【精品课件】弹性力学平面问题的有限元法
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若： z0 zx zy 0 Z 0
则平面问题
σ x τ yx X 0 x y σ y τ xy Y 0 y x
9.1.4 几何方程（应变—位移关系）
由几何方程可以得到位移和变形之间的关系。 对于平面问题，总的变形可分解为长度变化和角度变化：
①定义x方向的相对伸长量
②定义y方向的相对伸长量
弹性力学: 是研究弹性体（变形体）在约束和外载荷作用下 应力和变形分布规律的一门学科。
变形体: 即物体内任意两点之间可发生相对移动。 有限元方法所处理的对象:任意变形体
方法: 在弹性力学中针对微小的单元体（dxdydz）建立基 本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为 偏微分方程组的边值问题。
弹性力学的基本方程: 平衡方程、几何方程、物理方程。
弹性力学的基本假定如下：
1）连续，2）均匀，3）各向同性，4）完全弹性，5）小变形。
1) 物体内的物质连续性假定: 物质无空隙，可用连续函数来描述。
2) 物体内的物质均匀性假定:物体内各个位置的物质具有相同特性。
3)物体内的物质(力学)特性各向同性假定: 物体内同一位置的物质 在各个方向上具有相同特性。
xyyx, 同理： yzzy, zxxz
物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量
σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx
来表示。
4）位移: 包括刚体位移、相对位移。 由于物体受力后发生了变形，物体内个点间的相对移动。用 位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。
5）应变: 物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。
4)线性弹性假定: 物体的变形与外力作用的关系是线性的，外力 去除后，物体可恢复原状。
5)小变形假定: 物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时， 可以略去高阶小量(二阶以上)。
9.1.1基本变量
外力
弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变
1）体力：是分布在物体体积内部的力，例如重力和惯性力。
将每个面上的应力分解为一个正 应力和两个剪应力，分别与三个 坐标轴平行。
x
xy
xz
yx y yz
zx
zy
z
问题：1）、下标表示？ 2）、剪应力互等关系？
单元体应力分量
剪应力互等：作用在两个互相垂直的面上并且垂直 于该两面交线的剪应力是互等的（大小、方向）。
Mx 0 (zydxd)dyz(yzdxd)dzy
F x 0 F y 0
σ x τ yx X 0 x y σ y τ xy Y 0 y x
σy
σ y y
dy
τ
yx
τ yx y
dy
Y
σx
dy
X
y τ xy
dx
τ yx
σy
x
τxy
τxy x
d
x
σx
σx x
dx
三维应力情况下的平衡微分方程
σ x τ yx τ zx X 0 x y z τ xy σ y τ zx Y 0 x y z τ xz τ yz σ z Z 0 x y z
E( 1 μ)
μ
μ
σ z ( 1 μ)( 1 2 μ) ( 1 μ ε x 1 μ ε y ε z )
τ xy
E 2(1
μ)
γ xy
τ yz
E 2(1
μ)
γ yz
E τ zx 2 ( 1 μ) γ zx
εCσ
σD ε
虚位移原理
若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么 使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位 移上所做的功就等于弹性体所具有的虚应变能。
第9章 弹性力学平面问题的有限元法
本章包括以下的内容：
9.1 弹性力学平面问题的基本方程 9.2 单元位移函数 9.3 单元载荷移置 9.4 单元刚度矩阵 9.5 单元刚度矩阵的性质与物理意义 9.6 整体刚度矩阵的特点与存储方法 9.7 约束条件的处理 9.8 整体分析 9.9 方程组解法
9.1 弹性力学平面问题的基本方程
α β
③定义夹角的变化
tan(vdxxvdudx)xv1xvuxv
x
x
(uvdy)u
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ tan dyvyvvdyuy
y
则定义夹角的总变化为
则平面问题的几何变形方程为:
εx
u x
εy
v y
γ xy
u y
v x
3D问题的几何变形方程为:
变形协调方程（变形连续方程、相容方程）
2 y x 2
2 x y2
2 xy xy
2 z 2y
2 y z2
2 yz yz
2 x z2
2 z x 2
2 xz xz
( yz xz xy ) 2 2 x
x x y z
yz
(
yz
xz
xy )
2 2 y
y x y z
xz
(
yz
xz
xy ) 2 2 z
z x y z
(真实 )•(虚 外 )位 力 (真 移实 )•(虚 应 )应 d力 V变
v
同样当虚位移发生时，在弹性体单位体积内应力在相应的虚应变上所作 的功为
xy
描述六 个应变 分量之 间的关 系。
9.1.5 物理方程（应力与应变关系，本构方程）
对弹性体，应力-应变——线性关系——广义虎克定理：
E( 1 μ)
μ
μ
σ x ( 1 μ)( 1 2 μ) ( ε x 1 μ ε y 1 μ ε z )
E( 1 μ)
μ
μ
σ y ( 1 μ)( 1 2 μ) ( 1 μ ε x ε y 1 μ ε z )
2）面力：是作用在物体表面上的力，例如两物体间接触 力、流体压力。
3）应力：物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。 物体内某一点的内力就是应力。
lim Q S A0 A
应力S在其作用截面上的法向分量 称为正应力，用σ表示；在作用截 面上的切向分量称为剪应力，用τ 表示。
外力
内力
内力
研究受外力作用的物体中某点的应力状态
各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表示。
两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪 应变，用γ表示。
与应力定义类似，物体内任意一点的变形，可以用 εx 、 εy、 εz、 γx、 yγy、 zγzx六个应变分量表示。
x
l l0
xy
9.1.3 平衡方程（ 应力——体力之间关系）
弹性力学中，在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。 平衡方程代表了力的平衡关系，建立了应力分量和体力分量 之间的关系。对于平面问题，在物体内的任意一点有，
则平面问题
σ x τ yx X 0 x y σ y τ xy Y 0 y x
9.1.4 几何方程（应变—位移关系）
由几何方程可以得到位移和变形之间的关系。 对于平面问题，总的变形可分解为长度变化和角度变化：
①定义x方向的相对伸长量
②定义y方向的相对伸长量
弹性力学: 是研究弹性体（变形体）在约束和外载荷作用下 应力和变形分布规律的一门学科。
变形体: 即物体内任意两点之间可发生相对移动。 有限元方法所处理的对象:任意变形体
方法: 在弹性力学中针对微小的单元体（dxdydz）建立基 本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为 偏微分方程组的边值问题。
弹性力学的基本方程: 平衡方程、几何方程、物理方程。
弹性力学的基本假定如下：
1）连续，2）均匀，3）各向同性，4）完全弹性，5）小变形。
1) 物体内的物质连续性假定: 物质无空隙，可用连续函数来描述。
2) 物体内的物质均匀性假定:物体内各个位置的物质具有相同特性。
3)物体内的物质(力学)特性各向同性假定: 物体内同一位置的物质 在各个方向上具有相同特性。
xyyx, 同理： yzzy, zxxz
物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量
σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx
来表示。
4）位移: 包括刚体位移、相对位移。 由于物体受力后发生了变形，物体内个点间的相对移动。用 位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。
5）应变: 物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。
4)线性弹性假定: 物体的变形与外力作用的关系是线性的，外力 去除后，物体可恢复原状。
5)小变形假定: 物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时， 可以略去高阶小量(二阶以上)。
9.1.1基本变量
外力
弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变
1）体力：是分布在物体体积内部的力，例如重力和惯性力。
将每个面上的应力分解为一个正 应力和两个剪应力，分别与三个 坐标轴平行。
x
xy
xz
yx y yz
zx
zy
z
问题：1）、下标表示？ 2）、剪应力互等关系？
单元体应力分量
剪应力互等：作用在两个互相垂直的面上并且垂直 于该两面交线的剪应力是互等的（大小、方向）。
Mx 0 (zydxd)dyz(yzdxd)dzy
F x 0 F y 0
σ x τ yx X 0 x y σ y τ xy Y 0 y x
σy
σ y y
dy
τ
yx
τ yx y
dy
Y
σx
dy
X
y τ xy
dx
τ yx
σy
x
τxy
τxy x
d
x
σx
σx x
dx
三维应力情况下的平衡微分方程
σ x τ yx τ zx X 0 x y z τ xy σ y τ zx Y 0 x y z τ xz τ yz σ z Z 0 x y z
E( 1 μ)
μ
μ
σ z ( 1 μ)( 1 2 μ) ( 1 μ ε x 1 μ ε y ε z )
τ xy
E 2(1
μ)
γ xy
τ yz
E 2(1
μ)
γ yz
E τ zx 2 ( 1 μ) γ zx
εCσ
σD ε
虚位移原理
若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么 使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位 移上所做的功就等于弹性体所具有的虚应变能。
第9章 弹性力学平面问题的有限元法
本章包括以下的内容：
9.1 弹性力学平面问题的基本方程 9.2 单元位移函数 9.3 单元载荷移置 9.4 单元刚度矩阵 9.5 单元刚度矩阵的性质与物理意义 9.6 整体刚度矩阵的特点与存储方法 9.7 约束条件的处理 9.8 整体分析 9.9 方程组解法
9.1 弹性力学平面问题的基本方程
α β
③定义夹角的变化
tan(vdxxvdudx)xv1xvuxv
x
x
(uvdy)u
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ tan dyvyvvdyuy
y
则定义夹角的总变化为
则平面问题的几何变形方程为:
εx
u x
εy
v y
γ xy
u y
v x
3D问题的几何变形方程为:
变形协调方程（变形连续方程、相容方程）
2 y x 2
2 x y2
2 xy xy
2 z 2y
2 y z2
2 yz yz
2 x z2
2 z x 2
2 xz xz
( yz xz xy ) 2 2 x
x x y z
yz
(
yz
xz
xy )
2 2 y
y x y z
xz
(
yz
xz
xy ) 2 2 z
z x y z
(真实 )•(虚 外 )位 力 (真 移实 )•(虚 应 )应 d力 V变
v
同样当虚位移发生时，在弹性体单位体积内应力在相应的虚应变上所作 的功为
xy
描述六 个应变 分量之 间的关 系。
9.1.5 物理方程（应力与应变关系，本构方程）
对弹性体，应力-应变——线性关系——广义虎克定理：
E( 1 μ)
μ
μ
σ x ( 1 μ)( 1 2 μ) ( ε x 1 μ ε y 1 μ ε z )
E( 1 μ)
μ
μ
σ y ( 1 μ)( 1 2 μ) ( 1 μ ε x ε y 1 μ ε z )
2）面力：是作用在物体表面上的力，例如两物体间接触 力、流体压力。
3）应力：物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。 物体内某一点的内力就是应力。
lim Q S A0 A
应力S在其作用截面上的法向分量 称为正应力，用σ表示；在作用截 面上的切向分量称为剪应力，用τ 表示。
外力
内力
内力
研究受外力作用的物体中某点的应力状态
各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表示。
两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪 应变，用γ表示。
与应力定义类似，物体内任意一点的变形，可以用 εx 、 εy、 εz、 γx、 yγy、 zγzx六个应变分量表示。
x
l l0
xy
9.1.3 平衡方程（ 应力——体力之间关系）
弹性力学中，在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。 平衡方程代表了力的平衡关系，建立了应力分量和体力分量 之间的关系。对于平面问题，在物体内的任意一点有，