2019中考数学压轴题专项训练有答案解析.pdf

问题 背景 研究
求坐标或函数 解析式，求角 度或线段长
题型特征
已知点坐标、解析式或几何 图形的部分信息
速度已知，所求关系式和运
求面积、周长 动时间相关
的函 数关 系
模 型 套 路 式，并求最值 坐标系下，所求关系式和坐
调用
标相关
求线段和 （差） 有定点（线）、不变量或不
的最值
变关系
点的存在性
点的存在满足某种关系，如 满足面积比为 9:10
C 重合，直角顶点 D 在 BQ 上，另一
个顶点 E 在 PQ 上，求直线 BQ 的函数解析式；
（ 2）若含 30°角的直角三角板的一个顶点与点 C 重合，直角顶点 D 在直线 BQ 上（点 D 不与点 Q 重合），
另一个顶点 E 在 PQ 上，求点 P 的坐标．
y B
A D
OC
E P
Q
x
y AB
y AB
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一、图形运动产生的面积问题
一、 知识点睛
1. 研究 _基本 _图形
2. 分析运动状态：
①由 起点、终点 确定 t的范围； ②对 t分段，根据运动趋势画图，找 边与定点 ，通常是 状态转折点 相交时的特殊位置． 3. 分段 画图 ，选择适当方法表达面积．
二、精讲精练
1. 已知，等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在△ ABC的边 AB 上，沿 AB 方向以 1
OC
x
y AB
y AB
OC
x
OC
x
y AB
OC
x
OC
x
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3. 如图，矩形 OBCD的边 OD、 OB 分别在 x 轴正半轴和 y 轴负半轴上，且 OD＝ 10， OB＝ 8．将矩形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转，使点 C 恰好与 x 轴上的点 A 重合．
（ 1）若抛物线 y
请说明理由．
y
C
B
A
O
x
2. 如图，已知抛物线 y=ax2- 2ax- b（a>0）与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，且点 B 的坐标为
(- 1， 0) ，与 y 轴的负半轴交于点 C，顶点为 D．连接 AC、 CD，∠ ACD=90°．
y
（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，
变量 t 的取值范围．
y
y
y
y
DC
AB O
M Nx
DC
AB O
M Nx
DC
AB O
M Nx
DC
AB O
M N
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3.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质， 如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重 心的概念完成如下问题：
∴
①。
如答图 3 ，过点 O 作 OF ∥BC 交 AC 于点 F，过点 G 作 GE∥BC 交 AC 于点 E，则 OF ∥GE。
∵OF ∥BC，∴
。∴OF= CD= BC 。
∵GE∥BC，∴
。∴
。
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∴
，∴
。
∵OF ∥GE，∴
。∴
，即
。
∴
，代入①式得：
。
∴当 x= 时，
（ 1）若 O 是△ ABC 的重心（如图 1），连结 AO 并延长交 BC 于 D，证明： AO
2 ；
AD 3
（ 2）若 AD 是△ ABC 的一条中线（如图 2）， O 是 AD 上一点，且满足 AO 2 ，试判断 O 是△ ABC 的重 AD 3
心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（ 3）若 O 是△ ABC 的重心，过 O 的一条直线分别与 AB、 AC 相交于 G、H （均不与△ ABC 的顶点重合） （如图 3）， S 四边形 BCHG ．S△ AGH 分别表示四边形 BCHG 和△ AGH 的面积，试探究 S四边形 BCHG 的最大值。
A
D
x
B
C
B
C
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一、知识点睛 “二次函数与几何综合”思考流程：
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三、二次函数与几何综合
关键点坐标
转 线段长
几何特征
函数表达式
几何图形
整合信息时，下面两点可为我们提供便利：
①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注
k、b；
② )关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．
二、精讲精练 1. 如图，已知点 P 是二次函数 y=- x2+3x 图象在 y 轴右．侧．部分上的一个动点，将直线
y=- 2x 沿 y 轴向上平
移，分别交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点 . 若以 AB 为直角边的△ PAB 与△ OAB 相似，请求出所有符合条件
的点 P 的坐标．
y
y
y
yy
y
B A
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2019 中考压轴题专项训练
训练目标
1. 熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法； 2. 书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。
题型结构及解题方法
压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力 以及对数学模型和套路的调用整合能力。
考查要点 常考类型举例
二、精讲精练
1. 如图，抛物线 y=ax2- 5ax+4（ a＜ 0）经过△ ABC的三个顶点，已知
轴上，且 AC=BC．
BC∥ x 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y
（ 1）求抛物线的解析式．
（ 2）在抛物线的对称轴上是否存在点 M ，使 |MA - MB|最大？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，
类；根据几何特征或函数特征建等式。 ① 找定点，分析目标三角形边角关系； ② 根据判定、对应关系确定分类； ③ 根据几何特征建等式求解。
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答题规范动作
1. 试卷上探索思路、在演草纸上演草。 2. 合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。
作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。 3. 作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。
O
y
B
A
x
OO
y
y
x
x OO
y
xx
O
O
x
OO
x
x
O
x
y
y
O
x
O
x
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2. 抛物线 y
1
2
x 1 3 与 y 轴交于点 A，顶点为 B，对称轴 BC 与 x 轴交于点 C．点 P 在抛物线上，
4
直线 PQ// BC交 x 轴于点 Q，连接 BQ．
（ 1）若含 45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点
（ 1）求 M ，N 的坐标．
（ 2）已知矩形 ABCD 中， AB=1，BC=2 ，边 AB 在 x 轴上，矩形 ABCD 沿 x 轴自左向右以每秒 1 个单位
长度的速度移动．设矩形 ABCD 与△ OMN 重叠部分的面积为 S，移动的时间为 t（从点 B 与点 O 重合
时开始计时，到点 A 与点 N 重合时计时结束）．求 S 与自变量 t 之间的函数关系式，并写出相应的自
厘米 / 秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点 M 与点 A 重合，点 N 到达点 B 时运动终止），过点 M 、 N 分别作 AB 边的垂线，与△ ABC的其他边交于 P、 Q 两点，线段 MN 运动的时间为 t 秒． （ 1）线段 MN 在运动的过程中， t 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积．
有最大值，最大值为 。
（ 1）如答图 1 ，作出中位线 DE，证明△AOC ∽△DOE ，可以证明结论。
（ 2）如答图 2 ，作△ABC 的中线 CE，与 AD 交于点 Q，则点 Q 为△ABC 的重心．由（ 1）可知，
，
而已知
，故点 O 与点 Q 重合，即点 O 为△ABC 的重心。
（ 3）如答图 3 ，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出 二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值。
∴
。
∵AD=AO+OD ，
∴
。
（ 2）答：点 O 是△ABC 的重心。证明如下：
如答图 2 ，作△ABC 的中线 CE，与 AD 交于点 Q ，
则点 Q 为△ABC 的重心。
由（ 1 ）可知，
，
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而
，
∴点 Q 与点 O 重合（是同一个点）。
∴点 O 是△ABC 的重心。
（ 3）如答图 3 所示，连Байду номын сангаас DG ．
S AGH
A
A
A
O
B
C
D
（图 1）
O
B
C
D
（图 2）
G O
H
B
C
D
（图 3）
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解：（ 1 ）证明：如答图 1 所示，连接 CO 并延长，交 AB 于点 E，
∵点 O 是△ABC 的重心，∴ CE 是中线，点 E 是 AB 的中点。
∴DE 是中位线。∴ DE∥AC ，且 DE= AC 。 ∵DE ∥AC ，∴△AOC ∽△DOE 。
23 题作答更加注重结论，不同类型的作答要点： 几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程； 面积问题，要突出面积表达的方案和结论； 几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解； 存在性问题，要明确分类，突出总结。 4. 20 分钟内完成。 实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道， 需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶 段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。课 程名称： 中考数学难点突破之动点 1、图形运动产生的面积问题 2、存在性问题 3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题） 3、中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、 四边形的存在性、压轴题综合训练）
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设 S△GOD =S ，由（ 1 ）知
，即 OA=2OD ，
∴S△AOG =2S ， S△AGD =S △GOD +S △AGO =3S 。
为简便起见，不妨设 AG=1 ， BG=x ，则 S△BGD =3xS ．
∴S△ABD =S △AGD +S △BGD =3S+3xS= （ 3x+3 ）S。
∴S△ABC =2S △ABD = （ 6x+6 ） S。
设 OH=k ?OG ，由 S△AGO =2S ，得 S△AOH =2kS ，
∴S△AGH =S △AGO +S △AOH = （ 2k+2 ） S。
∴S 四边形 BCHG =S △ABC ﹣S△AGH = （ 6x+6 ）S﹣（ 2k+2 ） S= （ 6x ﹣2k+4 ） S。
且以 B、A、 F、 E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点
F 的坐标．
BO
Ax
C D
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3. 如图，在平面直角坐标系中，直线
y
3x
3
与抛物线
y
42
1 x2 bx c 交于 A、B 两点，点 A 在 x 4
1 x2 bx c 经过 A、 B 两点，求该抛物线的解析式： ______________； 3
（ 2）若点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点，作 MN ⊥ x 轴于点 N．是否存在点 M ，使△ AMN 与△ ACD 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．
y y
A
D
O
x
O
的表达式，这是一个
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二、二次函数中的存在性问题
一、知识点睛
解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤： ①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形． ②分类讨论 . 先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．
③验证取舍 . 结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．
套路 整合 及分 类讨 论
图形的存在性
特殊三角形、特殊四边形的 存在性
三角形相似、全等的存在性
解题方法
研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图 形。
① 分段： 动点转折分段、 图形碰撞分段； ② 利用动点路程表达线段长； ③ 设计方案表达关系式。 ① 利用坐标及横平竖直线段长； ② 分类：根据线段表达不同分类； ③ 设计方案表达面积或周长。 利用几何模型、几何定理求解，如两点之 间线段最短、垂线段最短、三角形三边关 系等。 ① 抓定量，找特征； ② 确定分类； . ③ 根据几何特征或函数特征建等式。 ① 分析动点、定点或不变关系 （如平行） ； ② 根据特殊图形的判定、性质，确定分
（ 2）线段 MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S，运动的时间为 t．求四边形 MNQP 的面积
S 随运动时间 t 变化的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围．
C
C
Q
P
A
MN
BA
B
1 题图
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2. 如图，在平面直角坐标系 相交于点 N．
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xOy 中，已知直线 l1： y= 1 x 与直线 l2： y=- x+6 相交于点 M ，直线 l2 与 x 轴 2