2007年高考理科数学试题及答案(全国卷1)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）
数学（理科）试卷
（河北 河南 山西 广西）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
)2,1,0()1()(1n k p p C k P k n k n ，⋯=-=-
球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 33
4
R V π= 其中R 表示球的半径
一、选择题
1．a 是第四象限角，5
tan 12
α=-
，则sin α= A ．
5
1 B ．51-
C ．
13
5 D ．13
5-
2．设a 是实数，且
2
11i
i a ++
+是实数，则a ＝ A ．
2
1
B ．1
C ．
2
3 D ．2
3．已知向量a ＝（－5，6），b ＝（6，5），则a 与b
A ．垂直
B ．不垂直也不平行
C ．平行且同向
D ．平行且反向
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为
A ．
11242
2=-y x
B ．14122
2=-y x C ．16
102
2=-y x
D ．
110
62
2=-y x 5．设R ,∈b a ，集合{
}=-⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=+a b b a b a b a 则,,,0,,1 A ．1
B ．－1
C ． 2
D ．－2
6．下面给出的四个点中，到直线x －y+1=0的距离为
22
，且位于x y 10,x y 10
+-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是 A ．（1，1） B ．（－1，1） C ．（－1，－1） D ．（1，－1）
7．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所
成角的余弦值为
A ．
5
1
B ．
52 C ．
5
3 D ．
5
4 8．设a>1，函数x x f log,)(=在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差为2
1
，则a= A ．2
B ．2
C ．22
D ．4
9．)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，)()()(x g x f x h +=，则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的
A ．充要条件
B ．充分而不必要的条件
C ．必要而不充分的条件
D ．既不充分也不必要的条件
10．2
n
1(x )x
-的展开式中，常数项为15，则n ＝ A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．抛物线x y 42
=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点
A ，,l AK ⊥垂足为K ，且△AKF 的面积是
A ．4
B ．33
C ．43
D ．8
12．函数2cos
2cos )(2
2
x
x x f -=的一个单调增区间是 A ．（
π2π
,33
） B ．（
2
,6ππ） C ．（π0,
3） D ．（－ππ
,66
）
第Ⅱ卷（非选择题 共95分）
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3．本卷共10题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。

13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种。

（用数字作答）
14．函数)(x f y =的图像与函数3y log x(x =>0）的图像关于直线x y =对称，则()f x = 。

15．等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则{a n }的公比为 。

16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。

已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a=2bsinA 。

（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求C A sin cos 的取值范围。

18．（本小题满分12分）
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ζ的分布列为
ζ 1 2 3 4 5 P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元。

η表示经销一件该商品的利润。

（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P （A ）； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η。

19．（本小题满分12分）
四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC BC =2
2，SA ＝
⊥底面ABCD 。

已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，SB ＝3。

（Ⅰ）证明：SA ⊥BC ；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小。

20．（本小题满分12分） 设函数f （x ）＝e x －e
－ x。

（Ⅰ）证明：f （x ）的导数f ＇（x ）≥2；
（Ⅱ）若对所有x ≥0都有f （x ）≥ax ，求a 的取值范围。

21．（本小题满分12分）
已知椭圆12
32
2＝＋y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交椭圆于B 、D 两点，过F 2的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P 。

（Ⅰ）设P 点的坐标为（x 0，y 0），证明：12
320
20<y x ＋； （Ⅱ）求四过形ABCD 的面积的最小值。

22．（本小题满分12分）
已知数列{a n }中a 1＝2，a n ＋1＝（12－）（a n ＋2），n ＝1，2，3…。

（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }中b 1＝2，b n ＋1=
3
24
3＋＋n n b b ，n ＝1，2，3，…，证明：
n 4n 3b a n 1 23-≤，＝，，，
…。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）
数学（理科）试卷
参考答案
一、选择题： 1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．C 7．D
8．D
9．B
10．D
11．C
12．A
二、填空题： 13．36
14．3()x
x ∈R
15．
1
3
16．三、解答题： 17．解：
（Ⅰ）由a=2bsinA ，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以1sin 2
B =
， 由ABC △为锐角三角形得π6B =。

（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-
- ⎪6⎝
⎭
cos sin 6A A π⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
1cos cos 22A A A =++
3A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭。

由ABC △为锐角三角形知，
22A B ππ->-，2263B ππππ
-=-=。

2336
A πππ<+<，
所以
1sin 232
A π⎛⎫+<
⎪⎝⎭。

3A π⎛
⎫<+< ⎪⎝
⎭
所以，cosA+sinC 的取值范围为322⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，。

18．解：
（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”。

知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
2()(10.4)0.216P A =-=，
()1()10.2160.784P A P A =-=-=。

（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元。

(200)(1)0.4P P ηξ====，
(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，
(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=。

η的分布列为
2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯
=240（元）。

19．解法一：
（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD 。

因为SA=SB ，所以AO=BO ，
又45ABC =o
∠，故AOB △
为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，
故SA AD ⊥，由
AD BC ==SA =
AO
=
SO=1，SD =。

△SAB 的面积
112S AB ==
连结DB ，
得△DAB 的面积21
sin13522
S AB AD =
=o g 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S
ABD V V --=，得
1211
33
h S
SO S =g g
，
解得h =
设SD 与平面SAB 所成角为α
，则sin 11h SD α=
==。

所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin 。

解法二：
（Ⅰ）作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结SO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD 。

O
D
B
C
A
S
因为SA=SB ，所以AO=BO 。

又45ABC =o
∠，△AOB 为等腰直角三角形，AO ⊥OB 。

如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O —xyz ，
0)A ，
，(0B
，(0C ，，S （0，
(0CB =u u u r
，0SA CB =u u r u u u r g ，所以SA ⊥BC 。

（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，
连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭，，。

1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，，
(AB =。

0SE OG =g ，0AB OG =g ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直。

所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余。

D ，(DS =。

cos 11
OG DS OG DS
α=
=
g g sin β=，
所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11。

20．解：
（Ⅰ）f （x ）的导数()e e x
x
f x -'=+。

由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥。

（当且仅当0x =时，等号成立）。

（Ⅱ）令g （x ）= f （x ）-ax ，则
()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，
（ⅰ）若2a ≤，当x >0时，()e e
20x
x
g x a a -'=+->-≥故g （x ）在(0)+，∞
上为增函数，
所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥。

（ⅱ）若a>2，方程g’（x ）=0
的正根为1ln x =
此时，若1(0)x x ∈，，则g’（x ）<0，故g （x ）在该区间为减函数。

所以，1(0)x x ∈，时，g （x ）< g （0）=0，即f （x ）<ax ，与题设()f x ax ≥相矛盾。

综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，。

21．证明：
（Ⅰ）椭圆的半焦距1c =
=，
由AC ⊥BD 知点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，故22
001x y +=，
所以，2222
00021132222
y x y x ++=<≤。

（Ⅱ）（ⅰ）当BC 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为y=k （x+1），代入椭圆方程22
132
x y +=，并化简得2
2
2
2
(32)6360k x k x k +++-=。

设B （x 1，y 1），D （x 2，y 2）11()B x y ，，22()D x y ，，则
2122632k x x k +=-+，212236
32
k x x k -=+
12BD x x =-==g ；
因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1
k
-
，
所以，2211132k AC k
⎫+⎪
⎝⎭==⨯+。

四边形ABCD 的面积
222222222124(1)(1)962(32)(23)25
(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦
g ≥。

当k 2=1时，上式取等号。

（ⅱ）当BD 的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积S=4。

综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625。

22．解： （Ⅰ）由题设：
11)(2)n n a a +=+
1)(1)(2n a =+
1)(n a =-
11)(n n a a +=。

所以，数列{n a
是首项为2
1的等比数列，
1)n n a =，
即a n
的通项公式为1)1n
n a ⎤=
+⎦，n=1，2，3……。

（Ⅱ）用数学归纳法证明。

（ⅰ）当n=1
2<，b 1=a 1=2，所以
11b a <≤，结论成立。

（ⅱ）假设当n=k
43k k b a -<≤，
也即430k k b a -<。

当n=k+1时，
134
23
k k k b b b ++=
+
(3(423k k b b -+-=
+
(3023
k k b b -=
>+，
又
1323k b <=-+，
11 / 11 所以
1(323
k k k b b b +-=+
2(3(k b <-
4431)(k a -≤
41k a +=n=k+1
43n n b a -<≤，1
23n =，，，…。