多项式因式分解

因式分解常用的六种方法详解

因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)

因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤

因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

因式分解的十二种方法

因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4 b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

多项式的因式分解

1.1 多项式的因式分解 教学目标 1．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系． 2．感受因式分解在解决相关问题中的作用． 3．通过因式分解培养学生逆向思维的能力。 重点与难点 重点：理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。 难点：对分解因式与整式关系的理解 教学过程 一、创设情境，导入新课 1 回顾整式乘法和乘法公式 填空：计算：(1)2ab(3a+4b-1)=_________, （2）（a+2b）(2a-b)=__________ (3)（x-2y）(x+2y)=__________;(4)错误!未找到引用源。=_____________ (5) 错误!未找到引用源。=________ 2 你会解方程：错误!未找到引用源。吗？ 估计学生会想到两种做法：（1）一是用平方根的定义，（2）二是：解：（x+1）(x-1)=0,根据两个因式相乘等于0，必有一个因式等于0，得到：x+1=0或者x-1=0,因此：得x=1或-1 指出：把错误!未找到引用源。叫因式分解，为什么要把一个多项式因式分解呢？这节课我们来学习这个问题。 二合作交流，探究新知 1 因式的概念 （1）说一说：6=2×___, 错误!未找到引用源。, （2）指出：对于6与2，有整数3使得6=2×3，我们把2叫6的一个因数，同理,3也是6的一个因数。 类似的：对于整式错误!未找到引用源。与x+2,有整式x-1使得错误!未找到引用源。，我们把x+2叫多项式错误!未找到引用源。的一个因式，同理，x-2也叫多项式错误!未找到引用源。的一个因式。 你能说说什么叫因式吗？ 一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫f 的一个因式，同样，h也是f的一个因式。 （3）考考你：你能说出下面多项式有什么因式吗？ A ab+ac, B 错误!未找到引用源。 C 错误!未找到引用源。 D 错误!未找到引用源。 2 因式分解的概念 （1）指出;一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。

因式分解常用方法(方法最全最详细)

因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。 即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。 注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m（a+b+c） 二、运用公式法? 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因

F 面再补充两个常用的公式: ⑸a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2 ; (6)a 3 +b 3 +c 3 -3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca); 例.已知a, b, c 是 ABC 的三边，且a 2 b 2 c 2 则ABC 的形状是() A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 2 2 2 2 2 2 解：a b c ab bc ca 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b c 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ，后两项都含有 b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之 间的联系。 式分解中常用的公式，例如： (1)(a+b)(a-b) = a 2 -b 2 ------- a (2)(a ±b)2 = a 2 ±2ab+b 2 ------- a ⑶(a+b)(a 2 -ab+b 2) =a 3+b 3 ⑷(a-b)(a 2+ab+b 2 ) = a 3 -b 3 2 -b 2 =(a+b)(a-b) ； 2 ±2ab+b 2 =(a ±b)2 ； a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )； a 3 _b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ). ab bc ca ,

多项式的因式分解(含答案)

下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ 2 2 2 2 亠 2 2 x +4y B. x -2y +1 C . -x +4y 下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是 2 2 2 1 x+4 B . x+2x+4 C . x-x+4 10 .下列多项式因式分解正确的是（ 2 2 B . 1+4a-4a = (1-2a ) 11.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 x 的指数，他只知道该数为不 大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是 x □ -4y 2 （“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ） A. 2种 2 2 A . 4-4a+a = (a-2) 、选择题 多项式的因式分解 F 列多项式中, 能用公式法分解因式的是（ A. 2 x -xy B 2 .x +xy C 2 2 .x-y 2 2 D. x +y 2. 若 a+b=4,贝 U a 2+2ab+6的值是（ A. 8 B . 16 3. 因式分解（x-1 ） 2 -9的结果是 A. (x+8) (x+1) B . (x+2) (x-4 ) C . (x-2 ) (x+4) D . (x-10 ) (x+8) A. 2 2 2 -m +4 B . -x -y 2 2 人 C. x y -1 .(m-a ) 2- (m+a 2 6. F 列多项式中能用平方差公式分解因式的是 （ A. 2 2 a + (-b ) 2 B. 5m-20 mn C 2 -x : 2 -y D. -x 2+9 7. F 列多项式中不能用平方差公式分解的是 A. a 2-b 2 B . -x 2-y 2 C. 49x 2-y 2z 2 D. 16m 『-25p 2 8. F 列多项式中能用公式进行因式分解的是 9. F 列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是 A. a 2+b 2 B . y 2+9 C . -16+a 2 D. -x 2-y 2 C. 1+x 2= (1+x ) 2 D. x 2+xy+y 2= (x+y ) 2 2 2 D. -x -4y ) A. .x 2-4y

多项式因式分解的一般步骤

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。” 几道例题 1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33： x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． （分解因式的过程也可以参看右图。） 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y 互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。 3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三条边， ∴a＋2b＋c＞0． ∴a－c＝0， 即a＝c，△ABC为等腰三角形。 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

《浅谈多项式因式分解的方法》

贵州师范大学求是学院本科期末论文（设计） 期末论文（设计）题目 《浅谈多项式因式分解的方法》 学生姓名：何娜 科任教师：龙伟锋 专业：数学与应用数学 年级： 2012级 学号： 122008011013 2015年 12 月 10 日

多项式因式分解的方法 摘要：在数学学习过程中以及上个学期的实习实践中（上初三的数学课），常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。 关键词：一元多项式，因式分解 多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对多项式进行深入研究。在高等代数中已经证明了数域上的多项式环内的每一个(n n ＞)0次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。本文将对多项式因式分解的方法进行总结归纳。多项式因式分解的方法很多，但具体到某一个多项式，要针对其特征，选取适当的方法，才能提高解题的效率。所以我们要灵活掌握这些方法，这会为我们解题带来很多方便。 １ 求根法 （参见文献[]2）设多项式()x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式， 第一步 写出首项系数n a 的全部因数i v ，s i ,,2,1 =； 第二步 写出常数项0a 的全部因数j u ，t j ,2,1=； 第三步 用综合除法对j i u v 试验，确定()x f 的根； 第四步 写出()x f 的标准分解式。 例1 求()x f =251074234-+++x x x x 在有理数域上的因式分解式。 解 先把它转换成求()x f =251074234-+++x x x x 的有理根。 ()x f 的常数项和首项系数的全部因数分别为1±，2±与1±，2±，4±,则需要检验的有 理数为1±，2±，12±，14 ±. 由于()1-f =0，故-1是()x f 的根，且易知()x f =()() 2734123-+++x x x x .

因式分解的十二种方法 因式分解的方法顺口溜

因式分解的十二种方法因式分解的方法顺 口溜 因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x3-2x2-x (2003淮安市中考题) x3 -2x2 -x=x(x2 -2x -1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 + 4ab + 4b2 (2003南通市中考题) 解：a 2 + 4ab +4b2 =（a+2b）2 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m 2 + 5n - mn - 5m 解：m 2 + 5n - mn - 5m= m2 - 5m - mn + 5n = (m2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)

4、十字相乘法 对于mx 2 +px+q形式的多项式，如果a ×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x 2 -19x-6 分析： 1 - 3 7 2 2 - 21=-19 解：7x 2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x 2 +3x-40 33解 x 2 +3x - 40=x 2 + 3x + ( 2) 2 - ( 2 ) 2 -40 313=(x + 2 ) 2 - ( 2 ) 2 313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 ) =(x+8)(x-5) [1**********]注：( ) 2 + ==( ) 2=( ) 2 244422 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c – a + a +b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

-多项式的因式分解定理

§1-5多项式的因式分解定理 多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分？ 平凡因式： 零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积 Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的. 如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =， 的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数. 反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f 有

非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约. 由不可约多项式的定义可知： 任何一次多项式都是不可约多项式的. 不可约多项式的重要性质： 一个多项式是否不可约是依赖于系数域； 1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约. 2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x). 3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除. Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个. 证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法 当s=1时,显然成立;

多项式的因式分解-提公因式法练习题

多项式的因式分解 学一学：看谁算得快：请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。 (1)若a=101,b=99,则a 2-b 2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a 2-2ab+b 2=____________； (3)若x=-3,则20x 2+60x=__________ 议一议：观察： a 2-b 2=(a+b)(a-b) ， a 2-2ab+b 2 = (a-b)2 ， 20x 2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。 (等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式) 【归纳总结】把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式称为吧这个多项式因式分解，也叫分解因式。 } 选一选：下列代数式变形中，哪些是因式分解哪些不是为什么 (1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ； (2)2m(m-n)=2m 2-2mn (3)3a 2+6a = 3a （a+2） 填一填：) )( (4-2 x 继续观察：(a+b)(a-b)= a 2-b 2 , (a-b)2= a 2-2ab+b 2， 20x(x+3)= 20x 2+60x,它们是什么运算与因式分解有何关系 因式分解 结合：a 2-b 2 （a+b ）（a-b ） ; 整式乘法 说明：从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，因式分解与整式乘法是相反变形。 二、合作探究 知识点一、因式分解 的概念 知识点二、因式分解与整式乘法的关系

1.检验下列因式分解是否正确： (1)x2y-xy2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)； (3)x2+3x+2=(x+1)(x+2). 2. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些是多项式乘法 （1）(x+5)(x+1)= x2+6x+5 (2) (x+2)(x-2)= x2-4 (3) 12ax-12ay=12a(x-y) (4) x2-10xy+25y2=(x-5y)2 " 提公因式法 说一说：下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么 （2t3－3t2+t）； （1）2x2+4=2（x2+2）；（2）2t2－3t+1=1 t （3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my； 学一学： 多项式xu 中各项含有相同因式吗，它们共有的因式是什么请将上述多项式分别 xz xy- 写成两个因式的乘积的形式。 议一议：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗 2．多项式4x2－x和xy2－yz－y 呢 【归纳总结】如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．（几个多项式公共的因式称为它们的公因式） ; 选一选：多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（） A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c

(完整版)因式分解知识点归纳总结

因式分解知识点归纳总结概述 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 分解因式与整式乘法互为逆变形。 因式分解的方法：提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)） 分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式 提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 例如：-am+bm+cm= a(x-y)+b(y-x)= ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 例如：a2 +4ab+4b2 = ⑶分组分解法 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y) 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)

因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)

因式分解的常方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 用方法 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

多项式的因式分解

课题：3.2提公因式法（一） 主备人：汤新文审核人：日期：第课时班级：小组：姓名： 教学目标1、经历寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式； 2、会用提取公因式法进行因式分解． 3、探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强自己的直觉思维，培养自己的观察能力； 教学重点会用提取公因式法进行因式分解． 教学难点确定多项式各项的公因式。 导学流程（定向导学：教材p59页至p60页）学习行为提示一、目标导学 1、下列各各式从左到右的变形哪些是因式分解？（填“是”与“否”）（1）m2-m＝m(m-1) ( ) （4）a2-2a+1＝a(a-2)+1 ( ) （2）x(x-y)＝x2-xy ( ) （5）x2-4x+4＝(x-2)2 ( ) (3) (a+3)(a-3)＝a2-9 ( ) 2、比较下面的两个等式，然后回答后面的问题： A、（x-3）（x+3）=x2+2x-15 B、x2+2x-15=（x-3）（x+3）（1）、从左到右看，A式是________,B式是_______ （2）、_______是把几个整式的积展开成一个多项式 （3）、_______是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式 （4）、整式乘法和因式分解都是恒等变形，但变形的过程正好_______。 二、自学自研 初读文本(阅读教材p59、p60) 要求：（1）理解因数、公因式的概念； （2）知道如何寻找公因式。 3、“公因式”的定义： 4、请将下列各式的公因式写在括号内。 ①ax+ay+a （）②3mx-6nx2（) ③4a2b+10ab2（）④x4y3+x3y3（） ⑤12x2yz-9x3y2（）⑥7(x–3)–x(3–x) （）思考：怎样寻找公因式？怎样提公因式进行因式分解？ 深入探究： 5、把下列多项式因式分解： （1）、6x – 3 （2）、3x2－6xy＋x （3）、－4x2y－12xy-8x2 拓展延伸：独立完成，对子检查，点将答题，核对答案。（每题一分） 寻找公因式的技巧：（1）先找系数的最大公约数； （2）再找相同字母的最低次幂。 两者的乘积就是公因式。 注意：第一项有“－”号应将“－”号一并提起。 (1)(2)小题提示：某一项是公因式时，则提起后，这一项用“1”表示。 （3）小题提示：第一项有“－”号，则连同公因式一并提起。

多项式的因式分解,提公因式法练习题

多项式的因式分解 一、预习导学 说一说：（1）21等于3乘哪个整数？ （2）1-2x 等于1+x 乘哪个多项式？ 因式：一般地，对于两个多项式f 与g,如果有多项式h 使得f=gh,那么我， 把g 叫做f 的一个因式。此时，h 也是f 的一个因式。 学一学：看谁算得快：请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。 (1)若a=101,b=99,则a 2-b 2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a 2-2ab+b 2=____________； (3)若x=-3,则20x 2+60x=__________ 议一议：观察： a 2-b 2=(a+b)(a-b) ， a 2-2ab+b 2 = (a-b)2 ， 20x 2 +60x=20x(x+3)，找出它们的特点。 (等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 【归纳总结】把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式称为吧这个多项式因式分解，也叫分解因式。 选一选：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ； (2)2m(m-n)=2m 2-2mn (3)3a 2+6a = 3a （a+2） 填一填：) )( (4-2=x 继续观察：(a+b)(a-b)= a 2-b 2 , (a-b)2= a 2-2ab+b 2， 20x(x+3)= 20x 2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？ 因式分解 结合：a 2-b 2 （a+b ）（a-b ） 整式乘法 说明：从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，因式分解与整式乘法是相反变形。 二、合作探究 1. 检验下列因式分解是否正确： (1)x 2y-xy 2=xy(x-y)； (2)2x 2-1=(2x+1)(2x-1)； (3)x 2+3x+2=(x+1)(x+2). 2. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些是多项式乘法？

因式分解的16种方法

因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：3x2x x3x 1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab+ b2= a b 2

多项式的因式分解

§1-5多项式的因式分解定理 多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ] [) 2)(2)(2)(2(4][) 2)(2)(2(4][)2)(2(44242 2 4 x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分） （不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分 平凡因式： 零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前 两个的乘积 Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式。（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的。 ` 如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =， 的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数。

反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f 有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约。 由不可约多项式的定义可知： 任何一次多项式都是不可约多项式的。 不可约多项式的重要性质： 一个多项式是否不可约是依赖于系数域； 1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约。 2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x). 3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除。 # Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.

因式分解的常用方法(7种)

因式分解的常用方法(7种） 把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式） 因式分解 X 2-1 (X+1)(X-1) 整式乘法 一、提公因式法.：ma+mb+mc = m(a+b+c) 如何找公因式？ （1）取各项系数的最大公约数； （2）取各项都含有的相同字母； （3）取相同字母的最低次幂． 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1） (a+b)(a-b) = a 2-b 2 (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) = a 3-a 2b+ab 2+a 2b-ab 2+b 3= a 3+b 3 (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3+a 2b+ab 2-a 2b-ab 2-b 3= a 3-b 3 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2=(a+b) 2+2(a+b)c +c 2=[(a+b)+c]2=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a 3+ab 2+ac 2-a 2b-abc-ca 2)+(a 2b+b 3+bc 2-ab 2-b 2c-abc)+(a 2c+b 2c+c 3-abc-bc 2-c 2a) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++