量热量的空气由于速度减慢，压力减小，又将所含的热量释放出来形成白色的水蒸气。

另外，冷却塔的单叶双曲面是一种直纹曲面，这一点可以形象化地简单的理解为把一根直线绕着与它异面的一个轴旋转，这个直线划过的曲面就是一个单叶双曲面。这意味着一个建筑，如果有着单叶双曲面的造型，那么它的主体可以只由直的钢梁来建造。毕竟大型钢梁，生产直的会比生产弯的更方便。这样既可以减少风的阻力，又可以用最少的材料来维持结构的完整性。一个最典型的例子是广州塔“小蛮腰”。

双曲线在我们日常生活中的应用例子非常多，这是由双曲线的性质决定的，下面我们一起探究一下双曲线的性质 探究1：类比探究椭圆的几何性质，拿出你手上的双曲线纸板，你可以将它对折，使得两部分重合吗？这样的折痕有多少条？

由探究1可知，对折后，使得两部分重合的折痕有 条。按上一节我们建立的坐标系可知，双曲线的对称轴为 .它是一个 的图形。 探究2：（1）同样的，我们把双曲线与坐标轴的交点成为椭圆的顶点，请问这样的顶点有多少个？它们的坐标分别是什么？

由探究2可知.双曲线的顶点有 个，它们的坐标分别是 .

新知：我们图中把12A A 称为实轴，12B B 称为虚轴

反思 ：与椭圆比较，为什么12,B B 不叫双曲线的顶点？为什么12B B 称为虚轴？ 探究3：（1）请同学们在下面的矩形的长（6）和宽（4）为实轴，作出虚轴作双曲线

（2）你能写出你画出来的双曲线的标准方程及其x ，y 的取值范围吗？

（3）若双曲线的方程为22

221x y a b

-=，请写出其x ，y 的取值范围.

探究4：（1）探究3中画出的双曲线与矩形的对角线有什么关系？

（2）直线b

y a =±与双曲线22221x y a b

-=又有什么关系呢？

（3）新知：我们把与双曲线无限接近但不相交的直线成为双曲线的渐近线，请问双曲线22

221

x y a b

-=的渐近线是

探究5：类比椭圆，椭圆的离心率是描述椭圆的圆扁程度。那双曲线的离心率的大小对双曲线的影响是什么？

四、【闯关训练】—— 一关接一关，打怪前进！

第一关 （1）求双曲线2

2

169144x y -=-的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐

厉害了，你已经认识椭圆的几何性质有一个基本的认识！

第二关 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

第二关 (1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；(2) 离心率e =(5,3)M -

(3)经过点A(3,-1)的等轴双曲线

厉害了，你会利用双曲线的几何性质求出双曲线的方程！ 五、【巩固提高】—— 本节的内容真的吃透了吗？

1.求双曲线22

916144y x -=的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程。

2.2

2

832x y -=的实轴长为 ，虚轴长为 ，顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，离心率为 。

3．双曲线13

22

=-y x 的两条渐近线所成的锐角是__________________ 4. 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率5

4

e =，焦点在x 轴上，中心在原点，写出双曲线的标准

方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标。

5. 求以椭圆

116

252

2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程.

6．已知双曲线的两焦点是椭圆

164

1002

2=+y x 的两顶点，双曲线的两条准线恰好过这个椭圆的焦点，求双曲线的方程