因式分解的十二种方法 因式分解的方法顺口溜

因式分解的十二种方法因式分解的方法顺口溜因式分解的十二种方法 :把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x³-2x²-x (2003淮安市中考题)x³ -2x² -x=x(x² -2x -1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a² + 4ab + 4b² (2003南通市中考题)解：a ² + 4ab +4b² =（a+2b）²3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m ² + 5n - mn - 5m 解：m ² + 5n - mn - 5m= m² - 5m - mn + 5n= (m² -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx ² +px+q形式的多项式，如果a ×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x ² -19x-6分析： 1 - 37 22 - 21=-19解：7x ² -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x ² +3x-4033解 x ² +3x - 40=x ² + 3x + ( 2) ² - ( 2 ) ² -40 313=(x + 2 ) ² - ( 2 ) ²313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 )=(x+8)(x-5)[1**********]注：( ) ² + ==( ) ²=( ) ² 2444226、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c – a + a +b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例7、分解因式2x4 -x³ -6x ² -x+2解：2x4 -x³ -6x ² -x+2=2(x4 +1)-x(x² +1)-6x²11=x² [2(x² + x²)-(x+ x )-6 ]1令y = x + x ,11则x ²[2(x² + x² )-(x+ x )-6 ]= x² [2(y² -2)-y-6]= x² (2y² -y-10)=x² (y+2)(2y-5)11=x² (x+ x +2)(2x+ x -5)= (x² +2x+1) (2x² -5x+2)=(x+1)2(2x-1)(x-2)121注：y² =(x+ x ) = x² + x² +28、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x 1 ,x2 ,x3 ,……x n ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn )例8、分解因式2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6解：令f(x)= 2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=01通过综合除法可知，f(x)=0根为 2 ，-3，-2，1则2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)注：2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6=2x4 +7x3 -2x2 -7x-6x +6=2x4 -2x2 +7x3-7x-6x +6=2x2 (x2 – 1) + 7x (x2 – 1) – 6 (x -1)=2x2 (x +1) (x -1) + 7x (x +1) (x -1) – 6 (x -1) =(x - 1) [2x2 (x +1) + 7x (x +1) – 6 ]=(x - 1) (2x3 +2x2 + 7x 2 +7x – 6 )=(x - 1) (2x3 +9x2 +7x – 6 )=(x - 1) (2x3 +6x2+3x2 +9x -2x – 6 )=(x - 1)[ 2x2 (x +3) +3x(x + 3) -2(x + 3 )=(x - 1) (x +3) ( 2x2 +3x -2 )=(x - 1) (x +3) ( 2x -1)(x + 2 )1所以四根分别是：1；-3；2；-2。

9、图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X 轴的交点x 1 ,x 2 ,x 3 , ……x n ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn )例9、因式分解x 3 +2x2 -5x-6解：令y= x3 +2x2 -5x-6作出其图象，见右图，与x 轴交点为-3，-1，2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)注：x 3 +2x2 -5x-6= x3 +x2+x2 +x-6x -6= x2（x +1）+ x（x+1）- 6（x +1）= （x +1）（x 2+ x- 6）= （x +1）（x +3）（x -2）10、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

例10、分解因式a 2 (b-c)+b2(c-a)+c2 (a-b)分析：此题可选定a 为主元，将其按次数从高到低排列解：a 2 (b-c)+b2(c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2 –c 2 )+(b2 c-c2 b)=a2 (b-c)-a(b-c) (b+c)+bc (b-c)=(b-c) [a2 -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c) ……（十字相乘）11、利用特殊值法将2或10代入x ，求出数P ，将数P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x ，即得因式分解式。

例11、分解因式x 3 +9x2 +23x+15解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值。

（即：3=2+1，5=2+3，7=2+5）则x 3 +9x2 +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x 4 –x 3 -5x2 -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：设x 4 –x 3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)= x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd则x 4 –x 3 -5x2 -6x-4 =(x2 +x+1)(x2 -2x-4)关于“易知这个多项式没有一次因式”，本人理解为最高次方的系数为1。

或者设x 4 –x 3 -5x2 -6x-4=（x+a）(x3 + bx2 +cx+d)关于待定系数法，下面还有讲解：待定系数法就是说设原式=（x+a)(x2+bx+c),因为x 3一项系数是一，所以这么设，然后将它展开和原式对比系数列出3个方程就可以解出a,b,c, 然后判断后边那个2次的能不能进一步分解，如果a,b,c 无解就说明原式无法分解。

一元n 次方乘根与系数关系这么推倒，以3次为例，设3个根为x 1,x 2,x 3 则任意ax 3+bx2+cx+d就可以写成a(x-x1)(x-x2)(x-x3)将右边展开和左边对比系数就能得到根与系数的关系。

4次及n 次方程类似。

四次的比较麻烦，必须先设原式=(x+a)( x3+bx2+cx+d)，如果可以解出未知数，就可以继续分解后面那项，如果这样不行，则要设原式=（x 2+ax+b)(x2+cx+d) 再来看看有没有解，如果还是没有解，那必然无法在实数范围内分解。

因为这两个括号里的2次也许都无法在实数范围内进一步分解，所以只设上面那一种=(x+a)(x3+bx2+cx+d)，无法包括这种情况。

高次的待定系数法我认为也要类似这么讨论。