计算机方法

江西财经大学

07－08学第二学期期末考试参考解答及评分标准

试卷代码：03285 授课课时：80

课程名称：计算方法 适用对象：2005级计算机本科 试卷命题人 华长生 试卷审核人

一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。每小题4分，共20分） 1．为了使22得近似值的相对误差不超过0.1%，应该至少取 4 位有效数字。 2．用Jacobi 迭代法求解线性方程组的迭代公式为b D x U L D x k k 1)(1)1()(--+++=。 3．用复合Cotes 求积公式求积分⎰b

a dx x f )(的近似值，要求绝对误差的绝对值不超过ε，

应该将积分区间],[b a 至少分成

667945)(241ε

M a b - 等份。

4．已知8462)(23-+--=x x x x f ，4,3,2,1,043210=====x x x x x ，则差商

],,,[3210x x x x f = -2 ，],,,,[43210x x x x x f = 0 。

5．设n i x i ,,2,1,0, =为1+n 个节点，n i x f y i i ,,2,1,0),( ==为相应的函数值，对应的n 次Lagrange 插值多项式∑==n

j j j n x l y x L 0)()(，)(x L n 的余项=

)(x R n )()!

1()

(1)1(x n f n n +++ωξ。

二、（将解答过程和答案写在答题纸的相应位置，本题共5分） 如果函数

⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤+=32)2()2()2(3

1

2022)(233

x c x b x a x x x x S 是一个三次样条函数，求常数c b a 、、的值。

解：)(x S 是三次样条插值，则

)2()2(10S S =，)2()2(10

S S '='，)2()2(10S S ''=''， (2分) 即在2=x 处c x =+223，b x =26，a x 212=，18,24,12===c b a (5分)

三、（将解答过程和答案写在答题纸的相应位置，本题共10分） 用部分选主元Doolittle 法的紧凑格式求解矩阵方程：B AX =，其中

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=533812141A ，⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11201116612B ，⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=32312221

1211x x x x x x X 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==11116201612533812141),(B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→61214111168121120533⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛→6121431

1116813

2

1120533 (4分)

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→1116813261214311120533⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

--→1116831

32

3

7316323311120533⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-

-

→

9409

40940313

2373163233111205

3

3

(8分)

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--→11940

3132123233113533，所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111213X (10分) 四、（将解答过程和答案写在答题纸的相应位置，本题共15分）

用最小二乘法求拟合函数

x

x S y ==)(使其与下列数据相拟合，并求其平方误差。

解：将拟合函数化为x a b y '+='，其中x y 1

,1='=

'，样本值化为 (3分) 拟合基函数为x x x '='=')(,1)(10ϕϕ，作内积

4

161

),(,849),(,225),(,144173),(,47),(,4),(10111000=''='='===f f f f ϕϕϕϕϕϕϕϕ (6分)

法方程组为

⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛84922514417347474a b (8分) 得：⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛506.1466.2a b ， (10分)

拟合函数为x x x S y 466.2506.1)(+==x

x

353336160+= (12分)

平方误差：20.0),(),(**22

=-''=b a f f δ

(15分)

五、（将解答过程和答案写在答题纸的相应位置，本题共15分） 设)1()0()1()()()(21

1cf bf af f I dx x f f I ++-==⎰-，，)()(2f I f I ≈

1．确定求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度；

2．使用该求积公式计算积分⎰-++1

123)32(dx x x x ，并与该积分的精确值比较，说明原因．

解：

1、求积公式中含有３个未知常数，因此将函数2,1,0,)(==i x x f i 分别代入公式，并令

)()(2j j x I x I =，得

2=++c b a 0=+-c a

3

2

=+c a （5分）

将上述结果组成方程组，解得3

1

,34,31===c b a （6分）

因此有求积公式，=)(f I ⎰-11)(dx x f ，)1(3

1

)0(34)1(31)(2f f f f I ++-= （8分）

再将3)(x x f =代入公式，得0)(,0)(323==x I x I ,即)()(323x I x I =，

再将4)(x x f =代入公式，得3

2

)(,52)(424==x I x I ，即)()(424x I x I ≠，

因此该求积公式的代数精度为３次 （10分） （２）⎰-++1

123)32(dx x x x

)]1(3)1()1(2[31)]0(3)0()0(2[34)]1(3)1()1(2[31232323++++++-+-+-≈=3

2

（12分） 3

2

)32(1123=++⎰-dx x x x ，误差0)(2=I R ，因为积分公式的代数精确度为3,

对所有不超过3次的多项式精确成立,而被积函数恰好为3次多项式。 （15分）

六、（将解答过程和答案写在答题纸的相应位置，本题共10分）

用梯形公式求下列解初值问题（每一步精确到小数后4位）。

⎩⎨

⎧=∈+='+0

)0(]

4.0,0[1y x y y x ，1.0=h