排列组合、二项式定理典型题(含答案)

排列、组合、二项式定理典型题

一、选择题（共24题）

1．（北京卷）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有

（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个

（D ）6个

解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有3

3A 种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有1333C A ，故共有33A ＋13

33C A ＝24种方法，故选B

2．（福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有

（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种

解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有33

74A A -=186种，选B.

3．（湖北卷）在24

(x -

的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项

解：724243

124

24r

r r

r r

r T C x C x －－r ＋＝（＝(-1)，当r ＝0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x 的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2的整数次幂，故选C

4．（湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( )

A.16种

B.36种

C.42种

D.60种

解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有12

3436C A ⋅=种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有3

424A =种方案，共计有60种方案，选D.

5．（湖南卷）若5

)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 A ．-2 B . 22 C. 34 D . 2

解析：

5

)1-ax （的展开式中3x 的系数332335()(1)10C ax a x ⋅-=80x 3， 则实数a 的值是2，选D 6．（湖南卷）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是

A ．6

B . 12 C. 18 D . 24

解析：先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有2

22A =种

方法，共有12种方法，选B.

7．（江苏卷）10)31

(x x -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是

（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6 【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.

【正确解答】10

31⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x x

的展开式通项为31010102

121011()()33r r r r r r C C x x ---=，因此含x 的正整数次幂的项共有2项.选B

【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别. 8．（江西卷）在（x

）

2006

的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x

时，S 等于（ ）

A.23008

B.-23008

C.23009

D.-23009 解：设（x

）2006＝a 0x 2006＋a 1x 2005＋…＋a 2005x ＋a 2006

则当x

时，有a 0

）2006＋a 1

）2005＋…＋a 2005

）＋a 2006＝0 （1） 当x

时，有a 0

）2006－a 1

）2005＋…－a 2005

）＋a 2006＝23009 （2） （1）－（2）有a 1

）2005＋…＋a 2005

23009÷2＝－23008，

故选B

9．（江西卷）

在2n

x ⎫⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）

Ａ．3

Ｂ．6

Ｃ．9

Ｄ．12

解：n 3r

r

n r

r r r 2

r 1n

n r r

n 2T C 2C x x n 3r 02C 60⨯⎧⎨⎩－

－＋＝（）＝－＝＝，由r r n n 3r 0

2C 60⎧⎨⎩－＝＝解得n ＝6故选B

10．（辽宁卷）12345

66666C C C C C ++++的值为（ ）

Ａ．61 Ｂ．62

Ｃ．63 Ｄ．64

解：原式＝6

2262-=，选B

11．（全国卷I ）设集合{}1,2,3,4,5I =。选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小

的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有A ．50种 B ．49种

C ．48种

D ．47种

解析：若集合A 、B 中分别有一个元素，则选法种数有2

5C =10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有3

5C =10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有4

5C =5种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有四个元素，则选法种数有5

5C =1种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有3

5C =10种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有两个个元素，则选法种数有4

5C =5种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有5

5C =1种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有4

5C =5种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有5

5C =1种；若集合A 中有四个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有5

5C =1种；总计有49种，选B.

解法二：集合A 、B 中没有相同的元素，且都不是空集，

从5个元素中选出2个元素，有2

5C =10种选法，小的给A 集合，大的给B 集合； 从5个元素中选出3个元素，有35C =10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有2×10=20种方法；

从5个元素中选出4个元素，有45C =5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有3×5=15种方法；

从5个元素中选出5个元素，有55C =1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有4×1=4种方法；

总计为10+20+15+4=49种方法。选B.

12．（全国卷I ）在10

12x x ⎛⎫- ⎪⎝

⎭的展开式中，4

x 的系数为

A ．120-

B ．120

C ．15-

D ．15 解析：在101()2x x -

的展开式中，x 4项是3

73101()()2C x x

-=－15x 4，选C. 13．（全国II ）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方

法共有

（A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种

解：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有3113

52132

2

C C C A A ⨯＝60种，若是1,1,3，