拉普拉斯变换及其应用
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uc U s RC
两边同时积分：
ln(
uc
Us)
t RC
c1
e e 两边再同时取指数： ln(uc Us )
( t RC)c1
整理得：uc Us e( t RC) ec1 并令：c2 ec1
则有： uc Us e( t RC) c2
将初始条件：t=0时，Ｕc(0-)=0代入上式，可得： c2 U s
(
RCs
1)U
c
(s)
U
s
1 s
单位阶跃函数的Laplace变换
整理，可得：
Uc (s)
Us
1 s(1 RCs)
Us(
A s
B) 1 RCs
U
s
[
A(1 RC ) s(1 RCs)
s(1
Bs RCs
)
]
U
s
A ( ARC B)s s(1 RCs)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
例 求 2的s 原1 函数。 s(s 1)
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 A B s(s 1) s s 1
其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：
A B A(s 1) Bs (A B)s A
s s 1 s(s 1)
s(s 1)
比较以上两式的分子，可得： A
2. K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。
即: L[Kf (t)] KL( f (t) KF(s)
3. 在零初始条件下，即：f (0) f ' (0) f n1(0) 0
则：L[ f n (t)] snF(s)
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的 n
阶导数的拉氏式等于其象函数乘以 s。n
- 在t=0时，开关S闭合，电路
接入直流电源Us。则根据
KVL定理，有：
uR uc Us
把 uR i R 和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
现在，我们就来解这个微分方程
RC
duc dt
uc
Us
0
uc
Us
RC
duc dt
分离变量，有： duc dt
拉普拉斯变换及其应用
拉氏变换的概念 拉氏变换的运算定理 拉氏反变换 应用拉氏变换求解微分方程
拉氏变换的概念
Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一 种数学工具。与线性常微分方程的经典求解 方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特 点： 只需一步运算就可以得到微分方程的通解
和特解。 微分方程通过Laplace变换转化成含有s的
c
j
F
(
s)est
ds
2 j c j
拉氏变换和反变换是一一对应的，所以通常 可以通过查表来求取原函数。
例 求 f (t) 2的象e函at 数。
解：由比例定理可知：L[2] L[2 1(t)] 2 s
通过查表可知：L[eat ] 1 s a
再根据叠加定理，可求得 f (的t) 象函数为：
F(t) L[2 eat ] 2 1 3s 2a s s a s(s a)
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统
的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的
应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。
拉氏反变换
由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变 换(Inverse Laplace Transform)。拉氏反
变换常用下式表示：
f (t) L1[F(s)] 1
4. 在零初始条件下，即：
f (t)dt t0 f (t)dt2 t0 f (t)dtn1 t0 0
上式表明则，：在L[零初始f (条t)d件tn下] ，F原s(ns函) 数的 n重积分的拉
氏式等于其象函数除以 s n
5.
当原函数 f (t延) 迟 时 间，成为 f (t 时，) 它的
拉氏式为：
L[ f (t )] es F(s)
上式表明，当原函数 f (t)延迟 ，即成 f (t 时，) 相
应的象函数 F应(t乘) 以因子 。es
6.终值定理
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
上式表明原函数在 f (t)时的数值(稳态值)，可以通过将
象函数 F乘(t以) 后s，再求 s的极0限值来求得。条件 是当 t 和 时s ，等0式两边各有极限存在。
拉氏变换是一种单值变换。 和 之间
具有一一对应的关系。通常f称(t) 为F(s原)
函数， 为象函数。
f (t)
F(s)
【例】 求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信 号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义 式。
A 1 B RC
将所求系数带入上述方程，有：
Uc
(s)
Us
(1 s
1
RC RCs
)
Us
(1 s
(1
1 RC
) s)
再对上式进行Laplace反变换，得：
uc Us (1 e t RC )
所以最后求得该微分方程的解为：
uc Us (1 e t RC )
现在对于上面的微分方程，我们有Laplace变换再求 解一次。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程 变换成如下形式：RC来自duc dtuc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
由题可知：开关闭合瞬间的输入信号可视为阶跃信号， 且当t=0时，Uc(0+)=0，所以上式有：
式中的 s 被称为是Laplace算子，它是一个复数变量，
即有 s 。 j
j
这个平面就被 我们称为是S 域或复数域
＋１
t 由于0 f (t)e是std一t 个定积分， 将在新函数 中消失。因此， 只取F(s决) 于 ，它是s 复 变数 的函数s。拉氏变换将原来的实变
量函数 转化为复f (变t) 量函数 。
B A
1
2
A
B
1
通过查表，可求得：
f (t) L1( 2s 1 ) L1[1 1 ] 1 et
s(s 1)
s s 1
应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
+ Ｕs
-
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取
电容两端的电压为输出电压，设
R
开关S闭合前，电路处于零初始状
态，即：
+ C UC
uc (0 ) 0
一代数方程，然后运用简单的代数法则就 可以得到代数方程在s域上的解，而只要再 作一次Laplace反变换就可以得到最终我们 所需的时域上的解。
Laplace（拉氏）变换的定义
定义：已知有实函数 f (t) ，其Laplace变换为：
F(s)
L f
(t )
0
f
(t
)e
st
dt
条件是式中等号右边的积分存在(收敛)。
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作 用信号。它的拉氏式由定义式有：
常用函数的拉氏变换对照表
拉氏变换的运算定理
1.叠加定理 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换
的代数和。即: L[ f1(t) f2 (t)] L[ f1(t)] L[ f2 (t)] F1(s) F2 (s)
两边同时积分：
ln(
uc
Us)
t RC
c1
e e 两边再同时取指数： ln(uc Us )
( t RC)c1
整理得：uc Us e( t RC) ec1 并令：c2 ec1
则有： uc Us e( t RC) c2
将初始条件：t=0时，Ｕc(0-)=0代入上式，可得： c2 U s
(
RCs
1)U
c
(s)
U
s
1 s
单位阶跃函数的Laplace变换
整理，可得：
Uc (s)
Us
1 s(1 RCs)
Us(
A s
B) 1 RCs
U
s
[
A(1 RC ) s(1 RCs)
s(1
Bs RCs
)
]
U
s
A ( ARC B)s s(1 RCs)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
例 求 2的s 原1 函数。 s(s 1)
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 A B s(s 1) s s 1
其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：
A B A(s 1) Bs (A B)s A
s s 1 s(s 1)
s(s 1)
比较以上两式的分子，可得： A
2. K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。
即: L[Kf (t)] KL( f (t) KF(s)
3. 在零初始条件下，即：f (0) f ' (0) f n1(0) 0
则：L[ f n (t)] snF(s)
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的 n
阶导数的拉氏式等于其象函数乘以 s。n
- 在t=0时，开关S闭合，电路
接入直流电源Us。则根据
KVL定理，有：
uR uc Us
把 uR i R 和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
现在，我们就来解这个微分方程
RC
duc dt
uc
Us
0
uc
Us
RC
duc dt
分离变量，有： duc dt
拉普拉斯变换及其应用
拉氏变换的概念 拉氏变换的运算定理 拉氏反变换 应用拉氏变换求解微分方程
拉氏变换的概念
Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一 种数学工具。与线性常微分方程的经典求解 方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特 点： 只需一步运算就可以得到微分方程的通解
和特解。 微分方程通过Laplace变换转化成含有s的
c
j
F
(
s)est
ds
2 j c j
拉氏变换和反变换是一一对应的，所以通常 可以通过查表来求取原函数。
例 求 f (t) 2的象e函at 数。
解：由比例定理可知：L[2] L[2 1(t)] 2 s
通过查表可知：L[eat ] 1 s a
再根据叠加定理，可求得 f (的t) 象函数为：
F(t) L[2 eat ] 2 1 3s 2a s s a s(s a)
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统
的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的
应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。
拉氏反变换
由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变 换(Inverse Laplace Transform)。拉氏反
变换常用下式表示：
f (t) L1[F(s)] 1
4. 在零初始条件下，即：
f (t)dt t0 f (t)dt2 t0 f (t)dtn1 t0 0
上式表明则，：在L[零初始f (条t)d件tn下] ，F原s(ns函) 数的 n重积分的拉
氏式等于其象函数除以 s n
5.
当原函数 f (t延) 迟 时 间，成为 f (t 时，) 它的
拉氏式为：
L[ f (t )] es F(s)
上式表明，当原函数 f (t)延迟 ，即成 f (t 时，) 相
应的象函数 F应(t乘) 以因子 。es
6.终值定理
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
上式表明原函数在 f (t)时的数值(稳态值)，可以通过将
象函数 F乘(t以) 后s，再求 s的极0限值来求得。条件 是当 t 和 时s ，等0式两边各有极限存在。
拉氏变换是一种单值变换。 和 之间
具有一一对应的关系。通常f称(t) 为F(s原)
函数， 为象函数。
f (t)
F(s)
【例】 求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信 号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义 式。
A 1 B RC
将所求系数带入上述方程，有：
Uc
(s)
Us
(1 s
1
RC RCs
)
Us
(1 s
(1
1 RC
) s)
再对上式进行Laplace反变换，得：
uc Us (1 e t RC )
所以最后求得该微分方程的解为：
uc Us (1 e t RC )
现在对于上面的微分方程，我们有Laplace变换再求 解一次。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程 变换成如下形式：RC来自duc dtuc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
由题可知：开关闭合瞬间的输入信号可视为阶跃信号， 且当t=0时，Uc(0+)=0，所以上式有：
式中的 s 被称为是Laplace算子，它是一个复数变量，
即有 s 。 j
j
这个平面就被 我们称为是S 域或复数域
＋１
t 由于0 f (t)e是std一t 个定积分， 将在新函数 中消失。因此， 只取F(s决) 于 ，它是s 复 变数 的函数s。拉氏变换将原来的实变
量函数 转化为复f (变t) 量函数 。
B A
1
2
A
B
1
通过查表，可求得：
f (t) L1( 2s 1 ) L1[1 1 ] 1 et
s(s 1)
s s 1
应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
+ Ｕs
-
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取
电容两端的电压为输出电压，设
R
开关S闭合前，电路处于零初始状
态，即：
+ C UC
uc (0 ) 0
一代数方程，然后运用简单的代数法则就 可以得到代数方程在s域上的解，而只要再 作一次Laplace反变换就可以得到最终我们 所需的时域上的解。
Laplace（拉氏）变换的定义
定义：已知有实函数 f (t) ，其Laplace变换为：
F(s)
L f
(t )
0
f
(t
)e
st
dt
条件是式中等号右边的积分存在(收敛)。
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作 用信号。它的拉氏式由定义式有：
常用函数的拉氏变换对照表
拉氏变换的运算定理
1.叠加定理 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换
的代数和。即: L[ f1(t) f2 (t)] L[ f1(t)] L[ f2 (t)] F1(s) F2 (s)