数字通信原理第8次课课件(2015)

10.3 线性分组码

10.3.1 线性分组码的基本概念

1.线性分组码的概念 (1) 分组码

()k n ,线性分组码中的分组是对信息序列的处理方法而言，即编码时将信息序

列每k 位分为一组，编码器对每组的k 位信息按一定的规律产生r 个监督码，输出长度为n k r =+的码组（码字）。对于分组码，每一码组的r (即n k -)个监督码仅与本码组的k 个信息码有关，与其他码组的信息无关。

(2) 线性码

线性分组码中的线性是指码组中监督码与信息码的关系，线性码码组中任一码元都是信息码元的线性组合。

2.线性分组码的性质

下面通过举例来认识和了解线性分组码及其性质。

例10.3.1 (7,4)二进制线性分组码的输入信息组（又称信息段）是m ()0123m m m m =,编码输出A ()0123456a a a a a a a =，已知码组到信息间的映射关系为

⎪⎩⎪

⎨⎧++=++=++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧====o o

o o

m

m m a m m m a m m m a m a m a m a m a 1323112323142536监督位

信息位

求输出码组集合（这里，“+”指模二加）。

解：将由线性方程组描述的输入输出码元之间的线性变换关系改写成矩阵形式：

A []⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=00010110010101010011010001110123m m m m （模2加） = mG

码长7=n 的码组有12827=种组合，而4位的信息组只有1624=种组合，对应16个码组。可见，该(7,4)线性分组码仅有16个许用码组。分别令信息组

()0123m m m m 为（0000），（0001），…，（1111），代入上面的矩阵算式，不难算得

各信息组对应的码组，列于表10.3.1 。

表10.3.1 反映出线性分组码所具备的基本性质： (1) 一个()k n ,线性分组码共有k 2个（许用）码组；

(2) 对加法满足封闭性，即线性分组码中任意两个码组之和（模2加）仍是分组码中的一个码组；

(3) 全零码是线性分组码中的一个码组；

(4) 线性分组码各码组之间的最小码距，等于除全零码外的码组的最小重量。

10.3.2 生成矩阵及其特性

在例10.3.1的编码过程中，核心的因素是矩阵G ，它决定了变换规则，也决定了码组集合和性质。

不失一般性，令011,,m m m k -是一组（k 个）二进制信息码元，它可看成是一个k ⨯1的矩阵m []011m m m k -=，或 m ()011m m m k -=。编码后，输出码组长度增大到n ,通常将码组写成通式A ()01,1a a a n -=。则线性分组码的编码运算可以用矩阵形式表示为：

A ()011,,,a a a n -=

()()()()()()()⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡=-------000110101111011111011g g g g g g g g g m m m n n k k n k k

= m G （10.3.1）

3

式中，G 称为该码的生成矩阵，是n k ⨯（k 行n 列）阶矩阵：

G []()()()()()()

⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡==-------000110101111011111011g g g g g g g g g g g g n n k k n k T

k （10.3.2） 其中，系数{}0,1ij g ∈，

1,,1,0i k =-（；1,

,1,0)j n =-表示第i 个信息元i m 对

第j 个码元的影响。

如例10.3.1中的生成矩阵G 是47⨯阶矩阵；G 中系数为1表示信息元对码元会产生影响，系数为0表示无影响。如G 中的第5列是()1110T

，表示321m m m 对2a 产生影响，而0m 对2a 无影响。

归纳起来，生成矩阵G 具有以下特性：

(1) 线性分组码的每个码组都是生成矩阵G 各行矢量的线性组合。因为按分块矩阵运算法则将式（10.3.2）展开，可得

A 001111g m g m g m k k +++=-- （10.3.3） 或

()0,1,,1,0011,11 -=+++=--n j g m g m g m a j j j k k j （10.3.4）

在例10.3.1中，有

A ()()()()00010110010101010011010001110123m m m m +++=

(2) 生成矩阵G 的各行本身就是一个码组，且它们是线性无关的。

由特性(1)和(2)得到的启示是：如果已有k 个线性无关的码组，则它们的线性组合就能产生k 2个码组所构成的集合。

(3) 如果生成矩阵G 具有[]Q I k 的形式，其中k I 为k 阶单位方阵，Q 是

()k n k -⨯阶矩阵，则称G 为典型生成矩阵。由典型生成矩阵得出的码组称为系

统码。在本章，系统码的码组中前k 个是信息位，后k n -是监督位，如图10.1.3所示。

如例10.3.1中，生成矩阵能分解成

G ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=0111011101110001001001001000

(4) 非典型生成矩阵可以通过线性代数中的任何一种初等行变换和列交换，得到典型生成矩阵。

10.3.3 监督矩阵及其特性

若将例10.3.1中的监督位线性方程组表示成

⎪⎩⎪

⎨⎧++=++=++=346035614562a

a a a a a a a a a a a （10.3.5） 即

⎪⎩⎪

⎨⎧=+++=+++=+++0

000346

13562456a a a a a a a a a a a a （10.3.6）

写成矩阵形式

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0001011001110101011101000123456a a a a a a a （模2加） （10.3.7） 令

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=101100111010101110100H 则有

0T HA = 或 0T AH = （10.3.8）

我们将H 称为监督矩阵（又称校验矩阵）。推广到n 维一般情况，H 是一个

()n k n ⨯-阶矩阵。

监督矩阵H 的特性是：

(1) 线性分组码的任意码组A 正交于监督矩阵H 的任意一个行矢量，即 0T AH = （10.3.9）

(2) 监督矩阵H 的各行是线性无关的。

(3) 若H []r I P =，其中P 是n r ⨯阶矩阵，r I 为r 阶单位方阵，则称H 矩阵为典型阵。

(4)监督矩阵H 与生成矩阵G 的关系