2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第一章 1 第1讲 集合及其运算

知识点最新考纲

集合

了解集合、元素的含义及其关系．

理解集合的表示法．

了解集合之间的包含、相等关系．

理解全集、空集、子集的含义．

会求简单集合间的并集、交集．

理解补集的含义并会求补集.

命题及其关系、充分

条件与必要条件

了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及

其相互之间的关系．

理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并

证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 表示

关系

文字语言符号语言记法

基

本

关

子集

集合A的所有元素都

是集合B的元素

x∈A⇒

x∈B

A⊆B或

B⊇A 真子集集合A是集合B的子A⊆B，且存在x0∈B，A B

系集，且集合

B中至少

有一个元素不属于A

x0∉A 或B A

相等集合A，B的元素完

全相同

A⊆B，

B⊆A

A＝B

空集不含任何元素的集

合．空集是任何集合

A的子集

任意x，x∉∅，∅⊆A ∅

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集图形

语言

符号语言A∪B＝

{x|x∈A，或x∈B}

A∩B＝

{x|x∈A，且x∈B}

∁U A＝

{x|x∈U，且x∉A}

(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；

A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；

A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．

(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；

∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()

(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()

(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()

(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()

(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×

[教材衍化]

1．(必修1P12A组T3改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则()

A．a∈P B．{a}∈P C．{a}⊆P D．a∉P

解析：选D.因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合，

所以a ∉P .故选D.

2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．

答案：{x |x 是直角}

3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．

解析：集合A 表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2

＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于

两点⎝⎛

⎭⎫22

，

22，⎝⎛⎭⎫－22，－2

2，则A ∩B 中有两个元素． 答案：2 [易错纠偏]

(1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．

1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．

解析：因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.

答案：0或3

2．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝1

2

. 答案：0或1

2

3．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．

解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，

(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．

答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)

集合的含义

(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数

是( )

A ．1

B ．3

C ．6

D ．9

(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92

B ．98

C ．0

D ．0或9

8

(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．

【解析】 (1)当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2. 故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}， 即集合B 中有6个元素． (2)当a ＝0时，显然成立； 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0， 即a ＝98

.

(3)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，

所以a ＋b ＝0，则b

a ＝－1，

所以a ＝－1，b ＝1. 所以b －a ＝2.

【答案】 (1)C (2)D (3)2

与集合中的元素有关问题的求解步骤

1．(2020·温州八校联考)已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为( ) A ．1或－1 B ．1或3 C ．－1或3

D ．1，－1或3

解析：选B.因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1，5，13}；当m ＝1时，M ＝{1，3，5}；当m ＝－1时，不满足互异性．所