数学建模典型例题

一、人体重变化

某人的食量是10467焦/天，最基本新代要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克•天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。

一、问题分析

人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间体重W的变化值列出微分方程。

二、模型假设

1、以脂肪形式贮存的热量100%有效

2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存

3、假设体重的变化是一个连续函数

4、初始体重为W0

三、模型建立

假设在△t时间：

体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；

身体一天的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t））

将其乘以△t即为一小段时间剩下的热量；

转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；

四、模型求解

d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686

W(0)=W0

解得：

5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686)

即：

W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686)

当t趋于无穷时，w=81;

二、投资策略模型

一、问题重述

一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）。以千元计数a ij的由下面的表给出：

请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。

二、问题分析

本问题是寻找成本最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。因此可利用图论法分析，用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本的投资策略。

三、条件假设

除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；

四、模型建立

二

5

11 7 三 6

4

16

6 13 8 四

一 9

12 8 11

20

五

10

六

运用Dijikstra算法

1 2 3 4 5 6 0 4 6 9 12 20

6 9 12 20 9 12 20 12 20

20 可发现，在第二次运算后，数据再无变化，可见最小路径已经出现

即在第一年买进200辆，在第三年全部卖出，第三年再买进200第六年全部卖出。

三、飞机与防空炮的最优策略

一、问题重述：

红方攻击蓝方一目标，红方有2架飞机，蓝方有四门防空炮，红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜。其中共有四个区域，红方可以其中任意一个接近目标，蓝方可以任意布置防空炮，但一门炮只能防守一个区域，其射中概率为1。那么双方各采取什么策略？

二、问题分析

该问题显然是红方与蓝方的博弈问题，因此可以用博弈论模型来分析本问题。

1、对策参与者为两方（红蓝两方）

2、红军有两种行动方案，即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。蓝军有三种防御方案，即四个区域非别布置防空炮（记为1-1-1-1）、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个（记为2-1-1-0）、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有（记为2-2-0-0）。显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的。

三、问题假设：

（1）红蓝双方均不知道对方的策略。

（2）蓝方可以在一个区域布置3,4门大炮，但是大炮数量大于飞机的数量，而一门大炮已经可以击落一架飞机，因而这种方案不可取。

（3）红方有两种方案，一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标，另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。

（4）假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场，且双方必须同时作出决策。

四、模型建立

行动及其产生的结果

由此可得赢得矩阵蓝方为A，红方为B

A= 1 0

0.75 0.50

0.50 0.83

B= 0 0.25 0.5

1 0.5 0.17

没有鞍点，故用混合策略模型解决本问题

设蓝方采取行动i的概率为 xi(i=1，2，3)，红方采取行动j的概率为yj(j=1,2)，则蓝方与红方策略集分别为：

S1=｛x=（x1，x2，x3）0< xi<1,∑xi=1｝，

S2=｛y=（y1，y2）0< yi<1,∑yi=1｝。

五、模型求解

下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x*

Max v1

0*x

1+0.25*x2+0.5*x3 >v1

x1+0.5*x2+0.17*x3 >v1

x1+x2+x3 =1

xi<=1

下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y*

Min v2

y2

0.25*y1+0.5*y2

0.5*y1+0.17* y2

y1+y2= 1

yi<=1

四、雷达计量保障人员分配

开展雷达装备计量保障工作中，合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键。所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上，并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益。

现某雷达团共部署12种型号共16部雷达，部署情况及计量保障任务分区情况如表所示：