小波变换处理图像((课程设计))

《数字图像处理》课程设计报告

题目：小波变换处理图像

专业：信息与计算科学

学号：

组长：

指导教师：

成绩：

二〇一〇年六月二十六日

一、课程设计目的

小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与Fourier 变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。

二、课程设计要求

1、对知识点的掌握要求：

利用小波变换的基本原理在MATLAB环境下编写程序对静态图像进行分解并压缩，并观察分析其处理效果。

2、分组情况：

组长：

组员：

分工情况：

：设计全过程的监督及协助和整个源程序代码的整理。

：负责小波变换的分解

：负责小波变化的重构算法

：负责编写MATLAB程序

：负责图像的压缩

3、课程设计内容

对知识点的掌握要求：

利用小波变换的基本原理在MATLAB环境下编写程序对静态图像进行分解并压缩，并观察分析其处理效果MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、

实现算法、创建用户界面、连接其它编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。

本设计利用MATLAB 工具箱中的Wavele Toolbox ——小波工具箱对图像进行小波变换。

三、课程设计实现步骤

3.1 小波变换的分解和重构算法 3.1.1 小波变换的分解算法

小波是函数空间L 2

(R)中满足下述条件的一个函数或者信号ψ(x)

这里，

R *

=R-{0}表示非零实

数全体。

对于任意的函数或者信号)(x f ，其小波变换定义为

dx

a

b x x f a dx x x f b a R

R

b a f

W

)()(|

|1

)()(),()

,(-=

=

⎰⎰

ψψ

因此，对任意的函数)(x f ，它的小波变换时一个二元函数。

另所谓多分辨分析是指设{V j

；Z j ∈}是L 2

(R)上的一列闭子空间，其中的一

函数，如果它们满足如下五个条件，即 （1）单调性：V

V

j j

1

+⊂，Z j ∈∀；

（2）唯一性：}

0{=∈V

I j

Z

j ；

（3）稠密性：

=

∈V

Y j

Z

j L

2

(R)；

（4）伸缩性：

V

V

j j

x f x f 1

)2()(+∈⇔∈，Z j ∈∀；

⎰

∞

<=

*

2

|

||

)(|R d x C ωωψψ

（5）Riesz 基存在性：存在

V

t 0

)(∈ϕ，使得{

)

(2n x i

-ϕ；Z n ∈}构成V j 的Riesz

基。称)(t ϕ为尺度函数。那么称{{V j ；Z j ∈}，)(t ϕ}是L 2

(R)上的一个多分辨分析。

若定义函数

)

()(22

2

,n x x i

j

n

j -=

ϕϕ，Z n j ∈∀,，则由多分辨分析的定义，容

易得到一个重要结果，即函数族

{

)

()(22

2

,n x x i

j

n

j -=

ϕϕ

；Z n ∈}

是空间V j 的标准正交基。关于多分辨分析，在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图2.1所示（A 表示低频，D 表示高频）。

S

A 1

A 2

A

3

D

2

D

3

D

1

图2.1 小波分解法

从图中可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予考虑。分解具有关系

D D

D

A

S 1

2

3

3

+

+

+

=

，

另外强调一点，这里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步分解，则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下再分解，依次类推。在理解多分辨分析时，必须牢牢把握一点，即分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从图2.1可以看出，多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。