柱体、椎体、台体的表面积与体积(优秀课件)

2.柱体、椎体、台体的体积
我们已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体 以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh（S为底面面积，h为高）
一般柱体体积也是： V Sh 一般柱体 其中S为底面面积，h为棱柱的高。
思考3:关于体积有如下几个原理： （1）相同的几何体的体积相等； （2）一个几何体的体积等于它的各部分 体积之和；
例二 一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径 为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长 15cm。那么花盆的表面积约是多少平方厘米（π 取3.14，结果精确到1 cm2 ）？ 解：由圆台的表面积公式得 20 cm 花盆的表面积：
2 15 2 15 20 1.5 S π 15 15 π 2 2 2 2
S 4 R 16 且V R 32 3
2 4 3 3
课堂练习
练习一
8 . 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3 cm3. 这个球的体积为＿＿＿
课堂练习
1. 圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个 正方形，那么这个圆柱的侧面积是_______ 4πS 。
所以螺帽的个数为 答：这堆螺帽大约有252个．
（个）
讲授新课
1、球的概念
与定点的距离小于或等于定长的点的集合， 叫做球体，简称球 定点叫做球的球心
半径 O
定长叫做球的半径
与定点的距离等于定长 的点的集合，叫做球面
直径
球心
2、 球的表面积
o
定理：半径为R的球的表面积是 S 4R 2 思考：经过球心的截面圆面积是什么？它与球的 表面积有什么关系？
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
2
圆锥的表面积
2r
l
r O
圆锥的侧面展开图是扇形
圆锥的表面积
2r
l
r O
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r (r l )
2
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想 象圆台的侧面展开图是什么?
上底扩大
上底缩小
S S V 1 (S SS S)h S 0 V Sh 3
1 V Sh 3
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
1 V ( S S S S )h 3
S′=S
S′=0
1 V Sh 3
V Sh
a A1
3
D1
C1 B1
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上。
(变式) 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、 2、 ,求此球体的表面积和体积。 3
分析：长方体内接于球，则由 球和长方体都是中心对称图形 可知，它们中心重合，则长方 体体对角线与球的直径相等。
Q 长方体内接于球 解： 球的直径等于长方体的体对角线长 ( 2 R )2 32 22 ( 3 )2 16 R 2
棱锥的体积公式： 1 V Sh （其中S为底面面积，h为高） 3 1 棱锥体积等于同底等高的棱柱的体积的 3
思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜 想锥体的体积公式是什么？
高h
1 V Sh 3
1 它是同底同高的柱体的体积的 3
底面积S
1 。 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是 底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是 1 等于底面面积乘高的 。
例三
3 7.8g/cm 有一堆规格相同的铁制（铁的密是 ）六
角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为 12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺 帽大约有多少个（π取3.14）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱 体积之差，即:
3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2 3 3 2956(mm ) 2.956(cm )
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
3、 球的体积
4 3 定理：半径为R的球的体积是 V R 3
例2、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
证明: (1)设球的半径为R, 则圆柱的底面半径为R,高为2R.
R O
r
O
2 r
S侧 2 rl 4 r
2 2
l
Oபைடு நூலகம்
l
S r
2
2. 已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展 开图是一个半圆，则这圆锥的底面直径为
2 3a ( m ) 3 ______________ 。
l 2 r
l 2r
2
a r (r l ) 3 r
r a 3
3. 若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的 侧面积是两底面积和的2倍，则圆台的母线长为 5 ___________.
r'
r
O
S侧 r l rl 4 l
'
l
O
S底 r r 10
2 2
4 l 20 l 5
课堂练习
练习二
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___ 2 倍.
4 倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___
1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
3 1 : 4. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______
例3.钢球直径是5cm,求它的体积和表面积.
C
下底面 积S
柱体、锥体与台体的体积
V柱体 Sh(S是底面积 , h是高)
V锥体 1 Sh ( S是底面积 , h是高 ) 3
1 V台体 ( S ' S ' S S )h 3 ( S ' , S分别是上下底面面积 , h是台体高)
思考:你能发现三者之间的关系吗？
圆柱、圆锥、圆台三者的体积公式之间有什 么关系？
棱柱的展开图
正六棱柱的侧面展开图是什么？ 如何计算它的表面积？ a h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图是三角形。
同理，棱台的展开图呢？
棱台的展开图是梯形。
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。
例一 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四 面体S-ABC，求它的表面积 。 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。 S 解：先求ΔSBC的面积，过S作 SD⊥BC，交BC于点D。 A 因为BC=a， SD SB sin60
15 cm
15 cm
999(cm2 )
2 答：花盆的表面积约是999 cm ．
探究
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有 什么关系？
r O
l
r'
r'＝r
上底扩大
O
l
r
O
r'＝0
上底缩小
l
r
O O S锥 πr(r l) 2 2 S 2πr(r l) S台 π(r r rl rl)
2 S 4 R 球 得: S圆柱侧 2R 2 R 4R 2
S 球 S圆柱侧
2 2 2 QS 4 R 2 R 6 R 圆柱全
(2)
S 球 4R 2
S球
2 S圆柱全 3
理论迁移
如图，圆柱的底面直径与高都等于 球的直径，求证： 2 （1）球的体积等于圆柱体积的 3 ； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
3 a 2 1 1 3 3 2 B D C SΔABC BC SD a a a 所以： 2 2 2 4 3 因此，四面体S-ABC 的表面积： S 4 a 2 3a 2 4
圆柱的表面积
r O
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
圆柱的表面积
r O
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
4 3 4 5 3 125 3 解 : V R ( ) (cm ) 3 3 2 6 5 2 2 2 S 4R 4 ( ) 25 (cm ) 2 125 3 2 答 : 钢球的体积为 cm , 面积为 25cm . 6
(变式2)把直径为5cm钢球放入一个正方体的 有盖纸盒中,至少要用多少纸?
分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体
解：当球内切于正方体时用料最省时 此时棱长＝直径＝5cm
S全 6 5 150cm
2
2
答：至少要用纸150cm2
两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体 的各面相切.
例4.如图，正方体的棱长为a,它的各个顶点都 在球的球面上，求球的表面积和体积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体体对角线与球的直径相等。
Q 正方体内接于球 解： 球的直径等于正方体的体对角线长A ( 2 R )2 3a2 R
2 2
3 2
D B O
C
a
4 3
S 4 R 3 a 且V R
3
3 2
导入新课
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
正方体和长方体是由平面图形围成的多面 体，它们表面积就是各个面的面积的和，也就 是展开图的面积。
5 3
4
表面积为：4×3×4+4×5×2=88 求多面体表面积的方法：展成平面图形，求面积。
1.3.1 柱体、锥体、台体的 表面积与体积
3
V Sh
1 V Sh 3
探究
如何求台体的体积？
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此 用两个锥体的体积差。得到圆台(棱台)的体积公式:
p
上底面 积S′ 高h
V VPABCD VPABCD
1 (S SS S)h 3
D A B
其中S，S‘分别为上、下底面 面积，h为圆台（棱台）的高。
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想 象圆台的侧面展开图是什么?
2r '
r ' O'
2r
l
r O
圆台的侧面展开图是扇环
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想 象圆台的侧面展开图是什么?
2r '
r ' O'
2r
l
r O
圆台的侧面展开图是扇环
2 2 S圆台表面积 (r r r l rl )
（3）等底面积等高的两个同类几何体的 体积相等；
（4）体积相等的两个几何体叫做等积体
将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有 什么关系？它们与三棱柱的体积有什么 关系？
3 2
3
2 1
1
圆锥的体积公式： 1 V Sh （其中S为底面面积，h为高） 3 1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 3