中南大学大学物理课件 7机械波

u
x
x
p
t 时刻p处质点的振动状态重复 x t 时刻O处质点的振动状态 u x y p点的振动方程： A cos ( t ) u
沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
y
O
u u p b 是否一定要知道波源的振动方程呢？
d
X
x
已知b点振动方程： 任一点p比b点晚振动
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x 行波
y
O
u
t
t t
x x
x
三、平面简谐波的波动方程
x y( x , t ) A cos[ ( t ) ] u 2y x 2 求t 的二阶导数 A cos[ ( t ) ] 2 t u
一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播， x轴即为某一波线
找到一个方程式描述介质中任一质点任一时刻的 振动状态 y y(t , x ) 波函数
y 设原点振动表达式： 0 A cos(t )
y表示该处质点偏离平衡位置的位移 y x为p点在x轴的坐标 x O p点振动比O点振动晚 t u
S1 4r
2 1
S2 4r22
A1r1 A2r2
所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单 位距离的振幅为A 则距波源r 处的振幅为A /r 由于振动的相位随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简谐波的波函数：
0 0
A0 r y cos[ ( t ) ] r u
机械振动在介质中的传播称为机械波。 声波、水波 波动是一切微观粒子的属性，
与微观粒子对应的波称为物质波。
各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性， 有类似的波动方程。
7-1 机械波的产生和传播
一、机械波的产生条件
弹性介质——由弹性力组合的连续介质。
1、有作机械振动的物体，即波源
2、有能够传播这种振动的的介质 二、机械波的分类
平面波
波线
波线
波面
波面
球面波 波线 波 面 波面
波线
三、描述波的物理量
波长 同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离。 波的周期和频率
波的周期：波前进一个波长的距离所需的时间，用 T表示。
波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目，用表示。
T
2


1

波速 u
振动状态（即位相）在单位时间内传播 的距离称为波速 ，也称之相速。 G 在固体媒质中横波波速为 u
t0
t T / 4
t T / 2
t 3T / 4
t T
t 5T / 4


结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）
的振动状态和能量。
波面—在波的传播过程中任一时刻振动位相相同的 点所组成的面。
波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态传到的 波面。或在波的传播过程中,离波源最远的,即最前面 的波面. 波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。 各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直. 沿波线方向各质点的振动相位依次落后。
p w uS
波的吸收
波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介 质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。 波强的衰减规律：
I I 0 e 2x
是介质的吸收系数
I、I 0分别是x 0和x x处波的强度
例7-5:在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波 在行进方向上振幅不变 在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等
A cos[k ( ut x ) ]
2Fra Baidu bibliotek k 波矢，
表示在2 长度内所具有的完整波的数目。
二、波函数的物理意义 x y A cos[ ( t ) ] u 1、如果给定x，即x=x0
y
O
T
t
T
则y=y(t) 为x0处质点的振动方程 2x0 y( t ) A cos t ( ) 2x 0 x0处质点的振动初相为
三、声波 在弹性媒质中,如果波源所激起的纵波的频率在2020000Hz之间，就能引起人的听觉.在这一范围内的 振动称为声振动.
由声振动所激起的纵波称为声波. 频率高于20000Hz的机械波称为超声波. 频率低于20Hz的机械波称为次声波. 1. 声压、声强和声强级 声压:介质中有声波传播时的压强与无声波时的静 压强之间的差值. 对平面简谐声波: x x p uA sin[ ( t )] pm sin[ ( t ) ] u u
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 x1 x 2 1 2 2


3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
t t t y x y( x ) A cos[ ( t ) ] u O t+t时刻的波形方程 x x x x y( x ) A cos[ ( t t ) ] u t时刻,x处的某个振动状态经过t ，传播了x的距离
1 1 x 2 2 2 2 w k mv VA sin ( t ) 2 2 u
2）体积元的势能
1 x 2 2 2 w P VA sin ( t ) 2 u
3）体积元的总能量
x w wK wP VA sin ( t u )
u 2
质点过平衡位置时动能最大。
此时的相对形变（应变） y x A sin (t ) A 也最大！ x u u u 同理可证：质元动能最小时，势能也最小。
二、能量密度
能量密度介质单位体积内的能量。
x w A sin [ ( t ) ]V u
2 2 2

G、 Y为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度 在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些 在弦中传播的横波波速为:
u T
在固体媒质中纵波波速为
u
Y

T为弦中张力，为弦的线密度
在液体和气体只能传播纵波，其波速为：
u
B

B为介质的容变弹性模量 为密度
u
理想气体纵波声速:
1 I A2 2u 2 声强:声波的能流密度. 2
声
源
声强（W m-2）
响
度
引起痛觉的声音 炮 声 铆 钉 机 交通繁忙的亍道 通 常 谈 话 耳 语 树 叶 沙 沙声
1 1
10-2 10-5 10-6 10-10 10-11 震耳 响 正常 轻
极轻
引起听觉的最低声音
10-12
注意： A）人耳听觉的范围为20-20000HZ，且有一听阈 B）声波的声强不大，大小相差十几个数量级。 声强级（L） 定义：某声波的声强为I，则声强级：
I1 S1T I 2 S2T ,
S1 S2 S
1 1 2 2 2 u A1 S1T u 2 A2 S 2T 2 2
所以,平面波振幅相等。 A1 A2
在均匀不吸收能量的媒质中传播的球 面波的振幅与离波源的距离成反比。
1 1 2 2 2 u A1 S1T u 2 A2 S2T 2 2
三、能流和能流密度
能流:单位时间内通过介质中某一 截面的能量。 u wSudt p wSu dt 平均能流：在一个周期内能流的平均值。
u
S
1 w A2 2 2 能流密度（波的强度）： 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。 p 1 2 2 I w u A u I wu S 2
yb A cos(t )
t ( x d ) / u 其波动方程： y A cos[ (t t ) ] xd 即： y A cos[ (t ) ] u
若是左行波： p点只不过比b点早振动一段时间： 其波动方程： y A cos[ (t x d ) ]
2x0

若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
为x0处质点落后于原点的位相
是波在空间上的周期性的标志
同一质点在相邻两时刻的振动位相差 t 2 1 ( t 2 t1 ) 2 T是波在时间上的 T 周期性的标志 2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) ] u u 表示给定时刻波线上各质 O x1 x2 X 点在同一时刻的位移分布, 即给定了t0 时刻的波形
1 2 2 2 2 x y z u t 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 x y z
拉普拉斯算符
1 2 u t 2
2 2
平面波的波动微分方程
7-3 波的能量
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振 动能量的传播。
x ut y( x x , t t ) A cos[ ( t t ) ] u x A cos[ ( t ) ] u
t时刻的波形方程
u
y( x x , t t ) y( x , t )
y( x x , t t ) y( x , t )
E x 2 2 2 w A sin [ ( t ) ] u
平均能量密度
1 w T
一个周期内能量密度的平均值。

T
0
1 wdt T

T
0
T 1 w A2 2 2


x A sin [ ( t ) ]dt u
2 2 2
0
sin 2 d 2
一、波的能量 以一个平面简谐纵波为例来说明 波动媒质中一体积元 V 中的能量
m V
y
x y
x
x
x
y y
u
1）体积元的动能
y x v A sin ( t ) t u
x y A cos ( t ) u
求x的二阶导数
y x 1 y A 2 cos[ ( t ) ] 2 2 x u u u t 2
2 2 2
y 1 y 沿x方向传播的 2 2 2 平面波波动方程。 x u t
2 2
物理量 在三维空间中以波的形式传播， 其波动分方程一般形式为：
u
x 沿x轴负向传播的 y A cos ( t ) u 平面简谐波的波动方程
t x y A cos[2 ( ) ] T 2x y A cos[2 t ) ] 2 y A cos[ ( ut x ) ]
2 2 2
体元中的能量是随时间变化的（非弧立系统） 波动过程是一个能量传播的过程。 波动过程中，体元中的动能与势能“同相”---同 时达到最大，同时达到最小。 为方便令 0
y x x 定量 y A cos (t ) v A sin (t ) t u 分析 u x y0 速度最大时： (t ) (2 K 1)
纵波和横波 横波——质点振动方向与传播方向垂直，如电磁波 纵波——质点振动方向与传播方向相同，如声波。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 151617 1819 20 2122 2324 252627 28 2930 313233 34 35 36
u
1）横波传播时有波峰波谷； 2）波源每完成一次全振动，沿着波传播的方向传 出一个完整的波。 3）波的传播不是质点的传播，而是相位和能量 的传播
RT
M mol
为气体的定摩尔热容比，Mmol为气体的摩尔质量，
T为热力学温度， R为气体的普适常数， 为气体的密度
T u
u
介质决定 波源决定

7-2 平面简谐波的波函数
简谐波:波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。 平面简谐波:简谐波的波面是平面。 一、平面简谐波的波函数