中考复习《圆的综合应用》.ppt
圆的综合应用.完整版PPT资料
解：(1)证明：连接 OC，
∵OD⊥BC， 正多边形和圆的关系（ 增加的必学 ）
(2)无交点，作垂直，证半径．当此线与圆无交点时，过圆心向此线作垂线段，证明此垂线段长等于半径．
∴OC＝OB，CD＝BD， 圆的切线的判定为中考常考的考点之一，证明思路为：
②证明一角为90°，经常通过证明两个直角三角形全等或是利用平行的性质得到．
考点变化 ：圆与圆的位置关系（删减内容） 正多边形和圆的关系（ 增加的必学 ）
三年考点分析
年份 2010
题号
考点
①切线的性质定理 ②相似三角形的性质与判定 ③勾股定理
①圆周角定理；
2011
②切线的性质定理 23 ③三角形函数
2012
①矩形的性质与判定 ②全等三角形的性质与判定 ③切线的性质定理 ④勾股定理
尝试用列方程的思想方法解决几何的计算问题 是一种重要的思想方法．
独立 作业
1.对圆的综合应用知识进 一步完善,做到查漏补缺.
2.完成《中考内参》
P123 3 ,4，5题
圆的切线的判定为中考常考的考点之一，证明思路为： (1)有交点，连半径，证垂直．这是最常见的类型，这 类证明又常分为两种情况： ①证明两个以上的角之和为90°，经常利用圆的有关 性质(半径相等，圆周角定理等)进行等角代换； ②证明一角为90°，经常通过证明两个直角三角形全 等或是利用平行的性质得到． (2)无交点，作垂直，证半径．当此线与圆无交点时， 过圆心向此线作垂线段，证明此垂线段长等于半径．
∴△CDO≌△BDO， ②全等三角形的性质与判定
①证明两个以上的角之和为90°，经常利用圆的有关性质(半径相等，圆周角定理等)进行等角代换；
∴∠COD＝∠BOD. ①证明两个以上的角之和为90°，经常利用圆的有关性质(半径相等，圆周角定理等)进行等角代换；
中考数学专题复习 圆的综合应用(原卷版+解析)
专题10 圆的综合运用一选择题1.（南通市崇川区启秀中学一模）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为()A. 83cm B. 163cm C. 3cm D. 43cm2.(无锡市四校联考一模)如图，AB是⊙O的直径，DB、DE别切⊙O于点B、C，若∠ACE=25°，则∠D的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°3.(绍兴市一模)如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连结AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连结AD．若∠ABC＝36°，则∠ADC的度数为（）A．27°B．32°C．36°D．54°4.（唐山市遵化市一模）如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为()A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1.5cm5.（广东省北江实验学校一模）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝45，BD＝5，则OH的长度为( )A.23B.56C.1D.766.(上海市杨浦区一模)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上位于直径AB 两侧的点，连接AC ，AD ，BD ，CD ，若⊙O 的半径是13，BD ＝24，则sin ∠ACD 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．7. （合肥168中一模）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为23π，则图中阴影部分的面积为( )A. π9 B. √3π9C. 3√32−3π2D. 3√32−2π38.(无锡市四校联考一模)已知直线y =−x +7a +1与直线y =2x −2a +4同时经过点P ，点Q 是以M(0,−1)为圆心，MO 为半径的圆上的一个动点，则线段PQ 的最小值为( )A. 103B.163 C. 85D.185二 填空题9.(无锡市四校联考一模)圆锥的底面半径为14cm ，母线长为21cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为______度．10.(绍兴市一模)如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，若以点C 为圆心，r 为半径的圆与边AB 所在直线有公共点，则r 的取值范围为 ．11.（合肥市天鹅湖教育集团一模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，2AB =，以点A为圆心，以AC 为半径画弧，交AB 于D ，则扇形CAD 的周长是_____________（结果保留π）．12.（宿州市一模）（5分）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为．13.（芜湖市一模）如图，以长为18的线段AB为直径的⊙O交△ABC的边BC于点D，点E在AC上，直线DE与⊙O相切于点D．已知∠CDE＝20°，则的长为．14.（合肥168中一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=______．15.（淮北市名校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，过点C的直线CD与⊙O相切于点D，连接BD，若CD=BD=6√3，则线段AC的长是______．16.(无锡市四校联考一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为______ ．三简答题17.(绍兴市一模)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE的长．18.(沈阳市一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．19.（芜湖市一模）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交⊙O于点D．（I）如图①，若BC是⊙O的直径，BC＝4，求BD的长；（Ⅱ）如图②，若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：DE＝DB．20.（唐山市遵化市一模）如图，在△ABC中，AB=AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．(1)求证：直线DF是⊙O的切线；(2)若OC=1，∠A=45°，求劣弧DE的长．21.（广东省北江实验学校一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，对角线BD为⊙O的直径，AC与BD交于点E．点F为CD延长线上，且DF=BC.（1）证明：AC=AF；（2）若AD=2，AF= √3+1，求AE的长；（3）若EG∥CF交AF于点G，连接DG.证明：DG为⊙O的切线.22.（宿州市一模）（12分）已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2＝MD•MN．23.（淮北市名校联考一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点B作BD//OC交⊙O于点D，连接AD交OC于点E．(1)求证：BD=AE；(2)若⊙O的半径为2，求OE的长．24.(无锡市四校联考一模)如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A=30°，DC=√2．(1)求圆心O到弦DC的距离；(2)若∠ACB+∠ADC=180°，求证：BC是⊙O的切线．25.（南通市崇川区启秀中学一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r>1)，P是圆内与圆心C 不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA−PB|=2，则称点P 为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．(1)当⊙O的半径为2时，①在点M(32,0)，N(0,1)，T(−√32,−12)中，⊙O的“完美点”是______；②若⊙O的“完美点”P在直线y=√3x上，求PO的长及点P的坐标；(2)⊙C的圆心在直线y=√3x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．26.(无锡市四校联考一模)如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8.动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD 于点M，设运动的时间为t．(1)当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM．(2)在整个运动过程中，①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形．②圆心O处在矩形ABCD内(包括边界)时，求t的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长．27.（天津市河北区一模）已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OAC＝58°．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小．28.(珠海市香洲区一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4．①当OD＝3，求AD的长度；②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．专题10 圆的综合运用一选择题2.（南通市崇川区启秀中学一模）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为()A. 83cm B. 163cm C. 3cm D. 43cm【解析】：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2πr=120π⋅8180，r=83cm．故选：A．2.(无锡市四校联考一模)如图，AB是⊙O的直径，DB、DE别切⊙O于点B、C，若∠ACE=25°，则∠D的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°【解析】：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD=DC，∵∠ACE=25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DBC=∠DCB=90°−25°=65°，∴∠D=50°．故选：A．3.(绍兴市一模)如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连结AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连结AD．若∠ABC＝36°，则∠ADC的度数为（）A．27°B．32°C．36°D．54°【解析】：∵AB为⊙O的切线，切点为A，∴∠OAB＝90°，∵∠ABC＝36°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABC＝54°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADC，∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD＝2∠ADC＝54°，∴∠ADC＝27°，故选：A．4.（唐山市遵化市一模）如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为()A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1.5cm【解析】：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，∴OC=√3cm，又∵∠ACB=60°，∴∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得FC=32cm，即CE=2FC=3cm．故选：B．5.（广东省北江实验学校一模）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝45，BD＝5，则OH的长度为( )A.23B.56C.1D.76【解析】如解图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，点H是弦CD的中点，∴由垂径定理可知AB⊥CD，在Rt△BDH中，∵cos∠CDB＝45，BD＝5，∴DH＝4，∴BH＝√BD2−DH2＝√52−42＝3，设OH＝x，则OD＝OB＝x＋3，在Rt△ODH中，OD2＝OH2＋DH2，∴(x＋3)2＝x2＋42，解得x＝76，即OH＝76.故答案为：D.6.(上海市杨浦区一模)如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．【解析】：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝＝＝，∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选：D．8.（合肥168中一模）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为23π，则图中阴影部分的面积为()A. π9B. √3π9C. 3√32−3π2D. 3√32−2π3【解析】：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，∴∠BAC=∠EBA=30°，∴BE//AD，∵弧BE的长为23π，∴60π×R180=23π，解得：R=2，∴AB =ADcos30°=2√3， ∴BC =12AB =√3，∴AC =√AB 2−BC 2=3，∴S △ABC =12×BC ×AC =12×√3×3=3√32，∵△BOE 和△ABE 同底等高， ∴△BOE 和△ABE 面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S △ABC −S 扇形BOE =3√32−60π×22360=3√32−2π3． 故选：D ．8.(无锡市四校联考一模)已知直线y =−x +7a +1与直线y =2x −2a +4同时经过点P ，点Q 是以M(0,−1)为圆心，MO 为半径的圆上的一个动点，则线段PQ 的最小值为( )A.103B.163 C. 85D.185【解析】：解方程组{y =−x +7a +1y =2x −2a +4得{x =3a −1y =4a +2，∴P 点坐标为(3a −1,4a +2)， 设x =3a −1，y =4a +2， ∴y =43x +103，即点P 为直线y =43x +103上一动点，设直线y =43x +103与坐标的交点为A 、B ，如图，则A(−52,0)，B(0,103)， ∴AB =√(52)2+(103)2=256，过M 点作MP ⊥直线AB 于P ，交⊙M 于Q ，此时线段PQ 的值最小， ∵∠MBP =∠ABO ， ∴Rt △MBP ∽Rt △ABO ，∴MP ：OA =BM ：AB ，即MP ：52=133：256， ∴MP =135， ∴PQ =135−1=85，即线段PQ 的最小值为85． 故选：C ． 二 填空题9.(无锡市四校联考一模)圆锥的底面半径为14cm ，母线长为21cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为______度．【解析】解：由题意知：弧长=圆锥底面周长=2×14π=28πcm ， 扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=28π×180÷21π=240°． 故答案为：240．10.(绍兴市一模)如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，若以点C 为圆心，r 为半径的圆与边AB 所在直线有公共点，则r 的取值范围为 ．【解析】：如图，作CH ⊥AB 于H ．在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝8，AC ＝6， ∴AB ＝＝＝10，∵S △ABC ＝•AC •BC ＝•AB •CH ， ∴CH ＝，∵以点C 为圆心，r 为半径的圆与边AB 所在直线有公共点， ∴r ≥，故答案为r ≥．11.（合肥市天鹅湖教育集团一模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC =，2AB =，以点A 为圆心，以AC 为半径画弧，交AB 于D ，则扇形CAD 的周长是_____________（结果保留π）．【解析】∵在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC =，2AB =，∴1=，∴∠B=30°，∠A=60°，∴»CD的长=608011π⨯=3π， ∴扇形CAD 的周长=3π+2， 故答案为：3π+2． 12.（宿州市一模） （5分）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则的值为 ．【解析】：如图，连接AC 、BD 、OF ， 设⊙O 的半径是r ， 则OF ＝r ，∵AO 是∠EAF 的平分线， ∴∠OAF ＝60°÷2＝30°， ∵OA ＝OF ，∴∠OF A ＝∠OAF ＝30°， ∴∠COF ＝30°+30°＝60°， ∴FI ＝r •sin60°＝r ， ∴EF ＝r ×2＝r ，∵AO ＝2OI ，∴OI ＝r ，CI ＝r ﹣r ＝r ，∴，∴GH＝BD＝r，∴＝．故答案为：．13.（芜湖市一模）如图，以长为18的线段AB为直径的⊙O交△ABC的边BC于点D，点E在AC上，直线DE与⊙O相切于点D．已知∠CDE＝20°，则的长为．【解析】：连接OD，∵直线DE与⊙O相切于点D，∴∠EDO＝90°，∵∠CDE＝20°，∴∠ODB＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD＝70°，∴∠AOD＝140°，∴的长＝＝7π，故答案为：7π．14.（合肥168中一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O 的直径，AD=6，则DC=______．【解析】解：∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=120°−90°=30°，∴∠CBD=∠CAD=30°，又∵∠BAC=120°，∴∠BDC=180°−∠BAC=180°−120°=60°，∵AB=AC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB=12∠BDC=12×60°=30°，∵AD=6，∴在Rt△ABD中，BD=AD÷sin60°=6÷√32=4√3，在Rt△BCD中，DC=12BD=12×4√3=2√3．故答案为：2√3．15.（淮北市名校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，过点C的直线CD与⊙O相切于点D，连接BD，若CD=BD=6√3，则线段AC的长是______．【解析】：连接OD，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，∴∠COD=∠ODB+∠B=2∠B，∵CD=BD，∴∠B=∠C，∴∠COD=2∠C，∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠C+∠COD=90°，∴∠C=30°，∴OD=OA=CDtan30°=6√3×√33=6，∴OC=CDcos30∘=√3√32=12，∴AC=12−6=6．故答案为：6．16.(无锡市四校联考一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB 为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为______ ．【解析】：∵AB=2DA，AB=AE(扇形的半径)，∴AE=2DA=2×2=4，∴∠AED=30°，∴∠DAE=90°−30°=60°，DE=√AE2−DA2=√42−22=2√3，∴阴影部分的面积=S扇形AEF−S△ADE，=60⋅π⋅42360−12×2×2√3，=83π−2√3．故答案为：83π−2√3．17.(绍兴市一模)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE的长．【解析】（1）：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，即∠DAB+∠CAF＝90°．∴∠CAF＝∠ABD．∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD．∴∠ABC＝2∠CAF．（2）：如图，连接AE，∴∠AEB＝90°，设CE＝x，∵CE：EB＝1：4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，即（2）2＝x2+（3x）2，∴CE＝2．18.(沈阳市一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．【解析】：（1）FG与⊙O相切，理由：如图，连接OF，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠DCB，∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∴FG与⊙O相切；（2）连接DF，∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC＝＝4，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC，∴BF＝BC＝2，∵sin∠ABC＝，即＝，∴FG＝．19.（芜湖市一模）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交⊙O于点D．（I）如图①，若BC是⊙O的直径，BC＝4，求BD的长；（Ⅱ）如图②，若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：DE＝DB．【解析】（I）连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BOD＝90°，∵BC＝4，∴BO＝OD＝2，∴BD＝＝2；（II）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵∠BAD＝∠CBD，∴∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE．又∵∠DEB＝BAE+∠ABE，∴∠EBD＝∠DEB，∴BD＝DE．20.（唐山市遵化市一模）如图，在△ABC中，AB=AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．(1)求证：直线DF是⊙O的切线；(2)若OC=1，∠A=45°，求劣弧DE的长．【解析】(1)：连结OD，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵OC=OD，∴∠ODC=∠ACB，∴∠B=∠ODC，∴OD//AB，∵DF⊥AB，∴∠ODF =∠BFD =90°，∵OD 为半径，∴直线DF 是⊙O 的切线；(2)：∵∠A =45°，OD//AB ，∴∠AOD =180°−45°=135°，∴DE ⏜的长为135×π180=34π. 21.（广东省北江实验学校一模）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB=AD ，对角线BD 为⊙O 的直径，AC 与BD 交于点E ．点F 为CD 延长线上，且DF=BC.（1）证明：AC=AF ；（2）若AD=2，AF= √3+1 ，求AE 的长；（3）若EG ∥CF 交AF 于点G ，连接DG.证明：DG 为⊙O 的切线.（1）解：证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABC+∠ADC=180°．∵∠ADF+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF ．在△ABC 与△ADF 中，{AB =AD ∠ABC =∠ADF BC =DF，∴△ABC ≌△ADF ．∴AC=AF ；（2）解：由（1）得，AC=AF= √3+1 ．∵AB=AD ，∴ AB⌢=AD ⌢ ∴∠ADE=∠ACD ．∵∠DAE=∠CAD ，∴△ADE∽△ACD．∴ADAC =AEAD．∴AE=AD2AC =2√3+1=4(√3−1)2=2√3−2．（3）证明：∵EG∥CF，∴AGAE =AFAC=1．∴AG=AE．由（2）得ADAC =AEAD，∴ADAF=AGAD．∵∠DAG=∠FAD，∴△ADG∽△AFD．∴∠ADG=∠F．∵AC=AF，∴∠ACD=∠F．又∵∠ACD=∠ABD，∴∠ADG=∠ABD．∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°．∴∠ABD+∠BDA=90°．∴∠ADG+∠BDA=90°．∴GD⊥BD．∴DG为⊙O的切线.22.（宿州市一模）（12分）已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2＝MD•MN．【解析】：（1）∵ME平分∠DMN，∴∠OME＝∠DME，∵OM＝OE，∴∠OME＝∠OEM，∴∠DME＝∠OEM，∴OE∥DM，∵DM⊥DE，∴OE⊥DE，∵OE过O，∴DE是⊙O的切线；（2）连接EN，∵DM⊥DE，MN为⊙O的直径，∴∠MDE＝∠MEN＝90°，∵∠NME＝∠DME，∴△MDE∽△MEN，∴＝，∴ME2＝MD•MN23.（淮北市名校联考一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点B作BD//OC交⊙O于点D，连接AD交OC于点E．(1)求证：BD=AE；(2)若⊙O的半径为2，求OE的长．【解析】(1)：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵BD//OC，∴∠AEO=∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠OAE=∠ACE，在△ABD和△CAE中{∠ADB=∠CEA ∠BAD=∠ACE AB=CA，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE；(2)：∵OE⊥AD，∴AE=DE，∴OE为△ABD的中位线，∴BD=2OE，∴AE=2OE，在Rt△AOE中，∵OE2+AE2=AO2，∴OE2+4OE2=22，∴OE=2√55．24.(无锡市四校联考一模)如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A=30°，DC=√2．(1)求圆心O到弦DC的距离；(2)若∠ACB+∠ADC=180°，求证：BC是⊙O的切线．【解析】：(1)连接OD，OC，过O作OE⊥OC于E，∵∠A=30°，∴∠DOC=60°，∵OD=OC，CD=√2，∴△OCD是等边三角形，∴OD=OC=CD=√2，∵OE⊥DC，∴DE=√22，∠DEO=90°，∠DOE=30°，∴OE=√3DE=√62，∴圆心O到弦DC的距离为：√62；(2)①由(1)得，△ODC是等边三角形，∴∠OCD=60°，∵∠ACB+∠ADC=180°，∠CDB+∠ADC=180°，∴∠ACB=∠CDB，∵∠B=∠B，∴△ACB∽△CDB，∴∠A=∠BCD=30°，∴∠OCB=90°，∴BC是⊙O的切线．25.（南通市崇川区启秀中学一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r>1)，P是圆内与圆心C 不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA−PB|=2，则称点P 为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．(1)当⊙O的半径为2时，①在点M(32,0)，N(0,1)，T(−√32,−12)中，⊙O的“完美点”是______；②若⊙O的“完美点”P在直线y=√3x上，求PO的长及点P的坐标；(2)⊙C的圆心在直线y=√3x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．【解析】(1)①N，T；(1)①∵点M(32,0)，∴设⊙O与x轴的交点为A，B，∵⊙O的半径为2，∴取A(−2,0)，B(2,0)，∴|MA−MB|=|(32+2)−(32−2)|=4≠2，∴点M不是⊙O的“完美点”，同理：点N，T是⊙O的“完美点”．故答案为N，T；②如图1，根据题意，|PA−PB|=2，∴|OP+2−(2−OP)|=2，∴OP=1．若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，∵点P在直线y=√3x上，OP=1，∴OQ=12，PQ=√32．∴P(1,√3).若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(−12,−√32).综上所述，PO的长为1，点P的坐标为(12,√32)或(−12,−√32).(2)对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA−PB|=2，∴|CP+2−(2−CP)|=2．∴CP=1．∴对于任意的点P，满足CP=1，都有|CP+2−(2−CP)|=2，∴|PA−PB|=2，故此时点P为⊙C的“完美点”．因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．设直线y=√3x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．设切点为E，连接CE，∵⊙C的圆心在直线y=√3x+1上，∴此直线和y轴，x轴的交点D(0,1)，F(−√33,0)，∴OF=√33，OD=1，∵CE//OF，∴△DOF∽△DEC，∴ODDE =OFCE，∴1DE =√332，∴DE=2√3．∴OE=2√3−1，t的最小值为1−2√3．当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．同理可得t的最大值为1+2√3．综上所述，t的取值范围为1−2√3≤t≤1+2√3．26.(无锡市四校联考一模)如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8.动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD 于点M，设运动的时间为t．(1)当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM．(2)在整个运动过程中，①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形．②圆心O处在矩形ABCD内(包括边界)时，求t的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长．【解析】：(1)如图1所示：连接ME．∵AE=t，AD=8，∴ED=AD−AE=8−t．∵EF为⊙O的直径，∴∠EMF=90°．∴∠EMD=90°．∴MD=ED⋅cos∠MDE=4(8−t)5．(2)①a、如图2所示：连接MC．当DM=CD=6时，4(8−t)5=6，解得t=12；b、如图3所示：当MC=MD时，连接MC，过点M作MN⊥CD，垂足为N．∵MC=MD，MN⊥CD，∴DN=NC．∵MN⊥CD，BC⊥CD，∴BC//MN．∴M为BD的中点．∴MD=5，即4(8−t)5=5，解得t=74；c、如图4所示：CM=CD时，过点C作CG⊥DM．∵CM=CD，CG⊥MD，∴GD=12MD=2(8−t)5．∵DGCD =CDBD=35，∴DG=35CD=185．∴2(8−t)5=185．解得：t=−1(舍去)．d、如图5所示：当CD=DM时，连接EM．∵AE=t，AD=8，∴DE=t−8．∵EF为⊙O的直径，∴EM⊥DM．∴DM =ED ⋅cos ∠EDM =4(t−8)5．∴4(t−8)5=6，解得：t =312．综上所述，当t =12或t =74或t =312时，△DCM 为等腰三角形．②当t =0时，圆心O 在AB 边上．如图6所示：当圆心O 在CD 边上时，过点E 作EH//CD 交BD 的延长线与点H ．∵HE//CD ，OF =OE ， ∴DF =DH ． ∵DH ═DE cos∠EDH=5(t−8)4，DF =10−t ，∴5(t−8)4=10−t ．解得：t =809．∴DH =DF =10−809=109，∵sin ∠ADB =sin ∠EDH ，∴AB BD =EHDH ，∴610=EH109，∴EH =23，∵O 为EF 的中点，D 为FH 的中点， ∴DO =12EH =13，取AB 的中点N ，连接ON ，过点O 作OM ⊥AB 于点M ， ∴四边形MADO 为矩形， ∴MA =DO =13，MO =AD =8，∴AN =12AB =3，∴MN =3−13=83，∴NO =√MN 2+MO 2=√(83)2+82=83√10．∴在此范围内圆心运动的路径长为83√10．综上所述，在整个运动过程中圆心O 处在矩形ABCD 内(包括边界)时，t 的取值范围为0≤t ≤809，在此范围内圆心运动的路径长为83√10．27.（天津市河北区一模）已知AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠OAC ＝58°． （Ⅰ）如图①，过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线交于点P ，求∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，P 为AB 上一点，CP 延长线与⊙O 交于点Q ．若AQ ＝CQ ，求∠APC 的大小．【解析】：（I ）如图①，∵OA ＝OC ，∠OAC ＝58°， ∴∠OCA ＝58°∴∠COA ＝180°﹣2×58°＝64° ∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠OCP ＝90°， ∴∠P ＝90°﹣64°＝26°；（II）∵∠AOC＝64°，∴∠Q＝∠AOC＝32°，∵AQ＝CQ，∴∠QAC＝∠QCA＝74°，∵∠OCA＝58°，∴∠PCO＝74°﹣58°＝16°，∵∠AOC＝∠QCO+∠APC，∴∠APC＝64°﹣16°＝48°．28.(珠海市香洲区一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4．①当OD＝3，求AD的长度；②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．【解析】（1）：连接AF，∵BF为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∠F AG＝90°，∴∠BGF+∠AFG＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，∴∠BGF＝∠AFB，∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°，又∵OF为半径，∴FG是⊙O的切线；（2）：①连接CF，（3）则∠ACF＝∠ABF，∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，∴∠CAO＝∠ACF，∴AO∥CF，∴＝，∵半径是4，OD＝3，∴DF＝1，BD＝7，∴＝＝3，即CD＝AD，∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，∴△ADB∽△FDC，∴＝，∴AD•CD＝BD•DF，∴AD•CD＝7，即AD2＝7，∴AD＝（取正值）；②∵△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°，∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，当∠ODC＝90°时，∵∠ACO＝∠ACF，∴OD＝DF＝2，BD＝6，∴AD＝CD，∴AD•CD＝AD2＝12，∴AD＝2，AC＝4，∴S△ABC＝×4×6＝12；当∠COD＝90°时，∵OB＝OC＝4，∴△OBC是等腰直角三角形，∴BC＝4，延长AO交BC于点M，则AM⊥BC，∴MO＝2，∴AM＝4+2，∴S△ABC＝×4×（4+2）＝8+8，∴△ABC的面积为12或8+8．。
第24章圆-圆的综合应用拓展课件 22--23学年沪科版数学九年级下册
四种四点共圆的情况．
A
E
D
F
MH B
C
A E ND
F H B
A
E
D
CB
H
A
D E
F
CB
HG
C
四点共圆的判定方法总结： 1．若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）；
2.如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆； 3．如果两个三角形有公共底边，公共底边所对的角相等，并且这两个角位于底边的同侧， 那么这两个三角形的四个顶点共圆；
B A
C
D
例8 已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为___8_8_°_____．
分析 点B，C，D在以A为圆心，AB长为半径的圆上
根据同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系求解
A D
B
解答 因为AB＝AC＝AD， 所以B，C，D在以A为圆心，AB长为半径的圆上，
O
B
O
A
P
定圆上的点到定线的最值问题 依据：圆上的点与圆外直线上各点的连线中，垂线段最短．
如图，l为圆O外的一条直线，点P为圆上一点，则点P到直线l的最短距离是什么？
①如点P为圆O上的一个定点；
根据垂线段最短，可知最短距离为垂线段PB的长度
O
②如点P为圆O上的一个动点；
P P
过圆心O作直线l的垂线交直线l于点A，与圆交于点P
例5 O是平行四边形ABCD内部的一点，∠ABO ＝∠ADO，求证：∠BAO ＝∠ABCO．
D
分析 四边形AFOD是平行四边形
F
O
B
C
A、F、B、O四点共圆
人教A版高中数学必修二课件：圆的方程的综合应用 (共49张PPT)
1 求圆弧C2的方程； 2曲线C上是否存在点P，满足PA 30PO？若存
在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
3已知直线l：x my 14 0与曲线C交于E、F两
点，当EF 33时，求坐标原点O到直线l的距离．
解析：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2 y2 169，
5
解：令圆心坐标为（ a，b），半径为 r，
y
则r2 12 a2 ①
由（2）知 ACB 90 r 2 b ②
由（3）
a 2b 12 (2)2
5 5
a 2b 1 ③
. 1 r C
|a| |b| r
oA
Bx
联立①②消去 r 2b2 a2 1 ④
③④
a 2b2
2b a2
1
2 方法1：当t＝0时，圆C：x 2＋y 2＝4；
当t＝1时，圆C：x2＋y2－2x－2y＝0.
解方程组
x 2
x2
y2 y2
4 2x
2
y
, 解得 0
x
y
0或 2
x
y
2 0
将
x y
0 2
代入圆C的方程，左边＝－4t
2＋4t不恒等于0；
将
x
y
2 0
代入圆C的方程，左边＝0＝右边，
故圆C过定点2, 0．
方法2：将圆C的方程整理为( x 2＋y 2－4)
＋(－2x＋4)t＋(－2y)t 2＝0.
x2 y2 4 0
令 2x 4 0 2 y 0
,
解得
x
y
2 0
.
故圆C过定点2, 0．
动圆过定点问题有两种解法： 一是先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们 的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证； 二是将动圆方程改写为关于参数t的等式，再 利用多项式恒等理论列出关于x，y的方程组，解得 定点坐标．
华东师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(基础)
中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB ，BC ，AC 都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC 是⊙O 的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC 、BAC 都是⊙O 中的弧，分别记作BC ，BAC ．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC 是半圆． ⑤劣弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB ，∠BOC 是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC 、∠ACB 都是圆周角．考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r 1－r 2”时，要特别注意，r 1＞r 2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°． 要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n n n n n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n R l π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇． 3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．考点六、求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1． （2015•石景山区一模）如图，A ，B ，E 为⊙0上的点，⊙O 的半径OC ⊥AB 于点D ，若∠CEB=30°，OD=1，则AB 的长为（ ）A ．B ．4C ．2D ．6【思路点拨】 连接OB ，由垂径定理可知，AB=2BD ，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt △DOB 中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【答案】C ；【解析】连接OB ，∵AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB ，∴AD=BD ，即AB=2BD ，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1， ∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选C ．【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法．举一反三：【变式】如图，⊙O 的直径CD=5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD=3：5．则AB 的长是（ ）A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、221cm【答案】 解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，∴AB=2AM ，∵CD=5cm ，∴OD=OA=12CD=12×5=52cm ， ∵OM ：OD=3：5，∴OM=35OD=×=， ∴在Rt △AOM 中，AM =22OA OM -=2253()()22-=2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，过A 作AD ∥OC 交⊙O 于点D ，连接CD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，直径AB ＝6，求线段BC 的长．【思路点拨】要证明DC 是⊙O 的切线，因为点D 在⊙O 上，所以连接交点与圆心证垂直即可．【答案与解析】(1)证明：如图(2)，连接OD ．∵ AD ∥OC ，∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠A ，∴ OA ＝OD ，∴ ∠3＝∠A ，∴ ∠1＝∠2．∵ OD ＝OB ，OC ＝OC ．∴ △COD ≌△COB ，∴ ∠CDO ＝∠CBO ＝90°，∴ CD 是⊙O 的切线．(2)解：连接BD ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°．在△DAB 和△BOC 中，∵ ∠ADB ＝∠OBC ，∠A ＝∠2，∴ △DAB ∽△BOC ，∴AD BD OB BC =， ∴ OB BD BC AD =． 在Rt △DAB 中，由勾股定理得22226242BD AB AD =-=-=．∴ 342622BC ⨯==．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．【答案与解析】证法1：连接OE 、DE(如图(1))．∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．∵ G 是AD 的中点，∴ EG ＝12AD ＝DG ． ∴ ∠1＝∠2．∵ OE ＝OD ，∴ ∠3＝∠4．∴ ∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OEG ＝∠ODG ＝90°．∴ GE 是⊙O 的切线．证法2：连接OE 、ED(如图(2))．在△ADC 中，∠ADC ＝90°，∴ ∠A+∠ACD ＝90°．又∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠AED ＝∠CED ＝90°．在△AED 中，∠AED ＝90°，G 是AD 中点，∴ AG ＝GE ＝DG ，∴ ∠A ＝∠AEG ．又∵ OE ＝OC ，∴ ∠OEC ＝∠ACD ．又∵ ∠A+∠ACD ＝90°，∴ ∠AEG+∠OEC ＝90°．∴ ∠OEG ＝90°，∴ OE ⊥EG ．∴ GE 是⊙O 的切线．类型三、与圆有关的计算3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．【思路点拨】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．【答案与解析】解：（1）（Ⅰ）如图连接BD，∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴ BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴ OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，∵ CE⊥AB，AC=BC，∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径，∵ OA=OB=OD，∴ O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，则有：，解得：，则ON=，∴直径为．【总结升华】此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．【答案】 解：（1）图1：∵点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN ，又∵∠APN=∠BPM ，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°．（2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n 中，．4．如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【思路点拨】观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积.【答案】256π； 【解析】连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD． 答案：256π． 【总结升华】用等面积替换法将不规则的图形转化为简单的规则图形是解本类题的技巧．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•黄陂区模拟）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=∠BAC．（1）求证：AB=AC；（2）若sin∠BAC=35，求tan∠PCB的值．【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论．（2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出=，从而求得=，根据AB=AC，得出tan∠CBE===，就可求得tan∠PCB=．【答案与解析】解：（1）连接AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB=∠CAD，∵∠PCB=∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴AB=AC．（2）作BE⊥AC于E，∵PC是⊙O的切线，∴AC⊥PC，∴BE ∥PC ，∴∠PCB=∠CBE ，∵sin ∠BAC==， ∴=， ∵AB=AC ，∴tan ∠CBE===，∴tan ∠PCB=．【总结升华】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例2】【变式】已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC,∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2212-=3．OF=213-,∴AF=AO+OF=213+．又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC ．而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE ≌△COB.6．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙ O 相切于点A ，P 为⊙ O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙ O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．（1）求证：△APC ∽△COD ．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时， △ACD 是一个等边三角形．【思路点拨】(1)可根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”来说明 △APC ∽△COD ； (2)根据相似三角形的对应边成比例,找出x 与y 的关系；(3)若△ACD 是一个等边三角形,逆推求得x 的值.【答案与解析】解 （1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线, ∴∠PAC ＝∠OCD ＝90°.由△DOA ≌△DOC ,得到∠DOA ＝∠DOC , ∴∠APC ＝∠COD , ∴△APC∽△COD.（2）由△APC∽△COD，得AP OC PC OD = , ∴y x 12= 则 xy 2= (3)若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=，于是2OD OC =,可得2y =，从而1=x ,故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.【总结升华】本例是一道动态几何题.(1)考查了相似三角形的判定,证三角形相似有:两个角分别对应相等的两个三角形相似;两条边分别对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似;(2)考查了相似三角形的性质.利用第一问的结论,得出对应边成比例,找出y 与x 间的关系.(3)动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找出结论成立的条件.本题应从ACD △是一个等边三角形出发,逆推6030ADC ODC ∠=∠=，,于是2OD OC =，可得2y =，从而1=x , 故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习 例1】【变式】如图，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（ ） Ａ．22 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2【答案】选B ；解：过B 作BB ′⊥MN 交⊙O 于B ′，连接AB ′交MN 于P ，此时PA+PB ＝AB ′最小．连AO 并延长交⊙O 于C ，连接CB ′，在Rt △ACB ′中，AC ＝2，∠C ＝190452⨯=°°， ∴ 2sin 45222AB AC '==⨯=°．。
中考数学专题复习-圆的综合应用问题
中考数学专题复习-圆的综合应用问题1．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，D 是AB⌒ 的中点，过点D 作直线BC 的垂线，分别交CB 、CA 的延长线E 、F（1）求证：EF ⊙是O 的切线；（2）若EF ＝8，EC ＝6，求⊙O 的半径．2．如图，在平面直角坐标系中，直线l ∶y =28x --分别与x 轴，y 轴相交于A B ，两点，点()0P k ，是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作P ⊙.（1）连结PA ，若PA PB =，试判断P ⊙与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以P ⊙与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？3．在平面直角坐标系中，已知A (－4，0)，B (1，0)，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ．（1）求点C 的坐标和过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．4．如图，P 是射线y ＝53x(x ＞0)上的一动点，以P 为圆心的圆与y 轴相切于C 点，与x 轴的正半轴交于A 、B 两点。
(1)若⊙P 的半径为5，则P 点坐标是( ， )；A 点坐标是( ， )；以P 为顶点，且经过A 点的抛物线的解析式是 ；(2)在(1)的条件下，上述抛物线是否经过点C 关于原点的对称点D ，请说明理由；(3)试问：是否存在这样的直线l ，当P 在运动过程中，经过A 、B 、C 三点的抛物线的顶点都在直线l 上？若存在，请求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由。
5．如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D （3，0）和点E （0，4），动点C 从点M （5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、21t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．① 当⊙C 与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围；② 当△P AB 为等腰三角形时，求t 的值．。
专题9圆的综合题ppt课件
(2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BE＝3 3，DF＝3，求图 中阴影部分的面积．
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专题九 圆的综合题
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专题九 圆的综合题
数学
典题剖析
(2017·呼和浩特)如图，点 A，B，C，D 是
︵
直径为 AB 的⊙O 上的四个点，C 是劣弧BD 的中点， AC 与 BD 交于点 E.
专题九 圆的综合题
数学
(2)∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥
BE，DF⊥AB，∴DE＝DF＝3.∵BE＝3 3，∴
BD＝ 32＋3 32＝6.∵sin∠DBF＝36＝12，∴∠
DBA＝30°.∴∠DOF＝60°.∴sin 60°＝DDOF＝D3O
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专题概述 典题剖析 真题演练
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专题九 圆的综合题
数学
专题概述
圆的综合题在中考中主要有三个方面的考查点：一是圆的基本元 素的考查，包括运用垂径定理的有关计算，运用圆周角定理及推论的 有关证明及计算，还可能与三角形的相似和解直角三角形相联系；二 是切线的证明与计算，也往往与三角形的相似和锐角三角函数相联 系；三是与面积相关的计算，注意扇形的面积计算公式的熟练应 用．解决此类问题的方法灵活，三角形的全等与相似、中位线等等都 是在题目中常用的方法，在解题时要学会抓解题的线索，层层深入来 解决题目．
二、解答重难题型突破+题型5 圆的综合++++课件+2025年中考数学总复习人教版(山东)
P在半圆弧AB上运动(不与A,B两点重合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于点D.
(1)如图1,求证:△PCD∽△ABC.
(2)当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由.
(3)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数.
28
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠BCD=30°.
31
本课结束
∴BF=BE=5.
∵∠ABE=∠AMF=90°,∠BAE=∠MAF,
∴△AMF∽△ABE,
∴ = ,即 = = =2.
设MF=x,则AM=2x,
∴BM=10-2x.
5
∵BM2+MF2=BF2,
∴(10-2x)2+x2=52,解得x=3,x=5(不符合题意,舍去),即MF=3.
∴∠PCD=60°.
∵四边形ABDC内接于☉O,
∴∠B=∠PCD=60°.
9
(2)∵点C为的中点,
∴∠CAD=∠CDA,∴AC=CD.
∵∠ADB=90°,
∴∠CDA+∠CDP=90°.
在Rt△ADP中,∠CAD+∠P=90°,
∴∠CDP=∠P,
∴CD=PC=2 ,
∴AC=CD=PC=2 ,
,对角线AC为☉O
【例2】(2024·济南三模)如图,四边形ABCD内接于☉O,=
的直径,延长BC交过点D的切线于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
3
(2)若☉O的半径为5,tan∠DAC= ,求DE的长.
4
12
【自主解答】(1)连接DO并延长交AB于F,
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年份 2014 2013
2012
三年考点分析
题号
考
点
①切线的性质定理 ②平行线的性质 ③相似三角形的性质与判定
①切线的性质定理
②圆周角定理的推论 23 ③锐角三角形函数
①矩形的性质与判定 ②全等三角形的性质与判定 ③切线的性质定理 ④勾股定理
考 点的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
中考复习
圆的综合应用
华阳学校 王利祥
考情分析
有关圆的问题在上次模考中为7题，14题 和23题，分值为14分。从学生得分情况看，学 生失分严重。我校学生14题做对的不到五分之 一，23题能得满分的只有18人，多数学生找不 到解题方法，不能将所学知识进行灵活应用。 23题主要借助圆这一载体进行几何综合，与三 角形或特殊的四边形相结合。近几年我省有关 圆的问题在填空上考一小题，解答题中为23题 在2014年的中考题中25题几何探究问题中也涉 及到圆的综合应用。圆重在考查学生分析问题 和解决问题的能力，在解决问题过程中学生的 思维水平和能力得以最大程度的发挥和拓展。
3.求一条线段的长度的方法：先找到直角三角 形然后利用勾股定理，三角函数。有时也会根 据圆中相等的角，得到相似三角形来解决。
课后提高：
如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线 上，且CD是⊙O的切线． （1）求证：∠CDA=∠CBD （2）过点B作⊙O的 切线交CD的延长线于点E，若BC=6， ，求BE 的长．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相__等_。 圆周角定理推论2：
直径所对的圆周角是_9_0_°______ ； ９０°的圆周角所对的弦是_直__径______
基础巩固：
【2014北京】 7．如图，⊙的直径AB垂直于弦CD，
垂（足是）E，A 22.5 ，OC=4 ，则CD的长为 A
A． 4 2
巩固提高：【2014年北京】21题
如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点， ⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的 中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O 于点H，连结BH． （1）求证：AC=CD； （2）若OB=2，求BH的长．
课时小结：
1.运用切线的性质进行计算或论证时，常作 的辅助线有连接圆心，切点和构造直径所对 的圆周角，然后利用垂直构造直角三角形。 2.利用切线的性质证明角相等的常用方法： （1）利用平行线的性质和等腰三角形的性质 （2）证三角形全等。 （3）直角三角形中角的互余关系。
A 切点
L
A为切点。
∴OA⊥L
切线的判定定理
经过半径的外端点
且垂直于这条半径的直
线是圆的切线
O
符号语言
L
A
∵直线L 经过⊙ O半径OA外端
点A, 且OA⊥L
∴L是⊙ O 的切线
当堂检测：【2014年陕西】23题
如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB， 且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长 BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为 C. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)求AC的长.
几何语
言： C
A M└
B
●O
D
如图∵ CD是直径,
CD⊥AB, ∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
考点二 圆心角定理
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条
弧、两条弦中有一组量_相______ ，那么它们 所对应的其余各组量都分等别_相______。
等
考点三 圆周角定理
在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的___一__半____ 圆周角定理推论1：
第23题图
C．2 2
B．4 D．8
变式训练：（2014•济南）13题
如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等 边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩 形，这个矩形的面积是___√3____
考点四：切线的性质定理与判定定理
切线性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径
符号语言： ∵L是⊙ O 的切线，
O
¬