【精品课件】工程制图第二章平面
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第二章 平面
2.1 平面的投影
2.1.1 平面的投影图 2.1.2 各类平面的投影特性
2.1.1 平面的投影图 用几何元素表示平面
(a)三点表示平面
(b)一点一直线
(c)两相交直线
不垂直与轴
(d)两平行直线
(e)平面图形
1、已知空间一直线的投影，包含该直线作一个平面的投 影。 2、已知空间一点和直线的一个投影，包含该点和直线作 一个平面的投影。
3.采用直角△方法
求作平面(即AE )的β
Y
平面上对W投影面的最大斜度线
γ
γ-
平面上对W投影面的最大斜度线 平面对W投影面的倾角
例：求ABC平面上对W面最大斜度线以及ABC平面对W面的倾角。
解题步骤：
1.作属于侧平线AD 2.作平面对W 面的最大斜度线BF
3.采用直角△方法
求作平面(即BF )的γ
1
平面P上对投影面的最大斜度线与投影面倾角α最大
平面上对H投影面的最大斜度线
a
平面对投影面的倾角等于 平面对该投影面最大斜度线 与投影面的倾角。
用平面对某投 影面的最大斜度 线与投影面的倾 角度量平面对该 投影面的倾角
平面上对H投影面的最大斜度线 α 平面对H投影面的倾角
例：求ABC平面上对H面最大斜度线以及ABC平面对H面的倾角。
2.3.1.2 两平面平行 若一平面上的两相交两直线对应地平行于另一平面上的相交两直线，则
此两平面平行。
例3 试判断两已知平面ABC 和DEF 是否平行
答案：平行
例4 已知由平行两直线AB 和CD 给定的平面。试过定点K作一平面平行于已
知平面。
返回
两相交直线GH 、EF 即为所求
2.3.2.1 重影法(直线与特殊位置平面相交及投影面垂线与一般位置平面相交) 由于特殊位置平面的某些投影具有积聚性，交点的投影可直接得出。当
解题步骤：
1.作属于平面的水平线CD 2.作平面对H 面的最大斜度线AE
3.采用直角△方法
求作平面(即AE )的α
Z α
平面上对V投影面的最大斜度线
β
平面上对V投影面的最大斜度线 β- 平面对V投影面的倾角
例：求ABC平面上对V面最大斜度线以及ABC平面对V面的倾角。
解题步骤：
1.作属于平面的正平线BF 2.作平面对V 面的最大斜度线AG
平面的迹线表示法（了解）
返回
2.1.2 各类平面的投影特性 按照空间平面相对于投影面的位置，可将平面分为：
一般位置平面
投影面倾斜面
Hale Waihona Puke Baidu
铅垂面
特殊位置平面
投影面垂直面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 水平面 正平面
侧平面
一般位置平面
动画
投影特性:(1)三个投影均为的类似形；
(2) 投影图不反映、、 的真实角度；
(2) 水平投影和正面投影为类似形；
(3) 侧面投影与OY、 OZ 的夹角反映α、β角的真实大小；
投影面平行面投影特点：投影在两个平面内积聚为一直线，且该 直线与投影轴平行，在另一个平面的投影反映实形，
平行于投影面
水平面
动画
投影特性：(1) 水平投影反映平面实形；
(2) 正面投影、侧面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的OX、 OY1 投影轴；
2.2.1 平面上取直线和点 2.2.2 平面上的特殊直线
2.2.1.1 平面上取直线
经过属于该平 面的已知两点
经过属于该平面 的一已知点且平行 于属于该平面的一 已知直线
2.2.1.2 平面上取点 如点在平面内的任一直线上，则此点一定在该 平面上
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
例1：已知ABC给定一平面,试判断点S是否属于该平面。
正平面
动画
y
y
投影特性：(1)正面投影反映实形； (2)水平投影 、侧面投影积聚为一条直线，分别平行于相
应的OX、OZ 投影轴；
正平面的迹线表示
侧平面
动画
返回
投影特性：(1) 侧面投影反映平面实形；
(2) 水平投影、正面投影积聚为一条直线，且分别平行于
相应的OY、OZ 投影轴；
2.2 平面上的点和直线
点 属于平面则必属于平面
内的一条直线
不属于
例2：已知ABC上的点S的正面投影s’；求其水平投影s。
例3：完成六边形的水平投影。
返回
2.2.2.1 平面上的投影面平行线
正平线 水平线 侧平线
例：已知ABC平面，试过点A作属于该平面的水平线,过点C作属于该平面的
正平线。
水平线 正平线
2.2.2.2 平面上的最大斜度线
迹线表示铅垂面（了解） 迹线表示铅垂面
简化表示:仅画出积聚的投影 国标规定两端用粗短划线和细实线表示
正垂面
动画
投影特性 ：(1) 正面投影积聚为一条线； (2) 水平投影和侧面投影为类似形；
(3) 正面投影与OX、OZ 的夹角反映α、 角的真实大小；
侧垂面 投影特性 ：(1) 侧面投影积聚为一条线；
投影面垂直面投影特点：投影在某一平面内积聚为一直线，且该 直线与投影轴的夹角反映了空间平面与投影面的夹角，在另两个平 面的投影为类似形，
铅垂面
动画
投影特性 ：(1) 水平投影积聚为一条直线； (2) 正面投影和侧面投影为原形的类似形；
(3) 水平投影与OX、 OY 的夹角反映β、 角的真实大小；
（两投影面垂直面相交，其交 线一定是投影面垂直线）。
求作两平面的交线MN。 解:1.取属于ΔABC的直线AC、BC分别与平面P求交点,即可求得
交线。
（投影面垂直面与一般位置 平面相交）
2.3.2.2 辅助平面法
针对一般位置直线和一般位置平面与一般位置平面 相交的情况，通常采用辅助平面法，其作步骤如下： 1、含直线作辅助平面（通常是投影面垂直面）； 2、求辅助平面与已知平面的交线； 3、求交线与已知直线的交点； 4、然后判断可见性。
γ
返回
2.3 直线、平面与平面的相对位置
2.3.1 平行 2.3.2 相交 2.3.3 垂直
2.3.1.1 直线与平面平行 若平面外一直线平行于平面上的一条直线，则直线与该平面平行。
例1 试判断已知直线AB 是否平行于平面CDE
答案：不平行
例2 过已知点K 作一水平线平行于已知平面ABC EF 即为所求
平面采用多边形表示时，需要判别直线的可见性。
求 交 点 的 空 间 分 析
作图步骤
（投影面垂直面与一般位置直线相交）
迹线表示平面
几何元素表示平面
判别可见性
例6 特殊位置直线与一般位置平面相交，求交点K（投影面垂线与一
般位置平面相交）
求作两平面的交线MN。 解:1.取属于 ABC的直线AC、BC分别与平面P求交点,即可求得 交线。
2.1 平面的投影
2.1.1 平面的投影图 2.1.2 各类平面的投影特性
2.1.1 平面的投影图 用几何元素表示平面
(a)三点表示平面
(b)一点一直线
(c)两相交直线
不垂直与轴
(d)两平行直线
(e)平面图形
1、已知空间一直线的投影，包含该直线作一个平面的投 影。 2、已知空间一点和直线的一个投影，包含该点和直线作 一个平面的投影。
3.采用直角△方法
求作平面(即AE )的β
Y
平面上对W投影面的最大斜度线
γ
γ-
平面上对W投影面的最大斜度线 平面对W投影面的倾角
例：求ABC平面上对W面最大斜度线以及ABC平面对W面的倾角。
解题步骤：
1.作属于侧平线AD 2.作平面对W 面的最大斜度线BF
3.采用直角△方法
求作平面(即BF )的γ
1
平面P上对投影面的最大斜度线与投影面倾角α最大
平面上对H投影面的最大斜度线
a
平面对投影面的倾角等于 平面对该投影面最大斜度线 与投影面的倾角。
用平面对某投 影面的最大斜度 线与投影面的倾 角度量平面对该 投影面的倾角
平面上对H投影面的最大斜度线 α 平面对H投影面的倾角
例：求ABC平面上对H面最大斜度线以及ABC平面对H面的倾角。
2.3.1.2 两平面平行 若一平面上的两相交两直线对应地平行于另一平面上的相交两直线，则
此两平面平行。
例3 试判断两已知平面ABC 和DEF 是否平行
答案：平行
例4 已知由平行两直线AB 和CD 给定的平面。试过定点K作一平面平行于已
知平面。
返回
两相交直线GH 、EF 即为所求
2.3.2.1 重影法(直线与特殊位置平面相交及投影面垂线与一般位置平面相交) 由于特殊位置平面的某些投影具有积聚性，交点的投影可直接得出。当
解题步骤：
1.作属于平面的水平线CD 2.作平面对H 面的最大斜度线AE
3.采用直角△方法
求作平面(即AE )的α
Z α
平面上对V投影面的最大斜度线
β
平面上对V投影面的最大斜度线 β- 平面对V投影面的倾角
例：求ABC平面上对V面最大斜度线以及ABC平面对V面的倾角。
解题步骤：
1.作属于平面的正平线BF 2.作平面对V 面的最大斜度线AG
平面的迹线表示法（了解）
返回
2.1.2 各类平面的投影特性 按照空间平面相对于投影面的位置，可将平面分为：
一般位置平面
投影面倾斜面
Hale Waihona Puke Baidu
铅垂面
特殊位置平面
投影面垂直面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 水平面 正平面
侧平面
一般位置平面
动画
投影特性:(1)三个投影均为的类似形；
(2) 投影图不反映、、 的真实角度；
(2) 水平投影和正面投影为类似形；
(3) 侧面投影与OY、 OZ 的夹角反映α、β角的真实大小；
投影面平行面投影特点：投影在两个平面内积聚为一直线，且该 直线与投影轴平行，在另一个平面的投影反映实形，
平行于投影面
水平面
动画
投影特性：(1) 水平投影反映平面实形；
(2) 正面投影、侧面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的OX、 OY1 投影轴；
2.2.1 平面上取直线和点 2.2.2 平面上的特殊直线
2.2.1.1 平面上取直线
经过属于该平 面的已知两点
经过属于该平面 的一已知点且平行 于属于该平面的一 已知直线
2.2.1.2 平面上取点 如点在平面内的任一直线上，则此点一定在该 平面上
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
例1：已知ABC给定一平面,试判断点S是否属于该平面。
正平面
动画
y
y
投影特性：(1)正面投影反映实形； (2)水平投影 、侧面投影积聚为一条直线，分别平行于相
应的OX、OZ 投影轴；
正平面的迹线表示
侧平面
动画
返回
投影特性：(1) 侧面投影反映平面实形；
(2) 水平投影、正面投影积聚为一条直线，且分别平行于
相应的OY、OZ 投影轴；
2.2 平面上的点和直线
点 属于平面则必属于平面
内的一条直线
不属于
例2：已知ABC上的点S的正面投影s’；求其水平投影s。
例3：完成六边形的水平投影。
返回
2.2.2.1 平面上的投影面平行线
正平线 水平线 侧平线
例：已知ABC平面，试过点A作属于该平面的水平线,过点C作属于该平面的
正平线。
水平线 正平线
2.2.2.2 平面上的最大斜度线
迹线表示铅垂面（了解） 迹线表示铅垂面
简化表示:仅画出积聚的投影 国标规定两端用粗短划线和细实线表示
正垂面
动画
投影特性 ：(1) 正面投影积聚为一条线； (2) 水平投影和侧面投影为类似形；
(3) 正面投影与OX、OZ 的夹角反映α、 角的真实大小；
侧垂面 投影特性 ：(1) 侧面投影积聚为一条线；
投影面垂直面投影特点：投影在某一平面内积聚为一直线，且该 直线与投影轴的夹角反映了空间平面与投影面的夹角，在另两个平 面的投影为类似形，
铅垂面
动画
投影特性 ：(1) 水平投影积聚为一条直线； (2) 正面投影和侧面投影为原形的类似形；
(3) 水平投影与OX、 OY 的夹角反映β、 角的真实大小；
（两投影面垂直面相交，其交 线一定是投影面垂直线）。
求作两平面的交线MN。 解:1.取属于ΔABC的直线AC、BC分别与平面P求交点,即可求得
交线。
（投影面垂直面与一般位置 平面相交）
2.3.2.2 辅助平面法
针对一般位置直线和一般位置平面与一般位置平面 相交的情况，通常采用辅助平面法，其作步骤如下： 1、含直线作辅助平面（通常是投影面垂直面）； 2、求辅助平面与已知平面的交线； 3、求交线与已知直线的交点； 4、然后判断可见性。
γ
返回
2.3 直线、平面与平面的相对位置
2.3.1 平行 2.3.2 相交 2.3.3 垂直
2.3.1.1 直线与平面平行 若平面外一直线平行于平面上的一条直线，则直线与该平面平行。
例1 试判断已知直线AB 是否平行于平面CDE
答案：不平行
例2 过已知点K 作一水平线平行于已知平面ABC EF 即为所求
平面采用多边形表示时，需要判别直线的可见性。
求 交 点 的 空 间 分 析
作图步骤
（投影面垂直面与一般位置直线相交）
迹线表示平面
几何元素表示平面
判别可见性
例6 特殊位置直线与一般位置平面相交，求交点K（投影面垂线与一
般位置平面相交）
求作两平面的交线MN。 解:1.取属于 ABC的直线AC、BC分别与平面P求交点,即可求得 交线。