_15-2014中文第15章 有限元方法在流体力学中的应用

流线上的任一点的切向量可以表示为 nt = dx i + dyj， 该点处的流体速度为 V = ui + vj.
则 V × nt = (−v dx + u dy)k=0
因为：两个非零向量的叉积为零意味着 这两个向量平行，所以：
在流线上任一点，流体速度正切于流线。
有限元列式
具有M个节点的有限单元内的流函数可以表示为:
i 1 M
2 2 Ni ( x, y)( 2 2 )dxdy 0, i 1, M x y A( e )
2 2 T [ N ] ( 2 2 )dxdy 0 x y A( e )
T [ N ] T [N ] nx dS dxdy x x x S(e) A( e ) T [ N ] T [N ] n y dS dxdy 0 y y y S(e) A( e )
积没有纯转动。
如果下列三式不能同时满足，则为有旋流动:
v u w u w v 0, 0, 0 x y x z y z
我们目前仅考虑无旋流动。
二维流的流函数(steam function) 对于2D,稳态,不可压缩,无旋流动 连续性方程为 无旋条件退化为
[ N ]T [ N ] [ N ]T [ N ] T ( ) dxdy [ ] [ N ] (uny vnx )dS x x y y A( e ) S(e)
写为矩阵形式
[ K (e) ][ ] [ f ( e) ]
T T [ N ] [ N ] [ N ] [ N ] (e) [K ] ( )dxdy x x y y A( e )
dV (mass flow in-mass flow out) t
从x,y,z三个方向流入质量造成的控制体积中的 质量变化率分别表示为： ( u) mx udydz [ u dx ]dydz x ( v) m y vdxdz [ v dy ]dxdz y ( w) mz wdydz [ w dz ]dxdy z 所以质量的变化率为：
u v 0 y x
连续性条件变为:
u v 0 2 0 2 x y x y
2 2
(again, we obtain Laplace’s equation)
在流速势函数为常数的曲线上，有
d dx dy (udx vdy) 0 x y
[ N ]T [ N ]T [ N ]T [ N ]T ( )dxdy[ ] [ N ]T (unx vny )dS x x y y A( e ) S(e)
[ K ][ ] [ f
(e)
(e)
]
单元刚度阵与流函数法的相同，但是节点力完全 不同。
不可压缩粘性流
动量方程变为
2u 2u p 2 2 FBx x y x 2v 2 v p 2 2 FBy x y y
上式和连续性方程一起构成了三个未知数u(x, y), v(x, y), and p(x, y)的三个方程。
u v 0 x y 连续性方程
假定:
1. 可以看作二维问题
2. 不涉及热 3. 密度和粘度为常数 4. 稳态(不随时间变化) 表示动量守恒的 Navier-Stokes方程为:
u u u u p u v 2 2 FBx x y x y x
2 2
v v 2v 2v p u v 2 2 FBy x y x y y
(udx vdy) (ui vj) (dxi dyj)
所以可见，速度向量垂直于流速势为常数的曲 线。
于是，流线和流速势等值线形成了正交网格，称 为流网 (flow net).
有限元列式与流函数的情形类似：
( x, y) Ni ( x, y)i [ N ][ ]
( x, y) Ni ( x, y ) i [ N ][ ]
i 1 M
利用Galerkin方法, 单元的残差方程为：
2 2 A( e) Ni ( x, y)( x2 y 2 )dxdy 0, i 1, M
or
2 2 A(e) [ N ]( x2 y 2 )dxdy 0
应用Green-Gauss定理，上式变为
[ N ] [N ] nx dS dxdy x x x S(e) A( e )
T T T [ N ] T [N ] n y dS dxdy 0 y y y S(e) A( e )
其中 S 为单元边界 (nx , ny ) 为边界单位外 法线向量。代入流函数表达式，有：
du τ dy
μ为绝对粘度(absolute viscosity). 是流体的基本材料参数, 与其抗剪应力性能直接相关。
如果流体的粘度很小，则可忽略其剪应力，理想 化为无粘性流体。
2 不可压缩流体的控制方程
质量守恒
连续性方程
u, v, w, 是速度在 x,y,z方向的分量
质量守恒要求一个体积里面的质量变化率等于 该体积的质量净流入速度。 体积dV里的总质量为ρdV, 注意到 dV 为常数, 所以有：
对于稳态的不可压缩流体(steady flow of an incompressible fluid),密度与时间和空间坐标无 关，于是
u v w 0 x y z
有旋流和无旋流(Rotational and Irrotational Flow) 把流体流动分为： •有旋流动(rotational) ---平动和转动混合 •无旋流动(irrotational) ---仅有平动。流体微元体
这三个节点变量可以表示为：
u ( x, y ) N i ( x, y )ui [ N ]T [u ]
i 1 M M
v( x, y ) N i ( x, y )vi [ N ] [v]
T i 1 M
p( x, y ) N i ( x, y ) pi [ N ]T [ p ]
( u ) ( v) ( w) dV mx my mz [ ]dxdydz t x y z
注意到 dV = dx dy dz, 于是得到连续性方程为：
u v w u v w [ ] 0 t x y z x y z
[ f (e) ]
S(e)

[ N ]T (un y vnx )dS
二维流动的流速势函数(Velocity Potential Function)
假定存在流速势函数φ(x , y) 使得
u ( x, y ) , v( x, y ) x y
则无旋条件能自动满足:
u,v = x, y方向速度分量 ρ= 密度 p = 压力 μ= 绝对粘度 FBx , FBy = x, y方向单位体积的体力
斯托克斯流(Stokes Flow)
•Stokes flow (or creeping flow)：流体流动的速度很 小，惯性项比粘性项小很多，可以忽略。
高粘度流体，如融化的高分子材料。
最后得到一个 3M 个线性方程系统，求解个3M 未 知的节点量 {u}, {v}, {p} :
[ K u ] [0] [ K px ] [u ] [ f Bx ] [0] [ K ] [ K ] [v] [ f ] [ K ( e ) ][ ( e ) ] [ f ( e ) ] v py By [0] [ Ku ] [ K v ] [ p] [0]
u v 0 x y
u v 0 y x
如果引入 ψ(x , y) (流函数)，则连续性条件自动 满足:
u y , v x
无旋条件变为 u v
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( ) ( ) 2 2 2 0 y x y y x x x y
Chapter 15
有限元方法在流体力学中的应用
Applications of FEM in Fluid Mechanics
(Fundamentals of finite element analysis by David V. Hutton)
1 引言
•不可压缩流体(incompressible flow): 密度不变 •可压缩流体(compressible flow) Newton’s law of viscosity
2 2
(Laplace’s equation)
i j k , 2 x y z
•流函数的物理意义 流线(streamlines) : x-y平面内的曲线，其上的
流函数为常数。
d dx dy 0 d vdx udy 0 x y
i 1
应用Galerkin方法，残差方程为
2u 2u p Ni ( 2 2 FBx )dA 0 x y x A( e ) 2v 2 v p Ni ( 2 2 FBy )dA 0 x y y A( e ) u v Ni ( )dA 0 x y A( e ) i 1, M