山东省泰安市新泰市第二中学2019-2020年高一下学期期中考试数学试卷

数学试题
一、选择题(每小题5分,共12小题60分)
1、下列命题中正确的个数有( )
①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;②单
位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等;④共线的向量,若
起点不同,则终点一定不同.
A.0
B.1
C.2
D.3
2、把电影院的张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁人，每人分
得张，事件“甲分得排号”与事件“乙分得排号”是（）
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.以上答案都不对
3、如图，已知，用表示，则等于( )
A. B. C. D.
4、已知某运动员每次投篮命中的概率为.现采用随机模拟的方法
估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出到之
间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；
再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了
组随机数：
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A. B. C. D.
5、一梯形的直观图是如图的等腰梯形,且直观图
的面积为,则原梯形的面积为
( )
A. B. C. D.
6、一组数据的平均数为，标准差为，则数据
的平均数与标准差分别是( )
A. B. C. D.
7、《九章算术》是中国古代的数学瑰宝,其第五卷
商功中有如下问题:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,
深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何?”翻译成现代汉语就是:
今有三面皆为等腰梯形,其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道,
前端下宽尺,上宽一丈,末端宽尺,深尺,长尺(注:一丈十尺).则该五面体的体积为( )
A.立方尺.
B.立方尺.
C.立方尺.
D.立方尺
8、已知点在平面中，且
，则点是的
（）
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
二、多选题(每小题5分,共4小题20分)
9、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径
相等,下列结论正确的是( )
A.圆柱的侧面积为
B.圆锥的侧面积为
D.圆锥的表面积最小
C.圆柱的侧面积与球面面
积相等
10、下列结论不正确的是
A.若向量共线,则向量的方向相同
B.中,D是BC中点,则
C.向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条
直线上
D.若,则使
11、是衡量空气质量的重要指标,我国采
用世卫组织的最宽限定值,即日均值在
以下空气质量为一级,在
空气质量为二级,超过为超标.如图是
某地月日至日的(单位:)的
日均值,则下列说法正确的是( )
A.这天中有天空气质量为一级
B.从日到日日均值逐渐降低
C.这天中日均值的中位数是
D.这天中日均值最高的是月日
12、设m n
、表示不同直线，αβ
、表示不同平面，则下列结论中正确的
是( )．
A ．若////m m n α，，则//n α
B ．若////m n m n αββα⊂⊂，，，，则//αβ
C ．m ,n 是两条异面直线,若//m α,//m β,//n α,//n β.则//αβ.
D ．若//////m n m n αβαβ⊄，，，，则//n β 三、填空题(每小题5分,共4小题20分) 13、已知为虚数单位,若复数
,的共轭复数为,则
__________. 14、已知
,
,且
与
的夹角为锐角,则实数的取值范围是 __________.
15、如图所示,一艘海轮从处出发,测得灯塔在海轮的北偏东方向,与海轮相距海里的处,海轮按北偏西的方向航行了分钟后到达处,又测得灯塔在海轮的北偏东的方向,则海轮的速度为__________海里分. 16、如图，在
中，
，
，
，则
的值为__________．
四、解答题(共6小题70分)
17.(本小题满分10分)已知复数12i z =-（i 为虚数单位）. （1）若002z z z z ⋅=+，求复数0z 的共轭复数；
（2）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值 18、(本小题满分15分)已知在中，，，，边上的高为． (1)求证：； (2)求点和向量的坐标； (3)设，求．
19、(本小题满分15分)某重点高中拟把学校打造成新型示范高中,为此制定了很多新的规章制度,新规章制度实施一段时间后,学校就新规章制度的认知程度随机抽取名学生进行问卷调查,调查卷共有个问题,每个问题分,调查结束后,发现这名学生的成绩都在内,按成绩分成组:第组,第组,第组,第组,第组,绘制成如图所示的频率分布直方图,已知甲、
乙、丙上分别在第,,组,现在用分层抽样的方法在第,,组共选取人对新规取章制度作深入学习.
(1)求这人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(2)求第,,组分别选取的人数;
(3)若甲、乙、丙都被选取对新规章制度作深入学习,之后要从这人随机选取人,再全面考查他们对新规章制度的认知程度,求
甲、乙、丙这人至多有一人被选取的概率. 20(本小题满分15分)
设a ，b 是不共线的两个非零向量．
(1)若OA →
＝2a －b ，OB →
＝3a ＋b ，OC →
＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线；
(2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值；
(3)若AB →
＝a ＋b ，BC →
＝2a －3b ，CD →
＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． 21.(本小题满分15分)
已知ABC △中，角A B C ,,的对边分别是a b c ,,，向量c 3cos s ()in a c A C =++,m ，
s ()in b B =,n 满足//m n . （1）求角A .
（2）若ABC △的面积为43，5a =，求ABC △的周长.
数学期中考试答案
1-8ACCBDACD 9CD 10ACD 11ABD 12CD
13. 14.
15.
16.
17.答案：（1）因为002z z z z ⋅=+，所以()0212i 22i 12i
z z z -===+--， 所以复数0z 的共轭复数为2i -.
（2）因为z 是关于x 的方程250x mx -+=的一个虚根， 所以()()2
12i 12i 50m ---+=，即()()224i 0m m -+-=.
又因为m 是实数，所以2m =.
第18题解析 (1)证明：
∴
∴
即
． (2)设点的坐标为
，则
，∵
，
∴
①
又而与共线，
∴，②联立①②，解得
故点D 的坐标为(∴
(3)...
第19题解析
(1)这人的平均得分为:
.
(2)第组的人数为,
第组的人数为,
第组的人数为,故共有人,
∴用分层抽样在这三个组选取的人数分别为:,,.
(3)记其他人为丁、戊、己,
则所有选取的结果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(甲、戊)、(甲、己)、(乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己)、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、己)、(丁、戊)、(丁、己)、(戊、己)共种情况,
其中甲、乙、丙这人至多有一人被选取有种情况,
故甲、乙、丙这人至多有一人被选取的概率为.
20.证明：(1)设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，
且O为AE的中点，连接MO，
则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.
因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，
所以DE∥GN.
因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE ∥平面MNG .
因为M 为AB 的中点，N 为AD 的中点， 所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN . 因为BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG .
因为DE ∩BD ＝D ，BD ，DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ∥平面MNG .
21.解 (1)证明：因为AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，AC →＝OC →－OA →
＝－a －2b ，
所以AC →
＝－AB →
.又因为A 为公共点，所以A ，B ，C 三点共线． (2)设8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，λ∈R ，则⎩⎨
⎧
8＝λk ，
k ＝2λ，
解得⎩⎨
⎧
k ＝4，λ＝2
或⎩⎨
⎧
k ＝－4，λ＝－2，
所以实数k 的值为±4.
(3)AC →
＝AB →
＋BC →
＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ，
因为A ，C ，D 三点共线，所以AC →
与CD →
共线． 从而存在实数μ使AC →
＝μCD →
， 即3a －2b ＝μ(2a －kb )，
所以⎩⎨
⎧
3＝2μ，－2＝－μk .
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
μ＝32，k ＝43
.所以k ＝4
3
.
22.解：（1）由
//m n 得())sin sin a c B b A C +=+， 结合正弦定理得()sin sin sin sin sin A C B B C +-
cos B A .
),π(0B ∈Q ，
sin 0B ∴≠，tan A ∴),π(0A ∈Q ，π3
A ∴=
.
（2）
ABC Q △的面积为1
sin 2
bc A ∴=. 由（1）知π3
A =，16bc ∴=.
由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-22b c bc =+-()2
3b c bc =+-()2
4825b c =+-=.
b c ∴+.ABC ∴
△的周长为5+。