坐标系与参数方程PPT演示文稿
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(1)化为直角坐标方程求交点,再将交点
坐标化为极坐标. (2)直接联立极坐标方程求解.
Baidu Nhomakorabea
解析 曲线 ρ=2sin θ 化为直角坐标系方程为 x2+y2-2y =0. 由 ρcos θ=-1 可化为 x=-1.将 x=-1 代入 x2+y2-2y =0 得 x=-1,y=1,因此交点的直角坐标为(-1,1), 3π 化为极坐标为 2, 4 .
考题分析
本小题考查了极坐标的概念,曲线的极坐
标方程以及利用曲线的极坐标方程求曲线的交点问 题.考查了极坐标的基础知识以及运用极坐标解决问 题的能力.
易错提醒
(1)易忽略 ρ≠0 的条件和 0≤θ<2π.
(2)忽视极坐标与直角坐标的互化.
主干知识梳理
1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴 正半轴作为极轴,且在两坐标系中取 相同的长度单位.设 M 是平面内的任 意一点,它的直角坐标、极坐标分别为 (x,y)和(ρ,θ),则
答案
3π 2, 4
探究提高
解决这类问题一般有两种思路.一是将极
坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的直角坐标, 再将其化为极坐标;二是将曲线的极坐标方程联立, 根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条 件及隐含条件.
变式训练 2
在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方
4.直线的参数方程 过定点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方 x=x0+tcos α, 程为 (t 为参数). y=y0+tsin α 5.圆的参数方程 圆心在点 M(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为 x=x0+rcos θ, (θ 为参数,0≤θ≤2π) y = y + r sin θ . 0
解析 ∵ρ=4sin θ, ∴ρ2=4ρsin θ, ∴x2+y2=4y, 即 x2+(y-2)2=4. ∴曲线的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4.
题型二 例2
曲线的极坐标方程的应用
(2010· 广东)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线
ρ=2sin θ 与 ρcos θ=-1 的交点的极坐标为______. 思维启迪
.
热点分类突破
题型一 极坐标与直角坐标(方程)的互化 例 1 (1)若点 P 的直角坐标为(1, - 3), 则点 P 的极 坐标为________(0≤θ<2π); 1 (2)将曲线的极坐标方程 sin θ= 化为直角坐标方程 3 为________________. 思维启迪 用极坐标与直角坐标的互化公式求解.
第2讲
坐标系与参数方程 明确考向
θ
π 1,2
感悟高考
(2010· 广东)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ(cos
+sin θ)=1 与 ρ(sin θ-cos θ)=1 的交点的极坐标为_____.
解析 曲线 ρ(cos θ+sin θ)=1 化为直角坐标方程为 x +y=1,ρ(sin θ-cos θ)=1 化为直角坐标方程为 y-x x+y=1, x=0, = 1. 联 立 方 程 组 得 则交点为 y-x=1, y=1, π (0,1),对应的极坐标为1,2 .
探究提高 将不唯一.
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定
要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标 (2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范 围.要注意转化的等价性.
变式训练 1 曲线 ρ=4sin θ 的直角坐标方程为
x2+(y-2)2=4 . ________________
3.圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0,θ0),半径为 r 的圆方程为:
2 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 - r =0 0
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(r,0),半径为 r:ρ=2rcos θ; π (3)当圆心位于 M(r, ),半径为 r:ρ=2rsin θ. 2
6.圆锥曲线的参数方程
x=acos θ x2 y2 (1)椭圆 2+ 2=1 的参数方程为 (θ 为参 a b y=bsin θ
数).
x=asec θ x2 y 2 (2)双曲线 2- 2=1 的参数方程为 (θ 为 a b y=btan θ
参数). (3)抛物线
2 x = 2 pt 2 y =2px(p>0)的参数方程为 y=2pt
π π 程为 ρsin(θ+ )=1,圆 C 的圆心是 C(1, ),半径 4 4 π ρ=2cos(θ- ) 为 1.则圆 C 的极坐标方程为_________________ . 4
解析 设 O 为极点,OD 为圆 C 的直径,A(ρ,θ)为圆 π π C 上的一个动点,则∠AOD= -θ 或∠AOD=θ- , 4 4 π π OA=ODcos( -θ)或 OA=ODcos(θ- ), 4 4 π 所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos(θ- ). 4
解析 (1)∵P 的直角坐标为(1,- 3), ∴ρ= 12+(- 3)2=2, y tan θ= =- 3. x 又点 P 在第四象限,0≤θ<2π,
5π ∴θ= . 3 5π ∴P 的极坐标为(2, ). 3 1 (2)∵sin θ= , 3 1 ∴ρsin θ= ρ, 3 1 2 2 2 2 2 2 ∴y= x +y ,∴x =8y ,∴y= x,y=- x. 3 4 4 1 2 2 又 y= x +y >0, 3 2 2 ∴y= x(x>0)和 y=- x(x<0). 4 4 5π 答案 (1)(2, ) 3 2 2 (2)y= x(x>0)和 y=- x(x<0) 4 4
2 2 2 ρ = x + y x=ρcos θ , . y y = ρ sin θ tan θ= (x≠0) x
2.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α, 则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=α; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; π (3)直线过 M(b, )且平行于极轴:ρsin θ=b. 2