十字相乘法的灵活应用
440
中小学教育
?Teacher's journal ?Primary & Secondary Education
十字相乘法的灵活应用
贾世擎 白银市第十一中学
十字相乘法是一种简捷明快的观察试验方法，中学数学用以训练学生分解整系数的二次三项式。其实，许多比较复杂的式子，只要能设法化为某字母或某多项式的“二次多项式”，就多半能用十字相乘法分解因式。
对于一般形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f的关于x、y的二元二次多项式，先用十字相乘法把二次齐次式ax 2+bxy+cy 2用十字相乘法分解因式，十字交叉排列：
再用十字相乘法把cy 2+ey+f分解因式，把前一个十字的第二列作为第一列，十字交叉排列：
这两个十字合起来，使第一个十字的第二列与第二个十字的第一列相同，便得到双十字交叉的图示式：
并且有：a=kl，c=mn，f=pq，kn+lm=b，kq+lp=d，mq+np=e。
则ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=(kx+my+p)(lx+ny +q)，由于分解因式与整式乘法是互逆的过程，可以通过整式乘法进行验证。因为 (kx+my+p)(lx+ny+q)=klx 2+knxy+kqx+mlxy+mny 2+mqy
+lpx+npy+pq=klx 2+(kn+ml)xy+mny 2+(kq+l p)x+(mq+np)y+pq。又因为a=kl，c=mn，f=pq，kn+lm=b，kq+lp=d，mq+np=e。所以ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=(kx+my+p)(lx+ny+q)，这样就可以用双十字图示：
把ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f分解因式，结果为：(kx+my+p)(lx+ny+q)。这种用双十字图示
式分解因式的方法叫做双十字相乘法。下面我们通过几道例题，学会如何灵活运用双十字相乘法解决问题。
例1：把多项式12x 2+11xy-15y 2-30x+8y+12分解因式。
分析：先用十字相乘法分解关于x、y的二次齐次式12x 2+11xy-15y 2，把系数用画十字的方法排列：
再把关于y的二次三项式-15y 2+8y+12用十字相乘法分解因式，把上一个十字的第二列作为第一列，常数项12分解成的两个因数作为第二列，再用画十字的方法交叉排列：
这两个十字合起来，使第一个十字的第二列与第二个十字的第一列相同，变得到双十字交叉的图示式：
并且有：3×4=12，5×(-3)= -15，6×(-2)=-12，3×(-3)+4×5=11，3×(-2)+4×(-6)=-30，5×(-2)+(-3)×(-6)=8。
∴12x 2+11xy-15y 2-30x+8y+12=(3x+5y-6)(4x-3y-2)。
解：
∵3×4=12，5×(-3)=-15，6×(-2)=-12，3×(-3)+4×5=11，3×(-2)+4×(-6)=-30，5×(-2)+(-3)×(-6)=8。
∴12x 2+11xy-15y 2-30x+8y+12=(3x+5y-6)(4x-3y-2)。
例2：证明：x 4-16x 2+2x 2y 2-16y 2+y 4=4x 3+4xy 2-64x方程的图形是两个内切的圆。
证明：原方程可化为：x 4-16x 2+2x 2y 2-16y 2+y 4-4x 3-4xy 2+64x=0
即：x 4+2x 2y 2+y 4-16x 2-4x 3-16y 2-4xy 2+64x=0
∵x 2·x 2=x 4，y 2·y 2= y 4，-4x ×(-16)=64x ，x 2·y 2+x 2·y 2=2x 2y 2，x 2·(-16)+ x 2·(-4x )= -16x 2-4x 3，y 2·(-16) +y 2·(-4x)= -16y 2-4xy 2。
∴x 4+2x 2y 2+y 4-16x 2-4x 3-16y 2-4xy 2+64x==(x 2+y 2-4x)(x 2+y 2-16)。
∵x 4+2x 2y 2+y 4-16x 2-4x 3-16y 2-4xy 2+64x=0
∴(x 2+y 2-4x)( x 2+y 2-16)=0∴x 2+y 2-4x＝0或x 2+y 2-16=0∴(x-2)2+y 2＝4或x 2+y 2=16
∴第一个圆的圆心Ｏ1(2，0)，半径R 1=2，第二个圆的圆心Ｏ(0，0)，半径R=4。
∴两个圆的圆心距d=2
2
)00()02(?+?=2，半径之差为R-R 1=2，∴d=R-R 1
∴圆(x-2)2+y 2＝4与圆x 2+y 2=16相内切。∴方程x 4-16x 2+2x 2y 2-16y 2+y 4=4x 3+4xy 2-64x的图形是两个内切的圆。
为了提高学生学习数学的兴趣，这里初步介绍了双十字相乘法在二元二次多项式(或类二元二次多项式)中的某些应用，从而开拓学生的解题思路，增加知识，提高学生代数变形能力，培养学生的观察能力和思维的灵敏性，提高学生解题的技能、技巧。
二主体——英语教学中的创新理念
徐 龙 宿迁高等师范学校
【摘要】作为教学中的二主体教师和学生，在学校教育的大环境里都担当着多种角色，英语课堂教学也不例外。只有正确认识到英语教学的二主体，充分发挥教师的主导作用和学生的主动作用，英语课堂教学才能生动、活泼、和谐，才能实现交际的目的，才能培养学生实际运用英语的能力。【关键词】英语教学；主体；交际
引言
现代英语教学的实质、目的和归宿是交际，是培养学生实际运用英语的能力。在教学中，教师和学生都是主体，他们是平等合作的关系。教师的教是为了学生的学，学生的学是为了继承和发展人类积累起来的精神和物质财富。教和学结合构成的交际活动，是师生二主体相互联系的纽带。英语教学中师生的主体地
位和作用，是事关全局的问题，是现代外语教学法的出发点和立足点，也是我们当前转变教学观念的一个基本点。
1.正确认识英语教学的二主体
1.1 主体作为一个认识论的概念是相对于客体而言的
马克思说：“主体是人”，这人是指从事实践活动、认识活动、交际活动的人，或者
说，是实践活动、认识活动、交际活动的组织者、参与者和承担者。也就是说，并非任何人都是主体，而是“有认识和实践能力的人”。英语教学作为一种认识活动，是一个多面体的统一体，既有主客体的统一，又有主体之间的统一。在“英语教学”这个表达式里有两个主体：教师、学生；有两种活动方式：教、学；有一个共同的对象：英语。
十字相乘法在化学计算中的应用
十字相乘法概念 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项a分解成两个因数a1,a2的积 a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接 写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 就是比较两个分数的大小 例;a/b与c/d 则=ad与cb 就是两个分子分母互相乘 来比较乘积的大小 先看一则例子 例：将质量分数分别为30%和5%的盐酸按一定比例混合后得到质量分数为10%的盐酸，计算需加入的30%和5%盐酸的质量比是多少？ 分析：可用十字交叉法进行计算 [解]设：30%和质量5%的盐酸的质量为x和y，有 x 30%\ /10%-5% 5% 1 — = 10% ———= —= — y 5%/ \30%-10% 20% 4 答：需要的30%和5%的盐酸的质量为1：4 什么是十字交叉法？ 即根据质量分数不同（如a，b，且a>b）的两份溶液按比例混合后得到另一质量分数的溶液（如c），则混合前溶液的质量（如x和y）比例可用以下公式进行计算： （说明：混合前a>b，混合后的质量分数大小必为a 十字相乘法因式分解练习题及答案 1、=++232x x 2、=+-672x x 3、=--2142x x 4、=-+1522x x 9、=++342x x 10、=++1072a a 11、=+-1272y y 12、=+-862q q 13、=-+202x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 23、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x 27、=++71522x x 28、=+-4832a a 29、=-+6752x x 33、=-+15442n n 34、=-+3562l l 答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(22++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(2 2-+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2-+y y x 22、)6)(2(+--a a a 23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(22-++x x x y 33、)52)(32(n m n m +- 34、)73)(52(-+l l 十字相乘法 1．2() +++型的因式分解 x p q x pq 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22 x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ ()()()()()因此，2()()() +++=++ x p q x pq x p x q 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 例1．把下列各式因式分解： (1) 276 x x ++ -+(2) 21336 x x 小结： 例2．把下列各式因式分解： (1) 2524 -- x x +-(2) 2215 x x 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212 ,,,a a c c 写成112 2 a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等 于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成 1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ 例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y -- 十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ； （2）2 265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式： （1）3522 --x x ；（2）3832 -+x x ． 例3 把下列各式分解因式： （1）9102 4 +-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ． 点悟：（1）把2 x 看作一整体，从而转化为关于2 x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35； 十字相乘法 1．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 例1．把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 小结： 例2．把下列各式因式分解： (1) 2524x x +- (2) 2215x x -- 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212 ,,,a a c c 写成112 2 a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等 于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成 1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ 例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y -- 十字相乘法 十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 x2-5x+4x2+6x+8x2-7x+10 x2-3x-10x2+8x-202x2+5x-3 6x2-x-13x2+5x-22x2+3x+1 4x2-17x+410x2－21xy+2y2 一元二次方程应用题 专题：增长率问题： 1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为 ________________； 3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示） (1)根据图中所提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地面 积为公顷，比2000年底增加 了公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是年； （2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地总面积达到72．6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率． 1、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？ 2、为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6千米到科技展览馆参观。返回时比去时每小题少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时。求学生返回时步行的速度 3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速. 十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试， 十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。 （一）原理介绍：通过一个例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。 方法一：假设男生有A，女生有B。 （A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。 方法二： 男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A 的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C） 上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是：A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5 分析： 男教练：90% 2% 82% 男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：4 答案：C 2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少 A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2 答案：B 分析：职工平均工资15000/25=600 男职工工资：580 30 600 女职工工资：630 20 男职工：女职工=30：20=3：2 3．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。现在城镇人口有（）万。 A30 B 31.2 C 40 D41.6 分析：城镇人口：4% 0.6% 4.8% 农村人口：5.4% 0.8% 城镇人口：农村人口=0.6%；0.8%=3：4 70*（3/7）=30 答案A 4.（2006年国考）某市居民生活用电每月标准用电价格为每度0.50元，若每月用电超过规定的标准用电，超 十字相乘法习题 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x 4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x 27. 12)4(7)4(222++++x x x x 28.2224)3(x x -- 29.6)25)(35(22--+++x x x x 30.24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x 31. 223x x -- 32. 2257x x +- 33. 2321a a -- 34. 23145b b +- 35.22157x x ++ 36. 2384a a -+ 37. 2576x x +- 38. 261110y y -- 39.313122+-x x 40.272442++x x 41.8652-+x x 42.1322++x x 43.61362+-y y 44.6732--a a 45.15442-+n n 46.3562-+x x 47.13852--x x 48. 2152-+x x 49.220920y y -- 50.2252310a b ab +- 51. 222231710a b abxy x y -+ 52. 53251520x x y xy -- 53. 22122+-）（x x 54. 108)2(39)2(324+---y x y x 55.8306251022++-+-y x y xy x 54. 222210173b a abxy y x +- 55. 2222)332()123(++-++x x x x 十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法 个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x*2+7x+12进行因式分解. 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以 上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲解： x^2-3x+2=如下： x 1 ╳ x 2 左边x乘x=x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+-2乘x（对角）=-3x 上边的【x+（-1）】*下边的【x+（-2）】 就等于（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 公务员考试中的数学运算部分主要考察考生的算术式子的计算比较和数学应用题的分析运算能力。考生必须具备熟练的数学运算技能和扎实的数学基础知识，掌握一定的数学思想和方法，才能达到准确、迅速求解的要求。利用十字相乘法解公务员考试中的一些习题是很有效的。下面我们简单介绍一下这种方法，并结合例题分析。 十字相乘法的具体原理如下： 一个集合中的个体，可以有两个（或三个）不同的取值，一部分取值为A,另一部分的取值为B,平均值为C,求取值为A的个体与取值为B的个体的比例，假设A有X，B有（1-X）。 则 AX+B(1-X)=C X=(C-B)÷/(A-B) 1-X=(A-C)÷(A-B) 因此X ：(1-X) = (C-B) ：（A-C） 上面计算过程可抽象为 A C-B C B A-C 这就是十字相乘法，使用时要注意：1、用来解决两者之间的比例关系问题，2、得出的比例关系是基数的比例关系，3、总均值放中间，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年的本科生有（）。 A 3920 B4410 C4900 D5490 解析：方法一：按照我们常规的思维方法，大家都能想到的是方程法，这样我们 设这所高校今年的本科生有x 人，则据题意可列如下方程： ， 解得x= 4900. 我们看到题目的数字比较大，大家动笔计算起来很是复杂，这样虽然是算对了，但是会费很多的时间，这样在公务员考试有限的时间中，会给考生一些压力，并导致答不完题目。下面我们用上面介绍的十字相乘法解答，大家可以对照一下。 方法二：7650÷（1+2%）=7500，即2005年毕业生一共有7500人。 浅谈十字相乘法解决小学数学应用题 摘要：应用题教学是小学数学教学内容中非常重要的部分，在实际教学过程中很多老师感到很困惑，不知用什么样的方法才能让学生更明白，更清楚、更容易接受。也有很多学生会感到解决应用题非常困难，做题的速度慢，错误率高，不会找题中的数量关系，不会理解题中的已知条件和未知问题，特别是我们农村的小学生，就更难了。为了帮助学生提高应用题解题效率，使其掌握更多，更简单易懂的解题技巧，通过自己教学经验，总结出可以利用十字相乘法解决成正比例关系的应用题，希望能为今后的农村从事数学教学工作者提供帮助。 关键词：十字相乘小学应用题 十字相乘法一般运用在成正比例的应用题中，对于部分小学生的理解能力比较差，分不清楚题目的意思，不知怎么动笔解决此类应用题，我们可以跟学生介绍十字相乘法，这种题你教会学生画出十字架，并跟学生讲清楚，讲明白，为什么要这样写，可以通过题中的那句话来画，同时教学生怎么列式计算，这样学生就不会在乘除法中出现错误了。只要你能画出十字架，你就解决了题目中的一半了。总之只要是成正比例的问题，我们都可以利用画十字架的方法解决。这样学生比较清楚用乘法还是除法。 例：一辆客车3小时行174千米，照这样的速度，它12小时可以行多少千米？这是一道小学四年级上册的应用题，因四年级学生理解能力还不很成熟，可能不管老师怎么讲怎么分析都无法理解，如果我们用十字相乘法学生就容易理解，也容易接受，更容易掌握了。 分析：3小时 174千米表示：3小时行了174千米 12小时 ？千米 表示：12小时多少千米？ 注意点：做这种题时一定要注意单位对齐，并且交叉相乘相等，即：3×？＝12×174。在没学习方程之前可以问学生3和？表示什么数？（因数）再问学生因数等于什么？（因数＝积÷另一个因数），这样为后面解方程打下基础。也可以教会学生谁跟问号相连，谁就写在除法的后面：即÷3，别外两个数字相乘写在除号的前面,即：12×174÷3。如果学了方程就更简单了，可以利用解方法，即３ｘ＝12×174。 例：有5 2千克的糖平均分给3个小朋友，每个小朋友分多少千克？ 这是六年级上册分数除法中的一道题，也是常见的一道题。 52千克 3个 52千克的糖平均分给3个小朋友 ？千克 1个 1个小朋友分得多少千克 分析：3跟问题相连所以将3写在除号的后面，1与52 相乘写在除号的前面， 即：？＝52÷3 用这种方法解决一定要强调学生以下几个方面：（１）单位对齐，可以是横着对齐，也可以纵着对齐。但为了怕学生搞错，再说我们在前面的计算中谈到的对齐都是纵象对齐，所以我们还是强调学生纵向对齐，学生没有那么容易错。单位不同时换成单位统一的。（２）要求学生横着写，横着写容易要求学生单位对齐。这块以我教学生的情况有部分学生以为是交叉写，交叉写就是错的，所以老师在这块一定要强调学生，帮学生订证过来。 小学的数学解题方法是多样的，但对于农村的孩子，5+2=0的教育，基础差，理解能力更差，并且有时在一个班上还存在着部分学生字都不认识几个。而做为一线的数学教师，就应根据自己所带班的实际情况，积极思考，认真总结，找到一种或几种比较让你所带的学生更容易接收，更容易理解的方法来进行教学，只有学生乐于接受的方法才是好办法，我们不一定要根据书本上的方法，或者以前的老方法进行教学。 十字相乘法因式分解练习题 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142 x x 4、=-+1522 x x 9、=++342 x x 10、=++1072 a a 11、=+-1272 y y 12、=+-862 q q 13、=-+202 x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 23、=++101132 x x 24、=+-3722 x x 25、=--5762x x 27、=++71522 x x 28、=+-4832a a 29、=-+6752 x x 33、=-+15442 n n 34、=-+3562l l 答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(2 2 ++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(2 2 -+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2-+y y x 22、)6)(2(+--a a a 23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(2 2 -++x x x y 33、)52)(32(n m n m +-34、)73)(52(-+l l 35、)2)(10(y x y x --36、)54)(32(n m n m -- 37、)35)(4)(1(2 -+++x x x x 38、)8)(2)(3(2 -++-x x x x 十字相乘法 “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用： 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 例1把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15， 3×5。 解：因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式， 则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解：因为 2 -5 3 ╳ 5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 用十字相乘法解一些比较难的题目： 例5把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式 的形式 解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3 十字相乘法进行因式分解 1. 二次三项式 多项式cix2 +bx + c ,称为字母“的二次三项式，其中ax'称为二次项，&为一次项，c 为常数项.例如，x2 -2x-3和疋+5尤+ 6都是关于x的二次三项式. 在多项式X2-6A>-+8V2中，如果把y看作常数，就是关于“的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y的二次三项式. 在多项式2a2b2-lab+3中，把訪看作一个整体,即2(“尸-7(ab) + 3，就是关于訪的二次三项式.同样，多项式(x+)y+7(x+y) + 12 ,把x+y看作一个整体，就是关于x +卩的二次三项式. 2. 十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(?+ ? (cx+小竖式乘法法则.它的一般规律是： (1) 对于二次项系数为1的二次三项式x2+px + q f如果能把常数项g分解成两个因数曰，6的积，并 且a+b为一次项系数。那么它就可以运用公式 [ x' + {a + b)x + ab = (x + a){x + b) 分解因式.这种方法的特征是''拆常数项，凑一次项”.公式中的"可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同. (2) 对于二次项系数不是1的二次三项式a^+bx + c (a, b, c都是整数且mfO)来说，如果存在四个整数a v a19c v c2,使a〕?a2=a f c{*c2=c ,且a{c2 + a2c} = b , 3. 因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘 法，最后考虑分组分解法.对于一个还能継续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤 十字相乘法教案 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688] 十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规 律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： 因式分解详解——注意中间项的符号！最后的符号同十字相乘列式的符号~ 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 有()()()b x a x ab x b a x+ + = + + + 2 注意：这里常数项是2，只有1×2。当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝试，直到符合要求为止。通常是拆分常数项，验证一次项 例1 把2x2-7x+3分解因式。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3） =5 =7 =-5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之 积，即a=a 1a 2 ，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c 1 c 2 ，把a 1 ，a 2 ，c 1 ，c 2 排列如下： a 1 c 1 a 2× c 2 a 1c 2 + a 2 c 1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1c 2 +a 2 c 1 ，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系 数b，即a 1c 2 +a 2 c 1 =b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1 x+c 1 与a 2 x+c 2 之积，即 ax2+bx+c=（a 1x+c 1 ）（a 2 x+c 2 ）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 × -5 2×（-5）+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。 解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二镒项系数不是1的二次三贡式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。 对于二次项系数是1的二次三贡式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 1 × 5 1×5+1×（-3）=2 所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。 例3把5x2+6xy-8y2分解因式。 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 × -4 1×（-4）+5×2=6 解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。 例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。 问：两个乘积的历式有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？ 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。 解（x-y）（2x-2y-3）-2 =（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2 =2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1 =［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3 =（x-y-2）（2x-2y+1）。 指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 5、十字相乘法解题实例： 1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为1 -2 1 ╳6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为1 2 5 ╳-4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解：因为1 -3 1 ╳-5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解：因为2 -5 3 ╳5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-67xy+18y²分解因式 分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为2 -9y 7 ╳-2y 所以14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式十字相乘法练习题及答案
十字相乘法——高中常用的解方程方法
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法——高中常用的解方程方法
初二 十字相乘法 应用题
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘例题及在资料分析中的使用
(完整版)十字相乘法练习题
十字相乘法的运算方法
国家公务员行测：十字相乘法简介
浅谈十字相乘法解决小学数学应用题
因式分解十字相乘法练习题含答案
十字相乘法的用法
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法教案
十字相乘法因式分解练习题
十字相乘法的方法