浅谈初中数学几何证明题解题方法

浅谈初中数学几何证明题解题方法

内容摘要：几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标组成。做几何证明题的一般步骤：审题，寻找证明的思路，书写证明过程

关键词：几何证明 条件 结论 .执因索果 执果索因 辅助线

初中学生正处于自觉形象思维向逻辑思维的过度阶段，几何证明，是学生逻辑思维的起步。这种思维方式学生刚接触，会遇到一些困难。许多学生在几何证明这里“跌倒了”，丧失了信心，以至于几何越学越糟。为此，我根据自己几年的数学教学实践，就初中数学中几何证明题的一般结构，解题思路进行初步探讨。

学好几何证明，起步要稳，要求学生在学习几何时要扎扎实实，一步一个脚印，在掌握好几何基础知识的同时，还要培养学生的逻辑思维能力。 一、几何证明题的一般结构

初中几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标两部分（即前提和结论）组成。已知条件是几何证明的前提，指题目中用文字和符号直接给出的明确条件，也包括所给图形中暗含的条件。求证指题目要求的经过推理最终得出的结论。已知条件是题目既定成立的、毋庸置疑而且必然正确的。求证是几何证明题的最终目标，就是根据题目给出的已知条件，利用数学中的公理、定理、性质，用合理的推理形式推导出的最后结果，而且只能出现在证明过程的最后。

例如：如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． 求证：△ABC ≌△DCB ；

已知条件：文字给出的有：△ABC 和△DCB ，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M 图形给出的有：BC=CB,∠BMA 与∠CMD 是对顶角等等 求证目标是：△ABC ≌△DCB

注意，已知条件除了上面列出的，就没有其它的了，不可随意出现AM=DM ,BN=CN 等等

二、做几何证明题的一般步骤 （一）、审题

审题就是读题，这一步是解决几何证明题的关键，非常重要。许多学生读几何证明题时讲快，常常忽略了题目中蕴含的重要信息。和读其它类型的题有所不同，读几何证明题要求

B C

A D

M

图文对照，做到心中有几何基础知识，一边读题一边对照几何图形，要求每读一句题对照图形一次，读懂而且要读完整。审题的过程中，明确已知条件有哪些，才能在后面的证明中有材料可用；找到求证的目标是什么，才能在后面的证明中有的放矢。 （二）、寻找证明的思路

几何证明就是根据题目中的已知条件、利用数学公理、定理、法则、公式、图形性质等说明结论正确性的过程。许多学生，遇到几何证明题时，无从下手，茫然不知所措，根本原因就是证明思路不明确。寻找证明的思路，有以下几种方法可供参考： 1.执因索果法

执因索果，是指由已知条件出发，经过逐步推导得出求证目标成立的方法，即由可知逐步推向未知,最后得出求证的目标。

例如：AD 是∠BAC 的平分线，DE 垂直AB 于点E ，DF 垂直AC 于点F ，且BD ＝DC 。 求证：BE ＝CF

思路：由已知中的“ AD 是∠BAC 的平分线，DE 垂直AB 于点E ，DF 垂直AC 于点F ”，根据

“角平分线上的点到角两边的距离相等”和“垂直的定义”可以得出：DE=DF,∠E=∠DFC ＝90°.又加上已知中的“BD ＝DC ”可证明“△BDE ≌△DCF ”(HL),又根据“全等三角形的对应边相等”即可推出求证目标：BE ＝CF 成立。

2.执果索因法

执果索因，也叫“逆推法”，就是由未知到已知的方法，指由题目中要求证明的结论开始，逆向寻找使结论成立的各种可能条件，层层假设层层寻找，最后找到已知条件。 例如：如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连结AE 、BD 且AE=AB ． 求证：∠ABE=∠EAD ；

思路：要证明∠ABE=∠EAD ，只需∠EAD=∠AEB ；要∠EAD=∠AEB ，只需AD BC ∥；要AD BC ∥只需四边形ABCD 是平行四边形（已知条件）；要∠ABE=∠AEB ，只需AE=AB （已知条件）。 3.因果互推法。

因果互推，俗称“两头凑”，即执因索果法和执果索因法的综合运用。即由已知条件出发，联系基础知识和基本经验，推出可能得出的所有结果；又从证明的结论出发，逆推使结论成立的条件，在前面的“结果”和逆推条件中找到共同点，从而找到证明思路。

例如：如图，在ABC △中，AC=BC ，D 是AB 的中点，点P 是线段CD 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E ，连接BP 交AC 于点F ． 求证：CAE CBF =∠∠。

思路： 执果索因：要使求证目标CAE CBF =∠∠，只需△CAP ≌△CBP ;

执因索果：由已知“AC=BC ，D 是AB 的中点”可知：CD 平分∠ABC(三线合一)，即∠ACD=∠BCA.由图可知：CP=CP(公共边),则△CAP ≌△CBP （SAS ）.由△CAP ≌△CBP 建立了已知和未

知的联系，从而本题得证。 4.添加辅助线法

有的几何证明题，就题目所给已知条件及图形所给条件无法建立已知和求证的联系时，此时，可以尝试添加辅助线，帮助解题。常用辅助线有：连接两点，延长线段，取中点并连接，作平行线、垂线，作对称点并连接，作圆等。

例如：如图，已知AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，且E 是BC 的中点，求证：AD=AB+CD

证法一：延长AE 交DC 延长线于点F ∵AB ∥CD （已知） ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF （两直线平行，内错角相等） ∵E 是BC 的中点 （已知） ∴BE=CE （中点定义） 在△ABE 和△CEF 中

BAE= F B= ECF BE=CE ∠∠⎧⎪

∠∠⎨⎪⎩

（已证）

∴△ABE ≌△CEF （AAS ）

D

∴AB=CF (全等三角形性质) ∵AE 平分∠ABD （已知）

∴∠BAE=∠DAE （角平分线性质） ∵∠BAE=∠F （已证） ∴∠DAE=∠F （等量代换） ∴AD=DF （等边对等角） ∵DF=DC+CF （已知） CF=AB （已证）

∴AD=AB+DC （等量代换）

证法二：取AD 中点F ，连接EF ∵AB ∥CD ，点E 是BC 的中点（已知） ∴EF 是梯形ABCD 的中位线

∴EF ∥AB , EF=1

2

（AB+CD ）（梯形的中位线性质）

∴∠BAE=∠AEF （两直线平行，内错角相等） ∵AE 平分∠BAD （已知）

∴∠BAE=∠FAE （角平分线性质） ∴∠AEF=∠FAE （等量代换） ∴AF=EF （等边对等角） ∵AF=DF （已作）

∴EF=AF=FD=1

2

AD （中点定义） ∴12 (AB+CD)= 1

2

AD （等量代换）

∴AD=AB+CD

A B

C

E

F

D

A B

C

E

F