九年级三角函数复习ppt课件
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沪科版数学九年级上册23.1第4课时一般锐角的三角函数值 课件(共16张PPT)
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正弦值随锐角增大而增大;余弦值随锐角增大而减小;正切值随锐角增大而增大．
归纳小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第4课时 一般锐角的三角函数值
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.会用计算器求锐角的三角函数值．2.会用计算器根据一个锐角三角函数的值求对应的锐角．
会用计算器求锐角的三角函数值．
正确使用计算器求锐角的三角函数值．
回顾复习
根据前面学习的特殊角的三角函数值，完成下面的表格．
解：
按 键 顺 序
显 示
0.642 787 609
sin
4
0
=
∴ sin 40°= 0.642 8．
如果锐角不是整数度数时应该如何计算呢？
例题示范
例1 用计算器求cos 34°35′的值(精确到0.000 1)．解：
∴ cos 34°35′ = 0.823 3．
例2 求tan 66°15′17″的值 (精确到0.000 1)．解：
思考 如何用计算器求锐角的三角函数值呢？
计算器上只要有sin,cos,tan键，就可以用来求锐角的三角函数值．
不同计算器的按键方法各有不同，现在介绍一种计算器，先按ON/C键，再按MODE键，使显示器屏幕出现“DEG”，然后再按有关三角函数的键．
用计算器求sin 40°的值(精确到0.000 1)．
问题引入
任意一个锐角，如何求它的三角函数值呢？比如求sin 36°的值．
步骤1：如图，用刻度尺和量角器，作出Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=36°．步骤2：用刻度尺量得∠A的对边BC和斜边AB的长度．步骤3：算出比值 ，即得出sin 36°的值．
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正弦值随锐角增大而增大;余弦值随锐角增大而减小;正切值随锐角增大而增大．
归纳小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第4课时 一般锐角的三角函数值
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.会用计算器求锐角的三角函数值．2.会用计算器根据一个锐角三角函数的值求对应的锐角．
会用计算器求锐角的三角函数值．
正确使用计算器求锐角的三角函数值．
回顾复习
根据前面学习的特殊角的三角函数值，完成下面的表格．
解：
按 键 顺 序
显 示
0.642 787 609
sin
4
0
=
∴ sin 40°= 0.642 8．
如果锐角不是整数度数时应该如何计算呢？
例题示范
例1 用计算器求cos 34°35′的值(精确到0.000 1)．解：
∴ cos 34°35′ = 0.823 3．
例2 求tan 66°15′17″的值 (精确到0.000 1)．解：
思考 如何用计算器求锐角的三角函数值呢？
计算器上只要有sin,cos,tan键，就可以用来求锐角的三角函数值．
不同计算器的按键方法各有不同，现在介绍一种计算器，先按ON/C键，再按MODE键，使显示器屏幕出现“DEG”，然后再按有关三角函数的键．
用计算器求sin 40°的值(精确到0.000 1)．
问题引入
任意一个锐角，如何求它的三角函数值呢？比如求sin 36°的值．
步骤1：如图，用刻度尺和量角器，作出Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=36°．步骤2：用刻度尺量得∠A的对边BC和斜边AB的长度．步骤3：算出比值 ，即得出sin 36°的值．
九年级数学《锐角三角函数复习》PPT
能力闯关
10.
转化为数学问题
11.
分类讨论
12.
13.
构造直角三角形, 选择合适的锐角三角函数
14.(湖南邵阳中考)如图所示,运载火箭从地面L处垂
直向上发射,当火箭到达点A时,从位于地面R处的雷
达测得AR的距离是40 km,仰角是30°.n s后,火箭到
达点B,此时仰角是45°,则火箭在这n s中上升的高度
为
20 k3m-20.
15.
小结
锐角三角函数意义
性质
锐角三角函数函数
关系
解直角三角形
解直角三角形应用
思想方法：建模思想、转化思想、 分类讨论思想、数形结合思想.
悟性的高低取决于有无悟“心”,其实, 人与人的差别就在于你是否去思考,去发现！
相等,则这两个锐角相等.
考点二 特殊三角函数值
基础闯关
1
2
3
思考
2
2
2
锐角A的正弦值、
余弦值有无变化范
3
2
1
围？
2
2
2
3
1
3
3
随着锐角的变大 锐角的 三角函数值有何变化规律呢？
几个重要关系式
tanA=
sin A cos A
sin2A+cos2A=1
同角的正 弦余弦与正切之间B的
根关根c系据关系解题 ⑴ 已知:Rt△ABC中， a
28
考点一
基础闯关
锐角三角函数的意义
一、基本概利念用定义解题
a
如右1.正图弦所示s的inAR=t⊿c ABC中∠C=90°b， a=52，.余b弦=12，cosA= c 那么3.正sin切A= t_a_n_A_=_ba，
23.一般锐角的三角函数值PPT课件(沪科版)
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)， AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，
B C = C D 4 .2 5 .9 (千 米 )， sin C BA sin 45
【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直 角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度 DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔 尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B 处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡 顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组 算一算塔高DE大约是多少米 (结果精确到个位)．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝ EF ≈0.5，
BF
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝
DF BF
50 2x 2x
＝1.8，
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高DE大约是81米．
归纳总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到 与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中 没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直 角三角形．
巩固练习
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应 的锐角： （1）sinA=0.627 5，sinB＝0.054 7；
∠A=38°51′57″ ∠B=38°8″
B C = C D 4 .2 5 .9 (千 米 )， sin C BA sin 45
【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直 角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度 DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔 尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B 处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡 顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组 算一算塔高DE大约是多少米 (结果精确到个位)．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝ EF ≈0.5，
BF
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝
DF BF
50 2x 2x
＝1.8，
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高DE大约是81米．
归纳总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到 与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中 没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直 角三角形．
巩固练习
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应 的锐角： （1）sinA=0.627 5，sinB＝0.054 7；
∠A=38°51′57″ ∠B=38°8″
北师大版数学九年级下册111锐角三角函数27张PPT课件
比一比
1）在Rt△ABC中∠C =90°AC=5,AB=13,tanA=( 12 )
5
12
比一比
2）在Rt△ABC中∠C =90°AC=5,BC=12,tanB=( 5 )
12
比一比
3）在Rt△ABC中∠B =90° AC=5,AB=3,tanC=( 3)
4
4
比一比
4）. 在等腰Rt△ABC 中,∠C =90°,请思考：tanA 和tanB 有什么关系？
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
(2)B .1C1和 B2C2有什么 ? 关系相等
A1C A2C
A
（3）如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢
B1
B2 B3
C3 C2
C1
∠A的大小确定, ∠A的对边与邻边的比值不变。与三角形的大小没有关系。
要点归纳
判断梯子是否更陡，有如下方法：
1.可以利用倾斜角的大小比较，倾斜角越大，梯 子越陡.
C
tanA =tanB
B
A
比一比
5）已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A =∠B,则tanA ＝tanB; (2)若tanA =tanB,则∠A＝∠B.
学以致用
5
6）已知tanA=
12
, AC=120米，
求：塔高BC的长度.
学以致用
在现实生活中，自行车是很重要的交通工具，小明骑自行车 上学要经过两段上坡路.
探索发现
倾斜角越大——梯子越陡 铅直高度与水平宽度的比越大——梯子越陡 而tanA就是铅直高度与水平宽度的比
铅
直
高
A
度
水平宽度
课堂探究
归纳：∠A越大，tanA越 大 ，梯子越陡 .
第7章 锐角三角函数(小结与思考)(单元复习课件)九年级数学下册课件(苏科版)
° − ° ==_________________.
° − °
6.已知tanα＝1.237，cosβ＝0.9205，sinγ＝0.6436(α，β，γ均为锐角)，则
α，β，γ的大小顺序为__________.(提示：利用函数值的大小与特殊角的
β＜γ＜α
函数值的大小关系比较)
边、角之间的关系:sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝
解直角三角形
已知一锐角、一边：一锐角、一直角边或一斜边
基本类型
已知两边：一直角边，一斜边或者两条直角边
与仰角、俯角有关的实际问题
简单应用
与方向角有关的实际问题
与坡角有关的实际问题
与生活有关的其他实际问题
知识回顾
特殊角的锐角三角函数值：
cosA＝sinB＝sin(90°-∠A)
tanA ·tanB ＝1
解直角三角形
知识框架
定义
由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的
未知元素的过程，叫做解直角三角形.
三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)
第7章 锐角
三角函数
依据
锐角之间的关系: ∠A+ ∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余)
A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 10°
巩固练习
3. (2023·山东）计算：| − | + ° − =
4. 已知2cosθ=1，则θ=
60 °.
60
5. 已知α是锐角，tanα＝2cos30°，则α＝______°.
1 ．
巩固练习
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，
沪科版数学九年级上册 23.1 锐角三角函数 课件(共13张PPT)
(6) tan30°·tan60°＋ cos230°
本节课学习了什么内容？
三角函数 sina cos a tan a
30°
1 2
3 2 3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
拓展探究
求已知锐角的三角函数值：
21..求求csoint7603゜゜4552′′的41值″的.（值精. 确（到精0确.0到0001.）0001） 在先角用度如单下位方状法态将为角“度度单” 位的状情态况设下定:屏为幕“显度示”出
显示
按再下按列下列顺顺序序依依次次按按键键
由锐角三角函数值求锐角:
已知tan x=0.7410,求锐角 x.（精确到1′） 在角度单位状态为“度” 的情况下（屏幕显示 出 ），按下列顺序 依次按键：
显示结果为36.538 445 77.
再按键：
24.2锐角三角函数值
自学检测：
根据三角函数的定义，sin30°是一个常数.用刻度
尺量出你所用的含30°的三角尺中，30°所对的
直角边与斜边的长，与同桌交流，看看这个常数
是什么.
B
sin30°=
对边 ＝1 Βιβλιοθήκη 边 2理由：30在直角三角形中，如果A一个锐角等于30°，C
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
若 tan 1 则α＝______3_0_°____；
3
若 cos 1 ,则α＝______4_5_°____．
2
2.根据下列条件，求出相应的锐角A：
(1) sin A 2 ; (2) cos A 3 0;
2
2
(3) tan(A 20) 1.
基础练习：
第二十八章 锐角三角函数++++复习课件+2024—2025学年人教版数学九年级下册
7.(2022·六盘水中考)“五一”期间,许多露营爱好者在我市郊区露营,为遮阳和防雨
会搭建一种“天幕”,其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,
用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E
的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD=2 m,BF=3 m.
【解析】原式=1-2 + =1- .
9
维度2基本技能(方法)、基本思想的应用
4.(2023·攀枝花中考)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,
则cos A的值为( C )
3
A.
5
3
B.
4
4
C.
5
4
D.
3
5. (2023·陕西中考)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1.
答:遮阳宽度CD约为3.6 m;
13
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:
sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14, 2≈1.41)
【解析】(2)如图,
过点E作EH⊥AB于H,∴∠BHE=90°,
12
(1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD(结果精确到0.1 m);
【解析】(1)由对称知,CD=2OD,AD=AC=2 m,∠AOD=90°,
在Rt△AOD中,∠OAD=∠α=65°,∴sin
α= ,
∴OD=AD·sin α=2×sin 65°≈2×0.9=1.8(m),∴CD=2OD=3.6 m,
3
课标 内容要求
会搭建一种“天幕”,其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,
用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E
的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD=2 m,BF=3 m.
【解析】原式=1-2 + =1- .
9
维度2基本技能(方法)、基本思想的应用
4.(2023·攀枝花中考)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,
则cos A的值为( C )
3
A.
5
3
B.
4
4
C.
5
4
D.
3
5. (2023·陕西中考)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1.
答:遮阳宽度CD约为3.6 m;
13
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:
sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14, 2≈1.41)
【解析】(2)如图,
过点E作EH⊥AB于H,∴∠BHE=90°,
12
(1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD(结果精确到0.1 m);
【解析】(1)由对称知,CD=2OD,AD=AC=2 m,∠AOD=90°,
在Rt△AOD中,∠OAD=∠α=65°,∴sin
α= ,
∴OD=AD·sin α=2×sin 65°≈2×0.9=1.8(m),∴CD=2OD=3.6 m,
3
课标 内容要求
1.5 三角函数的应用 课件 (共30张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册.ppt
30°
E
F
B
新知探究
总结
利用解直角三角形解决简单问题的一般解题步骤：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据题目类型和条件的特点，适当选用锐
课堂小结
1.与方位角有关的实际问题
解直角
三角形
的简单
应用
简单
应用
2.仰角和俯角问题
3.利用坡角解决实际问题
30°
西
O
45°
B
南
东
南偏西45度
新知探究
例1：如图，海中有一个小岛A，该岛四周 10 n mile内有暗礁.
今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西 55° 的B 处，往
东行驶 20 n mile后到达该岛的南偏西 25° 的 C处。之后，货
轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？
【分析】货轮继续向东航行是
在 Rt△AOD 中，∵∠ADO = 90°，∠AOD = 30°，OA= 4 km，
∴AD =
1
OA
2
= 2 km．
在Rt△ABD 中，∵∠ADB = 90°，∠B = ∠CAB∠AOB=75°- 30°= 45°，
∴ BD = AD = 2 km，
∴ AB =
2
AD = 2
2
km．
即该船航行的距离为 2
北
A
否安全，取决于小岛A 到 BD
25°
航线的距离是否大于 10 n mile.
55°
东
B
20
C
D
新知探究
解：由点 A 作AD⊥BC 于点 D，设AD= x ,
则在 Rt△ABD 中，BD AD • tan BAD x • tan55
《三角函数的计算》直角三角形的边角关系PPT课件
5.一个人由山底爬到山顶，需先爬坡角为40°的山坡300 m，
再爬坡角为30°的山 坡100 m，求山高（结果精确到0.1m).
解：如图，过点C作CE⊥AE于点E，
过点B作BF⊥AE于点F，
过点B作BD⊥CE于点D，则BF＝DE.
在Rt△ABF中，BF＝AB sin 40°；
在Rt△CDB中，CD＝BC sin 30°.
BC 10 1
如图，在Rt△ABC中，sinA=
，
AC 40 4
那么∠A是多少度呢?
要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.
已知三角函数值求角度，要用到
“sin”、“cos”、“tan”键
的第二功能“sin־¹，cos־¹，
tan־¹ ”和2ndf 键。
以“度”为单位
按键顺序
sinA=0.9816
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
议一议
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D
的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°
，由此你还能计算什么?
想一想
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端
修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
故选A．
)
2.下列各式中一定成立的是（ A ）
A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°
B. tan75°﹤tan48°﹤tan15°
C. cos75°﹥cos48°﹥cos15°
D. sin75°﹤sin48°<sin15°
3．某款国产手机上有科学计算器，依次按键： = ，显示
合作学习
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
锐角三角函数复习课件九年级中考复习
误的是( A )
A.sin B＝
1
3
1
C.tan B＝
2
B.sin C＝
2 5
5
D.sin2B+sin2C＝1
3
8.如图,点 A(x,4)在第一象限,OA 与 x 轴所夹的锐角为 α,cos α＝ ,
5
则 tan α 的值为( A
A.
4
3
B.
3
4
C.
5
4
)
D.
4
5
3
9.在 Rt△ABC 中,∠C＝90°,若 sin A＝ ,则 cos B 的值是( B )
B
2- 3
2+ 3 2-
=23.类比这种方法,计算
tan
22.5°的
3
)
B. 2-1
C. 2
1
D.
2
14.在如图所示的网格中,小正方形的边长为1,点A,B,C,D都在
格点上,
AB与CD相交于点O,则∠AOC的正切值是( A )
A.
C.
2
3
3
5
3
B.
2
5
D.
3
(1)cos260°+sin260°＝
1 ;
cos45°
(2)
－
tan 45°＝ 0 ;
sin45°
3
(3)1－2sin 30°cos 30°＝ 1－ 2
.
练习题
1.在△ABC 中,∠A＝105°,∠B＝45°,tan C 的值是
3
3
.
2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,若△ABC的三边都缩小5倍,则sin
是( D )
冀教版九年级数学上册26.1《锐角三角函数》(共19张PPT)
┌
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2 3
典例精析 例2. 求下列各式的值：
(1) 2sin 30 3 tan 30 tan 45
(2) sin2 45 tan 60 sin 60
第二十六章 解直角三角形
26.1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
复习巩固
1.正切的定义:
Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作
tanA,即
tanA=2ຫໍສະໝຸດ 特殊角的正切值：A的对边 A的邻边
B
tan30° tan45° tan60°
31 3
3
斜边 ∠A的对边
AB 10 5
课堂小结
锐角三角函数
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a
A的斜边
c
cosA= A的邻边 = b
A的斜边
c
tanA= A的对边 = a
A的邻边
b
课堂小测
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC=4,则 sinA的值为（D ）
A.
B.
C.
D.
2. sin2 30 cos2 30 tan 45 0
典例精析1、 例题3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC=12，
的三角函数A值．
C
5
12
解：由勾股定理
A
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2 3
典例精析 例2. 求下列各式的值：
(1) 2sin 30 3 tan 30 tan 45
(2) sin2 45 tan 60 sin 60
第二十六章 解直角三角形
26.1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
复习巩固
1.正切的定义:
Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作
tanA,即
tanA=2ຫໍສະໝຸດ 特殊角的正切值：A的对边 A的邻边
B
tan30° tan45° tan60°
31 3
3
斜边 ∠A的对边
AB 10 5
课堂小结
锐角三角函数
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a
A的斜边
c
cosA= A的邻边 = b
A的斜边
c
tanA= A的对边 = a
A的邻边
b
课堂小测
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC=4,则 sinA的值为（D ）
A.
B.
C.
D.
2. sin2 30 cos2 30 tan 45 0
典例精析1、 例题3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC=12，
的三角函数A值．
C
5
12
解：由勾股定理
A
人教版九年级下册数学《锐角三角函数》说课教学复习课件
2
2
据此,小明猜想:
对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.
(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立.
(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.
解:(1)成立.
当α= 30°时,
sin2α+ sin2(90°- α)= sin230°+ sin260°
3
锐角 三角 函数
定义：sinA,cosA
性质
0<sin A<1,0<cos A<1.
人教版九年级下册
第二十八章 锐角三角函数
第2课时
课件
学习目标
1、理解正切的定义，能根据已知直角三角形的边长求一个锐角的 正切值. 2、了解锐角A的三角函数的定义，能运用锐角三角函数的定义求 三角函数值.
重点：正切的定义. 难点：已知直角三角形的边长求一个锐角的余弦值和正切值.
回顾相似三角形的性质：
相似三角形对应边上的高、中线、角平分线、周长的比 等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方
在Rt△ABC中，∠C＝90°锐角正弦的定义
斜边 A
B
∠A的对边
┌
C
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° 我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
B
斜边 ∠A的对边
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高,如果CD=3,BD=2,那么cos A
3 13
的值是 13 .
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A 3，BC=6，则 AB的长为 （ D ） 5
A. 4
浙教版数学九年级下册 1.1 锐角三角函数 课件(共25张PPT)
观察以上计算结果,你发现了什么?
sinA=cosB ，cosA=sinB (∠A+∠B=90）
tanA·tanB=1
(∠A+∠B=90）
B
c
a
┌
A
b
C
sin A a cos A b tan A a
c
c
b
sin B b cos B a
c
c
tan B b a
如图，在△ABC中，若AB=5，BC=3，则下列结论正确
锐角A，A′的余弦值的关系为（ ） A
A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定 2．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，
且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（ C）
3 A．4
4 B．3
C．4 5
3
D．
5
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，
是关于锐角α的三角函数。
AB AB AC
B
A
C
锐角α的正弦，余弦和正切统称∠α的三角函数.
比值 BC 叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.
AB
BC
比值 AC
即sinα= AB
叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.
AB
即cosα= AC
AB 比值 叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.
b，c，则下列各项中正确的是（ ） B
A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 2 ，则tanB等于（ ）
C
苏教版九年级数学下册第7章锐角三角函数课件
4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的 实际问题。
⑴正弦
1.锐角三角函数的定义 ⑵余弦
锐
⑶正切
角 2.30°、45°、60°特殊角的三角函数值
三
⑴定义
角
①三边间关系
函 3.解直角三角形 数
⑵解直角三角形的根据
②锐角间关系 ③边角间关系
⑶解直角三角形在实际问题中
的应用
B
斜边c
对边a
一、锐角三角函数的概念 A 邻边b C
7
痕为DE，则tan∠CBE的值是 24 。
方法点拨:设CE=x，则 AE=BE=8-x，利用勾股定理求出 x，再求tan∠CBE的值。
C
6
E8
B
D
A
7.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度。 已知小明的眼睛与地面的距离是1.7m，看旗杆顶部的仰角 为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆 顶部的仰角为30°。两人相距28米且位于旗杆两侧（点B， N，D在同一条直线上）。要求出旗杆MN的高度。（结果保 留整数）
DC
设AC=13k，AD=12k，所以CD=5k，又AC=BD=13k，
所以BC=18k=12，故k= 2
2
3
所以AD=12× ＝８
3
1.若 2 sin 2 0 ，则锐角α= 45°
2.若tan( 20） 3 0 ，则锐角α= 80°
3.计算：
(1) 2 sin 45 tan 60 2 cos30. 1
分析:就是当∠EAD=45° 时，求BE的长，作BF⊥AD， EG⊥AD，则BE=GF=AG-AF。
GF
解:
GF
过点B作BF⊥AD，在Rt△ABF中，AB=40，∠BAD=60°，
⑴正弦
1.锐角三角函数的定义 ⑵余弦
锐
⑶正切
角 2.30°、45°、60°特殊角的三角函数值
三
⑴定义
角
①三边间关系
函 3.解直角三角形 数
⑵解直角三角形的根据
②锐角间关系 ③边角间关系
⑶解直角三角形在实际问题中
的应用
B
斜边c
对边a
一、锐角三角函数的概念 A 邻边b C
7
痕为DE，则tan∠CBE的值是 24 。
方法点拨:设CE=x，则 AE=BE=8-x，利用勾股定理求出 x，再求tan∠CBE的值。
C
6
E8
B
D
A
7.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度。 已知小明的眼睛与地面的距离是1.7m，看旗杆顶部的仰角 为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆 顶部的仰角为30°。两人相距28米且位于旗杆两侧（点B， N，D在同一条直线上）。要求出旗杆MN的高度。（结果保 留整数）
DC
设AC=13k，AD=12k，所以CD=5k，又AC=BD=13k，
所以BC=18k=12，故k= 2
2
3
所以AD=12× ＝８
3
1.若 2 sin 2 0 ，则锐角α= 45°
2.若tan( 20） 3 0 ，则锐角α= 80°
3.计算：
(1) 2 sin 45 tan 60 2 cos30. 1
分析:就是当∠EAD=45° 时，求BE的长，作BF⊥AD， EG⊥AD，则BE=GF=AG-AF。
GF
解:
GF
过点B作BF⊥AD，在Rt△ABF中，AB=40，∠BAD=60°，
秋九年级数学上册第24章解直角三角形复习课件新版华东师大版
5
分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在 Rt△ACD和ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由 此可列方程求出CD．
A
BD
C
解：（1）设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC= 3 ,
5
x 3 , AD 5 x
AD 5
3
A
AD BC, BC 5 x, 3
又BC－CD＝BD
5xx 4 3
解得x=6
B
D
C
∴CD=6
(2) BC=BD+CD=4+6=10=AD 在Rt△ACD中 AC AD2 CD2 102 62 8 在Rt△ABC中
AB AC2 BC 2 64 100 2 41
sin B AC 8 4 41 AB 2 41 41
课堂小结
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
B
ca
A bC
sin
B
B的对边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余 弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中．对于较复杂的 图形，要善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、 公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起， 从而达到解题的目的．
2.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 3.点 D 为 BC 边 上一点，且 BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC 的周长(结果保留 根号).
分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在 Rt△ACD和ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由 此可列方程求出CD．
A
BD
C
解：（1）设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC= 3 ,
5
x 3 , AD 5 x
AD 5
3
A
AD BC, BC 5 x, 3
又BC－CD＝BD
5xx 4 3
解得x=6
B
D
C
∴CD=6
(2) BC=BD+CD=4+6=10=AD 在Rt△ACD中 AC AD2 CD2 102 62 8 在Rt△ABC中
AB AC2 BC 2 64 100 2 41
sin B AC 8 4 41 AB 2 41 41
课堂小结
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
B
ca
A bC
sin
B
B的对边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余 弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中．对于较复杂的 图形，要善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、 公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起， 从而达到解题的目的．
2.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 3.点 D 为 BC 边 上一点，且 BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC 的周长(结果保留 根号).
(北师大版)数学九年级下册：三角函数的计算课件
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=ABsin160 .
你知道sin160等于多少吗? 我们可以借助科学计算器求锐角的三 角函数值.
怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢? 请与同伴交流你是怎么做的?
做一做P16 3
知识在于积累
驶向胜利 的彼岸
用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到三个键:
例如,求sin160,cos420, tan850和 sin cos tan sin720 38′25″的按键盘顺序如下:
老师期望: 你能独立获得成功.
小结 拓展
回味无穷
由锐角的三角函数值反求锐角
驶向胜利 的彼岸
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A 1 2
∠A= 300 sin A 3
2
∠A=
600 sin A 2
2
∠A= 450
cos A 1 2
∠A= 600 cos A
想一想P19 1
数学源于生活的需求
如图,为了方便行人，市政府在10m 高的天桥.两端修建了40m长的斜道. 这条斜道的倾斜角是多少? 如图,在Rt△ABC中,
sin A BC 10 1 . AC 40 4
那么∠A是多 少度呢? 要解决这问题,我们可以借助科学计算器.
请与同伴交流你是怎么做的?
怎 么解?
老师提示:上表的显示结果是以度为 单位的,再按 dms 键即可显示以 “度,分,秒”为单位的结果.
例题欣赏P240
洞察力与内秀
驶向胜利 的彼岸
例1 如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19. 2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10 ).
解 : tan ACD AD 10 0.5208, CD 19.2
你知道sin160等于多少吗? 我们可以借助科学计算器求锐角的三 角函数值.
怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢? 请与同伴交流你是怎么做的?
做一做P16 3
知识在于积累
驶向胜利 的彼岸
用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到三个键:
例如,求sin160,cos420, tan850和 sin cos tan sin720 38′25″的按键盘顺序如下:
老师期望: 你能独立获得成功.
小结 拓展
回味无穷
由锐角的三角函数值反求锐角
驶向胜利 的彼岸
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A 1 2
∠A= 300 sin A 3
2
∠A=
600 sin A 2
2
∠A= 450
cos A 1 2
∠A= 600 cos A
想一想P19 1
数学源于生活的需求
如图,为了方便行人，市政府在10m 高的天桥.两端修建了40m长的斜道. 这条斜道的倾斜角是多少? 如图,在Rt△ABC中,
sin A BC 10 1 . AC 40 4
那么∠A是多 少度呢? 要解决这问题,我们可以借助科学计算器.
请与同伴交流你是怎么做的?
怎 么解?
老师提示:上表的显示结果是以度为 单位的,再按 dms 键即可显示以 “度,分,秒”为单位的结果.
例题欣赏P240
洞察力与内秀
驶向胜利 的彼岸
例1 如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19. 2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10 ).
解 : tan ACD AD 10 0.5208, CD 19.2
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AD 3PD, 12x 3x,
x 126( 31)1.8 31
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险． .
及时反馈
8.如图，甲船在港口P的北偏西60°方向，距港口80海里的A 处，沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发， 2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．
（2）两锐角的关系：∠A十∠B＝90°
（3）边角的关系：sin A a cos A b tan A a
c
c
b
归纳：只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），
就可以求出其余3个未知元. 素.
知识回顾 四.解直角三角形的应用
1.仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
例4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， A 若tanB=cos∠DAC.
（１）AC与BD相等吗？说明理由；
B
（２）若sinC＝ 12 ，BC=12，求AD的长.
13
DC
解：（１）
在Rt △ABD和△ACD中，tanB= AD ，cos∠DAC ＝ AD
BD
AC
因为tanB=cos∠DAC，所以 AD ＝ AD
14 2
BD C
.
小结
⑴正弦
1.锐角三角函数的定义 ⑵余弦
锐 ⑶正切 2.30°、45°、60°特殊角的三角函数值
角
三
⑴定义
①三边间关系
角
3.解直角三角形
⑵解直角三角形的依据 ②锐角间关系
③边角间关系
函
⑶解直角三角形在实际问题中
数
的应用
.
.
.
.
.
视线
铅
直
仰角
线
俯角
水平线
视线
.
知识回顾 2.坡度、坡角
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
坡度（坡比）：坡面的铅
直高度h和水平距离l的
比叫做坡度，用字母i表
示，则 i h tan
l
h
l
坡度通常写成 i h tan 的形式.
l
.
典型例题
例1.计算2sin30 °+tan45 ° ×cos60°
知识回顾
斜边c
B
对边a
一.锐角三角函数的概念 A
邻边b
C
正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A
的正弦，记作 sin A a来自对这些关系式c
要学会灵活变
余 余弦 弦：，记把作锐角coAs的A 邻b边与斜边的式比运叫做用∠A的
c
正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记作 tan A a
b
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数. .
BD AC
故 BD=AC
.
及时反馈
1.若 2sin 20，则锐角α= 45°
2.若ta n(20） 30，则锐角α= 80°
3.计算：
(1) 22si4n5ta6n02co3s0. 12
2 6 ta n 2 3 0 03 s in 6 0 0 2 c o s4 5 0 .1 2
2
.
及时反馈
B
解：原式=2×1 +1× 1
2
2
步骤：
=1+ 1 2
=
3 2
一“代”二 “算”
例2.若 3tan10，则锐角α= 30°
点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先 将原式变形为tanα= 3 ，从而求得α的度数.
3.
典型例题
例3.在Rt △ ABC中，∠C=90°，∠ A=30°，a=5， 求b、c的大小.
分析：作PD⊥BC，设PD=x,则 BD=x,AD=x+12,根据AD= 3 PD, 得x+12= 3 x,求出x的值,再 比较PD与18的大小关系.
D
.
典型例题
解：有触礁危险.
D
理由：过点P作PD⊥AC于D.设PD为x，在Rt△PBD中， ∠PBD=90°－45°＝45°．∴BD＝PD＝x,AD=12+x. 在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°，
解: ∠B=90°- ∠ A=90°-30°=60°，
B
∵tanB=b/a,
∴b=a·tanB=5·tan60°= 5 3
5
∵ sinA=a/c,
30°
A
C
∴ c=a/sinA=5/sin30=5/(1/2)=10.
解直角三角形分为两类:一是已知一边一角解直角三 角形;二是已知两边解直角三角形.
.
典型例题
知识回顾 二.特殊角的三角函数值
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
1
3
3
锐角的三角函数值有 何变化规律呢？
.
知识回顾 三.解直角三角形
1.什么叫解直角三角形？
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所 有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系：
（1）三边关系： a2b2 c2 （勾股定理）
是 7.
24
C
方法点拨:设CE=x,则AE=BE=8-x, 6
E8
利用勾股定理求出x,再求 tan∠CBE的值.
B
D
A
.
典型例题
例5.海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北 偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小 岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续 向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
A
C
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，b= 2 3 ,c=4.
则a= 2 ，∠B= 60°，∠A= 30°.
5.如果 coAs1 3taB n30
2
那么△ABC是（ D ）
A.直角三角形 C.钝角三角形
B.锐角三角形 D.等边三角形
.
6.直角三角形纸片的两直角边BC为6， AC为8,现将△ABC，按如图折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值
x 126( 31)1.8 31
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险． .
及时反馈
8.如图，甲船在港口P的北偏西60°方向，距港口80海里的A 处，沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发， 2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．
（2）两锐角的关系：∠A十∠B＝90°
（3）边角的关系：sin A a cos A b tan A a
c
c
b
归纳：只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），
就可以求出其余3个未知元. 素.
知识回顾 四.解直角三角形的应用
1.仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
例4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， A 若tanB=cos∠DAC.
（１）AC与BD相等吗？说明理由；
B
（２）若sinC＝ 12 ，BC=12，求AD的长.
13
DC
解：（１）
在Rt △ABD和△ACD中，tanB= AD ，cos∠DAC ＝ AD
BD
AC
因为tanB=cos∠DAC，所以 AD ＝ AD
14 2
BD C
.
小结
⑴正弦
1.锐角三角函数的定义 ⑵余弦
锐 ⑶正切 2.30°、45°、60°特殊角的三角函数值
角
三
⑴定义
①三边间关系
角
3.解直角三角形
⑵解直角三角形的依据 ②锐角间关系
③边角间关系
函
⑶解直角三角形在实际问题中
数
的应用
.
.
.
.
.
视线
铅
直
仰角
线
俯角
水平线
视线
.
知识回顾 2.坡度、坡角
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
坡度（坡比）：坡面的铅
直高度h和水平距离l的
比叫做坡度，用字母i表
示，则 i h tan
l
h
l
坡度通常写成 i h tan 的形式.
l
.
典型例题
例1.计算2sin30 °+tan45 ° ×cos60°
知识回顾
斜边c
B
对边a
一.锐角三角函数的概念 A
邻边b
C
正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A
的正弦，记作 sin A a来自对这些关系式c
要学会灵活变
余 余弦 弦：，记把作锐角coAs的A 邻b边与斜边的式比运叫做用∠A的
c
正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记作 tan A a
b
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数. .
BD AC
故 BD=AC
.
及时反馈
1.若 2sin 20，则锐角α= 45°
2.若ta n(20） 30，则锐角α= 80°
3.计算：
(1) 22si4n5ta6n02co3s0. 12
2 6 ta n 2 3 0 03 s in 6 0 0 2 c o s4 5 0 .1 2
2
.
及时反馈
B
解：原式=2×1 +1× 1
2
2
步骤：
=1+ 1 2
=
3 2
一“代”二 “算”
例2.若 3tan10，则锐角α= 30°
点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先 将原式变形为tanα= 3 ，从而求得α的度数.
3.
典型例题
例3.在Rt △ ABC中，∠C=90°，∠ A=30°，a=5， 求b、c的大小.
分析：作PD⊥BC，设PD=x,则 BD=x,AD=x+12,根据AD= 3 PD, 得x+12= 3 x,求出x的值,再 比较PD与18的大小关系.
D
.
典型例题
解：有触礁危险.
D
理由：过点P作PD⊥AC于D.设PD为x，在Rt△PBD中， ∠PBD=90°－45°＝45°．∴BD＝PD＝x,AD=12+x. 在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°，
解: ∠B=90°- ∠ A=90°-30°=60°，
B
∵tanB=b/a,
∴b=a·tanB=5·tan60°= 5 3
5
∵ sinA=a/c,
30°
A
C
∴ c=a/sinA=5/sin30=5/(1/2)=10.
解直角三角形分为两类:一是已知一边一角解直角三 角形;二是已知两边解直角三角形.
.
典型例题
知识回顾 二.特殊角的三角函数值
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
1
3
3
锐角的三角函数值有 何变化规律呢？
.
知识回顾 三.解直角三角形
1.什么叫解直角三角形？
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所 有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系：
（1）三边关系： a2b2 c2 （勾股定理）
是 7.
24
C
方法点拨:设CE=x,则AE=BE=8-x, 6
E8
利用勾股定理求出x,再求 tan∠CBE的值.
B
D
A
.
典型例题
例5.海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北 偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小 岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续 向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
A
C
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，b= 2 3 ,c=4.
则a= 2 ，∠B= 60°，∠A= 30°.
5.如果 coAs1 3taB n30
2
那么△ABC是（ D ）
A.直角三角形 C.钝角三角形
B.锐角三角形 D.等边三角形
.
6.直角三角形纸片的两直角边BC为6， AC为8,现将△ABC，按如图折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值