清华大学物理系博士生资格考试试题

2007年春季清华物理系博士生资格考试试题

经典物理

考试时间：上午8:30－11:00

题量：7道解答题。

1、如图所示，刚杆一端O固定在光滑铰链上，水平松手使之下落，某一时刻与水平方向夹角 。已知

刚杆质量m，长度l。

（1）求此时刚杆的角速度和角加速度。

（2）求距离O为r的截面A上的横向力（与杆垂直）和力偶矩。

2、在哈密顿系统中作一个变量代换：P＝P(p,q) , Q = Q(p,q) （具体的函数关系记不清了，其中含有几

个参数）。问参数取什么值时变换是正则的，并写出变换的母函数。

3、如图，质量为m的小球穿在一根抛物线铁丝（y=bx^2）上可以光滑的滑动，铁丝以恒定角速度 绕

对称轴旋转,对称轴沿竖直方向。取x 为广义坐标，求出对应的广义动量。从哈密顿方程得到x的运动方程。

4、如图，一段圆柱形金属导线中通有恒定电流。导线周围是真空

（1）说明在这段导线的两个端面上没有能量流入或流出；

（2）说明在导线的侧面有能量流入。

（3）证明单位时间流入的能量等于单位时间导线产生的焦耳热。

（4）在怎么情况下，能量可以从侧面流出导线？

5、 如图，在一个半径为R 圆形区域内部有指向纸内的均匀磁场B(t)。绝缘体导轨AB 到圆心O 的距离

是h 。一个质量m ，正电荷q 的粒子静止在B 端。现在使B 随时间均匀增加，dB/dt=K ，则粒子沿导轨向A 端运动。求粒子运动到中点O ’时的速率v 和受到导轨的作用力N 。

6、用两个薄凸透镜自制一台简易望远镜。镜筒长32cm （指两镜片的距离）。刚好能分辨50m 开外横向距离1mm 的两条细线。已知光波长为0.55 m ，人眼最小分辨角为3×10－4rad 。

（1）求望远镜的物镜的口径。

（2）求物镜和目镜的焦距。

（3）若目镜直径为2cm ，求望远镜的入射视角。

7、如图， 摩尔某理想气体经历一个准静态过程，在p －V 图上反映为一条线段。起点A(3p 0,V 0)，终点B(p 0,3V 0)。

（1）求该过程中气体对外做的功以及吸收的热量。

（2）求该过程中气体温度的最大值和最小值。

（3）求气体的熵变。

p

近代物理

考试时间：下午1:30－4:00

题量：6道解答题

1、晶格中N 个自旋1/2的粒子处在均匀磁场H 中，能量可以为 +－ ， 是粒子的磁矩。温度为 。 （ ）求系统的总磁矩。

（ ）求系统的熵。

、费米气体在准静态绝热过程中压强和温度满足关系 pV 常数。求 的值。

、设某量子体系有两个非简并能级 ， 。微扰 ’在使H 对角的表象下两个对角矩阵元都为a ，两个非对角矩阵元为b 。用非简并定态微扰方法求微扰后的能级，准确到二级近似，并与精确结果比较。

4、猜想一维谐振子基态波函数形式为 x) = Aexp(- x 2) 。（还给了两个积分公式）

（1）用 表示 。

（ ）用变分法求出基态能量和 的表达式。

5、设二波色子体系的哈密顿量为

H ＝ V （aa# + bb# ） + (a#b#aa + a#a#ba) （＃表示厄米共轭算符，H 形式大致如此） 设|1> = (1/√2)a#a#|0>, |2> = a#b#|0>, |3> = (1/√2)b#b#|0>.

(1)求H 在以|1>,|2>,|3>作为基矢的表象下的矩阵元。

（2）设体系初状态为|2>，V ＝4 ，t / = ,经过时间t 以后测量玻色子a 的数目，问可能的结果和每种结果发生的几率。

6、如图，电子初速度为零，在均匀电场E 中运行距离h 后以高速离开，自由飞行一段路程后进入均匀磁场B 区域，经过一段半圆弧后离开磁场。已知电子质量为m 0，电量为e 。

（1）求电子离开电场时的动量。

（2）求圆弧半径。

× ×

×

×

×

×

× × × × × × × × B