小波变换的发展简史

从时频分析方法发展的角度出发（对比每种方法的优缺点），简述了小波变换的
发展历史。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet 在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。

与Fourier 变换、窗口Fourier 变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。

1．小波分析的3个特点：
• 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。

有利于分析确定时间发生的现象。

（傅里叶变换只具有频率分析的性质）
• 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）
• 小波变换比快速Fourier 变换还要快一个数量级。

信号长度为M 时， Fourier 变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：
M O M M O w f ==,
log 2 小波基表示发生的时间和频率：
4.信号的时频分析：
• 信号时频分析的重要性：
- 时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。

- 信号的时域和频域之间具有紧密的联系。

• 信号时频分析的主要方法：
t d e (t)f )(F -t j -⎰+∞∞=ωω
傅里叶变换
（Fourier ）基
小波基
时间采样基
ωωπωd e )(F 21(t)f -t j ⎰+∞∞
= 3. 傅里叶变换
（一）傅里叶变换伟大贡献及其局限性：
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。

其原因是傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。

遗憾的是，这种理论具有一定的局限性。

（1）傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数,不随时间 t 变化。

因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反地在处理非平稳信号时会带来很大误差甚至与实际情况大相径庭。

在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间间隔内，高频信号衰减了而低频信号尚未衰减。

所以，在不同时刻信号的频谱成分是不同的，硬要用傅立叶变换找出所有时刻的频谱成分，硬要把幅值的变化用频率的变化来补偿，不仅高频的傅立叶系数有误差低频的傅立叶系数也有很大误差，包括求出的频率当然也有误差。

（2）求傅立叶系数是全时间域上的加权平均。

局部突变信息被平均掉了，局部突变信息的作用很难反映出来 （好比吃大锅饭，平均主义）。

差别很大的信号，如方波、三角波、正弦波都可以得到相同的频率，所以处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏度很差。

处理、捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换。

为了克服以上两点局限性，这就要求： ①将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重； ②使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用有所谓紧支撑的函数，即 “小波函数” 或加窗傅立叶变换的窗函数。

（二）Garbor 变换——窗口Fourier 变换：
在时间--频率分析中，Fourier 变换公式的不足已经被 D. Garbor 注意到了，在 1946 年的论文中，为了提取信号的 Fourier 变换的局部信息，引入了一个时间局部化的 Gaussian 函数作为“窗函数”g （t -b ）其中参数b 用于平移动窗以便覆盖整个时间域。

因为一个 Gaus -
sian 函数的 Fourier 变换还是 Gaussian 函数，所以Fourier 逆变换即频率也是局部的。

（三）傅立叶变换的缺点：
• 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。

• 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。

• 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。

由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。

4. 小波变换
（一）小波变换的分类：
• 连续小波变换
- 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。

• 离散参数小波变换
- 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。

• 离散小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。

（二）克服傅里叶变换的不足：
（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标j，在不同时刻k，小波系数也是不同的。

（2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑的性质即某一区间外为零。

这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。

从而克服了上面所述的第二个不足。

（3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿积。

小波变换的“时间--频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽。

这正是时间--频率分析所希望的。

根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。

如，选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。

然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。

再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。

为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数，重点是首先要选好小波函数。

（三）小波变换各阶段发展史：
（1）1910 年，Haar 提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar 正交基。

Haar 正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。

优点：Haar 小波具有最优的时（空）频域分辨率。

缺点：Haar 小波基石非连续函数，因而Haar 小波变换的频域分辨率非常差。

（2）1987 年，Mallat 将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat 算法）。

他标志着第一代小波的开始。

先滤波，再进行抽二采样（抽取）。

优点：Mallat 算法在小波分析中的地位相当于FFT 在经典傅里叶分析中的地位。

他是小波分析从纯理论走向实际应用。

缺点：以傅里叶变换为基础，直接在时（空）域中设计滤波器比较困难，并且计算量大。

（3）1992 年，Coifman 和Wickerhauser 提出了小波包（Wavelet Packet，WP）分析。

不仅对低通子带进行分解，而且也对高通分量分解，从而聚焦到感兴趣的任意频段。

优点：突破了小波分析对信号频带进行等Q 划分的局限性。

缺点：最优基德搜索问题。

（4）1993 年，Goodman 等基于r 阶多尺度函数及多分辨分析建立了多小波（multi-wavelet）理论框架。

将单个小波中由多个尺度函数生产的多分辨率空间扩展为由多个尺度函数生成，以此获取更大的自由度。

优点：与“二带”小波、小波包、多带小波等单尺度小波相比，多小波在非常窄的紧支范围内同时具有光滑性、正交性、对称性、李普希茨Lipschitz 连续性（消失矩）等特性。

（5）1995 年，Sweldens 等提出了一种新的小波构造算法——提升方案（Lifting Scheme）。

它标志着第二代小波的开始。

先将原始离散样本信号进行奇
偶剖分，然后对奇偶样本点进行滤波处理。

优点：所有的第一代小波都可以用提升方案构造出来。

具有运算速度快、对内存需求量效、实现整整变换等特点。

缺点：对于边缘、轮廓和纹理等具有高维奇异性的几何特征，小波不是表示图像的最优基。

（6）1997 年，Meyer 和Coifmen 提出了Brushlet 变换，即一种自适应频带分割方法。

优点：非常适合描述周期纹理图像。

缺点：对于分片光滑图像边缘不能提供稀疏表示。

（7）1998 年，Candés 和Donoho 提出了连续脊波（Ridgelet）变换利用Radon 变换将一维奇异特征（线奇异）映射为零维奇异特征（点奇异），然后进行小波变换。

优点：Ridgelet 变换时表示具有线奇异性的多变量函数的最优基。

缺点：对图像曲线边缘的描述，其逼近性能只能相当于小波变换
（8）1999 年，美国学者Monoho 提出了楔波变换（Wedgelet Transform），Wedgelet 是定义在正方形区域上的分片二值函数，该区域被一条直线分成两个楔块，直线的方向可以根据边缘的方向调节，用一系列不同尺寸不同方向的Wedgelet 可以逼近图像的边缘轮廓。

优点：使用多尺度Wedgelet 对图像轮廓进行近分段线性近似，能够较好地捕捉图像中线和面的特征。

缺点：没有基于临界采样的滤波器组（临界采样对于压缩时很方便的）。

（9）1999 年，美国斯坦福大学的David L.Donoho 教授提出了小线（Beamlet）变换。

以各种方向、尺度和位置信息的小线段为基本单元建立小线库，沿小线库中小线段对目标图像进行线积分产生小线变换系数，以小线金字塔方式组合变换系数，再以小线图结构为驱动从小线金字塔中提取小线变换系数，从而实现多尺度分析。

优点：对于处理强噪声背景的图像有无可比拟的优势。

缺点：小线库（字典）、小线金字塔扫描等小线变换的前期准备工作过于庞大，需要简化以利于研究。

（10）2000 年，法国学者Penec 和Mallat 提出了第一代Bandelet 变换。

根据图像内容将图像分割成大小不一的矩形块，变化剧烈的区域用多一些的小矩形块分割，而变化缓慢的区域用少一些的大矩形块分割。

对每一个矩形块应用和边缘同向德几何流对其进行描述。

把分割方式和几何流模型作为参数，去优化一个给定的目标函数，从而得到该图像的最优表示。

优点：能够自适应地跟踪图像的几何正则方向，适合图像压缩应用。

能够对图像不同变化区域给以不同的处理，并抛弃“边缘”这一不易于从数学上界定的概念，转而采用“几何流”这样一个反应图像连续区域变化的概念。

缺点：没有基于临界采样的滤波器组。

（11）2001 年，Cohen 和Matei 提出了边缘自适应多尺度变换（Edge_adapted
Multiscale Transform）基于边缘方向检测的非线性多尺度变换。

其有点就是用于图像压缩，重构图像边缘处的视觉效果明显优于小波变换。

（12）2003 年，Wakin 等提出了Wedgeprint 的图像稀疏表示方法。

利用Wedgelet 字典（Wedgelet Dictionary）来描述图像边缘产生的小波系数。

优越
之处就是能够得到比小波和Wedgelet 更为稀疏的图像表示方法。

（13）2005 年，Peyre 和Mallat 提出了第二代Bandelet 变换。

普通的二维小波变换加上几何正交投影。

其优点为不需要计算几何流，算法更简洁。

（14）2005 年，Velisavljevic 等基于整数格点理论提出了一种可分离多方向多尺度图像表示方法——Directionlet。

利用拉格朗日优化算法对图像进行最优分块操作，每块图像采用不同方向的Directionlets 来表示。

优点：各向异性基函数Directionlets 在沿着任何两个有着合理斜率的方向上都有方向消失矩。

（15）2007 年，YueLu 和M.N.Do 提出了多维方向滤波器组（N-Dimensional Directuinal Filter Banks，NDFB）的Surfcelet 变换。

多尺度分解（采用新的塔式结构）+NDFB（三维信号时的3D-DFB）。

首先对信号进行多尺度分解以捕获奇异变化，接着由NDFB 的奇异变化合成为一个系数。

有效地捕捉和表示高维信号中的曲面奇异。