抛物型方程有限差分法

抛物型方程有限差分法

1. 简单差分法

考虑一维模型热传导方程

(1.1) )(22x f x

u

a t u +∂∂=∂∂，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类：

第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：

（1.2） ()()x x u ϕ=0,, ∞<<∞-x

第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件：

()13.1 ()()x x u ϕ=0,,

l x l <<-

及边值条件

()23.1 ()()0,,0==t l u t u ，

T t ≤≤0

假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h =

为空间步长，M

T

=τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =； τk y y k ==, ()M k ,,1,0 =

将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表示网格节点；

h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；

h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。

k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。

注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)k

j k j

u u x t t t ∂∂⎛⎫

≡ ⎪∂∂⎝⎭）

： 可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式

()24.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=k

N u =0

其中1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。取2h

a r τ

=

为网比，则进一步有 ()14.1' 1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +k j ru 1-+j f τ

此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到

1j u =01+j ru +()r 21-0j u +0

1-j ru +j f τ

于是，利用初值()

j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=k N u =0，可算出第一层的1

j u ，

1,,1,0-=N j 。再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和k u 0=k

N u =0算出2j u ，

1,,1,0-=N j 。如此下去，即可逐层算出所有k j u （1,,1,0-=N j ，

1,,1,0-=M k ）

。 由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。并

视k j u 为()k j t x u ,的近似值。

若记

()

T

k

N k k k u u u 1

21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=ϕϕϕϕ ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式()14.1'

可写成向量形式 其中 若记

那末截断误差

（1.5） ()=u R k

j

()

()[]k j

k j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛--)~,~(2112122=()2

h O +τ。 其中(,)j k x t 是矩形11+-<

事实上，()=u R k

j k j x u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂222τ+()2τO k

j

x u h a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-442ˆ12 =k j x u ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂222τ+()2τO ()22222ˆ112τO t u a h a k

j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅⋅⋅- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-211212ττa h ()2

22~τO t u k

j +⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21121r τ()

222~τO t u k

j

+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=()2h O +τ。 这里

故22t u ∂∂44

244x u a x u a a ∂∂=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂⋅=，从而=∂∂44x u 221t u a ∂∂⋅ （二） 向后差分格式

()26.1 ()j j j x u ϕϕ==0， k u 0=k

N u =0

其中 1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。取2

h a r τ

=

为网比，则进一步有 ()16.1'

r -k j u 1++()r 21+1+k j u r -11+-k j u =k

j u +j f τ

按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()

j j j x u ϕϕ==0和边值k u 0=k

N u =0，来确定

出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j ，即求解方程组：

r -11+j u +()r 21+1j u r -11-j u =0j u +j f τ

1,,1,0-=N j ，k u 0=k

N u =0。求出1j u ，在由()14.1'取1=k ，可利用1j u ，解出2j u ，

1,,1,0-=N j 。如此下去，即可逐层算出所有k j u ，1,,1,0-=M k 。

如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格式。并视k j u 为

()k j t x u ,的近似值。

直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。但是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。

1.2.3 Grank-Nicholson 法

将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差分格式称之为六点对