二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
x值的增大而减小？
例3、若点（ - 1 2
，y1），（
3 2
，y2），（4 ，y3）在二次函数y=2x2-8x+6
的图像上，试比较y1，y2，y3的大小。
探索新知3：y=ax2+bx+c( a≠0）的图像与a、b、c及b2-4ac的符号关系：★★
字母 项目 字母的符号
图像的特征
a b c b2-4ac
直击中考：
继续努力！难度 加大了哦！
3、（2014甘肃兰州，14,4分）二次函数y=ax2+bx+c( a≠0）的图像如图
所示，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是：（ D ）
A. abc<0
B. 2a+b=0
C. b2-4ac>0
D. a-b+c>0
4、（2013河南，14，3分） 如图抛物线的顶点为P（-2,2），与y轴交于 点A（0,3），若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P´（2，-2）， 点A的对应点为A´，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为？
2.2.4 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
兰州市第二十二中学 李琼
探索新知1：二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k( a≠0）的关系：★
用配方法将二次函数y=ax2+bx+c（一般式）化为y=a(x-h)2+k（顶点式）。
结论：二次函数y=ax2+bx+c一般式化为顶点式为
a＞0 a＜0 b=0 ab＞0 ab＜0 c=0 c＞0 c＜0 b2-4ac=0 b2-4ac>0 b2-4ac<0
_二次函数y=ax2 bx c的图象和性质
二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，与抛物线y=ax ²的形状相同，位置不同。
利用配方法能够将y=ax ²+bx+c 转化为顶点式，即：a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y 442222222222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的性质 a 的符号a>0a<0图象开口方向 向上向下对称轴abx 2-= ab x 2-= 顶点坐标(ab 2-, a b ac 442-)(ab 2-, a b ac 442-)增减性✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而减小； ✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而增大； ✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大；✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而减小； 最值当a bx 2-=时，y 有最小值，a b ac y 442-=当abx 2-=时，y 有最大值，ab ac y 442-=例1：已知二次函数422++-=x x y 1) 确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴2) 当x 取何值时，y 随着x 的增加而增大？当x 取何值时，y 随着x 的增加而减小？知识点二：抛物线y=ax ²+bx+c 与系数的关系抛物线在坐标系内的位置与系数a ，b ，c 的符号有着密切的联系，知道图象的位置能够确定a ，b ，c 的符号；反过来，由a ，b ，c 的符号能够确定抛物线的大致位置。
它们之间的关系如下：系数 图象的特征 系数的符号a开口向上 a>0 开口向下 a<0 b对称轴为y 轴b=0 对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号 对称轴在y 轴右侧a ，b 异号 c经过原点c=0 与y 轴正半轴相交 c>0 与y 轴负半轴相交c<0例2：抛物线c bx 2++=ax y 经过点(-1, 0)，对称轴l 如以下列图所示。
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
◆本节课内容一、二次函数y=ax2+bx+c1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。
它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。
方法二：平移法利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；（2）作出二次函数y=ax2的图像；（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数y=ax2+bx+c的图像。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。
三、二次函数解析式的求法求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。
◆课堂练习题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。
题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。
设t=a+b+1，则t 的取值范围是（）A、0＜t＜1B、0＜t＜2C、1＜t＜2D、－1＜t＜1题型三、二次函数图像平移规律的直接应用3、抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到抛物线y=－2x2，平移的方法是（）A、向左平移1个单位，再向下平移3个单位B、向左平移1个单位，再向上平移3个单位C、向右平移1个单位，再向下平移3个单位D、向右平移1个单位，再向上平移3个单位题型四、根据抛物线的平移求字母的值4、已知抛物线y=x2+4x+1向上平移m（m＞0）个单位得到的新抛物线过点（1,8），求m的值1题型五、利用二次函数y=ax2+bx+c的图像判断各项系数的符号5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么abc，2a+b，a+b+c这3个代数式中，值为正数的有（ c ）A、3个B、2个C、1个D、0个题型六、利用二次函数的性质比较函数值得大小6、若A（－4，y1），B（－3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x－5的图像上的三点，则y1，y 2，y3的大小关系是（）题型七、利用二次函数的增减性求字母的取值范围7、已知二次函数y=x2-（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，求m的取值范围。
y=ax的平方加bx加c的图像和性质
y=ax的平方加bx加c的图像和性质
图像与性质：
y = ax2 + bx + c 是一个经典的二次函数，它可以用来描述平面上一点到另一点之间的距离。
它的图像与性质如下：
一、图像特点
1. 当a>0时，y=ax2+bx+c的图像是一个凹曲线，顶点的坐标是(x0,y0)，其中：x0=-b/(2a);y0=ax02+bx0+c;
2. 当a<0时，y=ax2+bx+c的图像是一个凸曲线，顶点的坐标是(x0,y0)，其中： x0=-b/(2a)；y0=ax02+bx0+c;
3. y=ax2+bx+c的图像是一条轴对称曲线，其轴线是x轴；
4. y=ax2+bx+c的图像两端是无限接近的，在（-∞，+∞）范围内恒定有
一个极值点；
二、性质
1. 当a>0时，y=ax2+bx+c的图像是一条凹曲线，凹曲线的凹区位于顶
点以左右两侧；
2. 当a<0时，y=ax2+bx+c的图像是一条凸曲线，凸曲线的凸区位于顶点以左右两侧；
3. y=ax2+bx+c的图像一定是轴对称曲线；
4. y=ax2+bx+c的图像一定有一个极值点；
5. 对于任意指定的x坐标，图像在该点的切线斜率为2ax+b；
6. 对于任意指定的x坐标，图像在该点的切平面方向为2a；
7. 二次函数图像表示的是在直线上具有最优深度的凹凸曲线，也为凸和凹类函数的最佳表示。
二次函数y=ax2bxc的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质一、教材分析二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是高中学习函数的重要基础。
本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，进一步经历探索二次函数图象特征和性质的过程。
教学时应注意引导学生找出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的联系，然后通过观察图像，结合解析式特点，思考和归纳函数图像的特征及其性质，从简单到复杂、从特殊到一般，去理解二次函数顶点式中a,h,k对函数图象的影响；并能正确判断出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，让学生对二次函数y=a(x-h)2+k有一个形象和直观的认识。
二、学生情况分析目前的学生课堂学习不够专注，缺乏数学思维，因而导致他们的数学基础较差、学习信心不足、兴趣不大，有的学生感到学习数学很困难。
三、教学目标分析知识目标：1能够正确作出二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象；2理解二次函数关系式中系数a,h,k对函数图象的影响；3能够正确指出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标。
能力目标：1、在精心设计的问题引领下，通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；2、通过观察图象，发现函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力；3、通过小组合作，进一步培养学生的数学探究能力。
情感价值观目标：让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的自信心，感受数学的美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重难点：能够正确作出y=a(x-h)2+k的图象，并抽象出它的图象特征和性质。
四、教法学法分析采用“问题引领，小组学习”的教学模式实施教学。
让学生在正确作出二次函数图象之后，抽象出二次函数y=a(x-h)2+k中系数与图象之间的关系。
先鼓励学生在问题引领下，独立思考，解决问题；然后把出现的问题带到小组学习中去，经过学习小组或全班集中展示交流，师生合作点评，推导出结论并达成共识。
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数，又称之为平方函数，它是最基本的解析函数之一。
它的标准形式是y=ax2＋bx＋c，其中a,b, c是实数，a≠0。
二次函数的图像是根据函数表达式的特性来推断的，只要我们把函数上的点代入进函数的表达式，并确定函数的拐点，就可以找出图形的形状。
一般来说，当a>0时，二次函数的图像是一条“U”形(有可能是拱状或者凹状)，当a<0时，二次函数的图像是一条蛇形抛物线(有可能是凸状或者凹状)，沿X轴的对称轴是当x=－b/2a时，它的最高点或者最低点是（－b/2a,f (－b/2a))。
二次函数不仅表示物理现象，也可以表示天文现象，甚至于在经济学中也有运用。
从数学上来讲，它具有众多的特性和性质，如：
A、二次函数有且只有两个极值，可能是极大值或极小值；
B、当a > 0时，函数有一个唯一的最小值点，沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
C、当a < 0时，函数有一个唯一的最大值点，同样沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
D、当x→±∞时，函数值→±∞，即它是一个可以到达正负无穷远处的无限延伸曲线。
以上就是二次函数的图像与性质，只要我们掌握了它的一般形式与特性，就可以很容易的根据题设的条件把它画出来，用它来描述和解决各种实际问题，它是一种有效的数学工具。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
二、图象特征
（1）二次函数 y ax 2 bx c（a 0) 的图象是一条抛物线。
顶点坐标是（ -
b 2a
, 4ac b 2 4a
），对称轴是直线
x
b 2a
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
2a
4a
y x
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
y
x
开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值
向上
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的 右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的 右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时, 最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的 右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, 最大值为 4ac b2
2a
4a
三、确定二次函数的表达式
（1）一般式（知三点）：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
-5
顶点坐标：（2，1）
1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是 ，
与x轴的交点坐标是
(。1,0)或（3，0）
抛物线与y轴的交 点有什么特征？
(0,3)
抛物线与x轴的交 点有什么特征？
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
(1) y 3x2 2x (2) y x2 2x
(3) y 2x2 8x 8
开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a
2
2
1 2
2
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
顶点坐标：（2，1）
y
1 2
x2
-
2
x
3
（1） y 2x2 - 12x13
解：a
1 2
0
开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a
2
2
1 2
2
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
顶点坐标：（2，1）
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通 过上下和左右平移得到.
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k
的图象和性质，能否利用这些知识
来讨论二次函数 y 1 x2 6x 21图象和
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
人教版九年级数学上册22.2：二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课件 (共46张PPT)
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
方法归纳
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时,y有最大(最小)
值 y= 4ac－b2
______________________
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
的平方
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
b
2
4ac
b2
.
化简:去掉中括号
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax2 bx c的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:( b , 4ac b2 ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
D. 4ac-b2 >0-1 o 1 x 4a
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
5.2二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax^2 bx c的图像和性质(教学课件)-初中数
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质-2023年新九年级数学(人教版)(解析版)
二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质【知识梳理】一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 对照，可知，．∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．要点诠释：加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．2(0)y ax bx c a =++≠=−+≠2()(0)y a x h k a 2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++−+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a −⎛⎫=++⎪⎝⎭2()y a x h k =−+2b h a =−244ac b k a−=2y ax bx c =++2b x a =−24,24b ac b aa ⎛⎫−− ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质向上 向下直线 直线 2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠20()y ax bx c a =++≠2b x a=−b x =−2.二次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点诠释：减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，；当x ＝x 1时，，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当值的情况．20()y ax bx c a =++≠2(0)y ax bx c a =++≠2bx a=−244ac b y a−=最值222y ax bx c =++最大值211y ax bx c =++最小值【考点剖析】题型一、二次函数的图象与性质例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案与解析】 解法1（配方法）：．∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 解法2（公式法）：∵ ，，，∴ 11122()2b x a=−=−=⨯−，． ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 解法3（代入法）：∵ ，，， ∴ ． 将代入解析式中得，． ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入2(0)y ax bx c a =++≠2142y x x =−+−2221114(2)4(211)4222y x x x x x x =−+−=−−−=−−+−−211(1)422x =−−+−217(1)22x =−−−71,2⎛⎫−⎪⎝⎭1x =12a =−1b =4c =−2214(4)147214242ac b a ⎛⎫⨯−⨯−− ⎪−⎝⎭==−⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭71,2⎛⎫−⎪⎝⎭1x =12a =−1b =4c =−111222bx a=−=−=⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭1x =21711422y =−⨯+−=−71,2⎛⎫−⎪⎝⎭1x =24,24b ac b aa ⎛⎫−− ⎪⎝⎭解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 【变式1】把一般式化为顶点式． （1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.例2．二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax 2+bx +c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论． 【答案】A ．【解析】解：∵y=ax 2+bx +c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，三象限．2286y x x =−+−故选A ．【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可 以判断a 、b 的取值范围．【变式1】 抛物线与y 轴交于(0，3)点： (1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？ (4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 【答案与解析】(1)由抛物线与y 轴交于(0，3)可得m ＝3． ∴ 抛物线解析式为，如图所示．(2)由得，． ∴ 抛物线与x 轴的交点为(-1，0)、(3，0)． ∵ ， ∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．(3)由图象可知：当-1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方． (4)由图象可知：当x ≥1时，y 的值随x 值的增大而减小．【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁． (1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m 的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线； (2)令y ＝0可求抛物线与x 轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标； (3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，2(1)y x m x m =−+−+2(1)y x m x m =−+−+223y x x =−++2230x x −++=11x =−23x =2223(1)4y x x x =−++=−−+【变式2】某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A. -11 B. -2 C. 1 D. -5 【答案】D.提示：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x 2+1 x=2时y=﹣11，故选：D ．题型二、二次函数的最值例3．求二次函数的最小值. 【答案与解析】解法1(配方法)：∵，∴ 当x ＝-3时，． 解法2(公式法)：∵ ，b ＝3， ∴ 当时，．解法3(判别式法)：∵ ，∴ ．2(0)y ax bx c a =++≠211322y x x =++2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++−+21(3)42x =+−4y =−最小102a =>12c =331222b x a =−=−=−⨯22114341922414242ac b y a ⨯⨯−−−====−⨯最小211322y x x =++26(12)0x x y ++−=∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4． ∴ y 有最小值-4，此时，即x ＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度 灵活去选择．【变式1】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形场地的面积S 最大？ 【答案】（0<L <30）．（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．【变式2】分别在下列范围内求函数的最大值或最小值． (1)0＜x ＜2； (2)2≤x ≤3． 【答案与解析】∵ ， ∴ 顶点坐标为(1，-4)．(1)∵ x ＝1在0＜x ＜2范围内，且a ＝1＞0， ∴ 当x ＝1时y 有最小值，．∵ x ＝1是0＜x ＜2范围的中点，在x ＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值． (2)∵ x ＝1不在2≤x ≤3范围内(如图所示)，又因为函数(2≤x ≤3)的图象是 抛物线的一部分，且当2≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，∴ 当x ＝3时，；当x ＝2时，．2690x x ++=(30)S L L =−2(30)L L =−−2(15)225L =−−+15L ∴=223y x x =−−2223(1)4y x x x =−−=−−4y =−最小值223y x x =−−223y x x =−−232330y =−⨯−=最大值222233y =−⨯−=−最小值【总结升华】先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取 值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x ≤3为图中实线 部分，易看出x ＝3时，；x ＝2时，．题型三、二次函数性质的综合应用例4．已知二次函数的图象过点P(2，1)． （1）求证：； （2）求bc 的最大值． 【答案与解析】（1）∵ 的图象过点P(2，1)， ∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．（2）． ∴ 当时，bc 有最大值．最大值为2．【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b 、c 的关系即可． （2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc ，利用函数性质求解． 【变式1】如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0． 其中正确的个数有（ ）223y x x =−−0y =最大值3y =−最小值2(0)y ax bx c a =++≠21y x bx c =+++24c b =−−21y x bx c =+++22(24)2(2(1)2bc b b b b b =−−=−+=−++1b =−A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．【变式2】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【思路点拨】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【答案】D．【解析】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，，∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a ＞；故④正确 ⑤∵a ＞0，∴b ﹣c ＞0，即b ＞c ；故⑤正确； 故选：D ．【总结升华】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 【变式3】一条抛物线经过A （2，0）和B （6，0），最高点C 的纵坐标是1． （1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D ，抛物线与y 轴的交点为E ，请你在抛物线上另找一点P(除点A 、B 、C 、E 外)，先求点C 、A 、E 、P 分别到点D 的距离，再求这些点分别到直线的距离； (3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律． 【答案与解析】(1)由已知可得抛物线的对称轴是． ∴ 最高点C 的坐标为(4，1)．则 解得∴ 所求抛物线的解析式为． 列表：描点、连线，如图所示：2y ax bx c =++x 2y =4x =420,3660,164 1.a b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1,42,3.a b c ⎧=−⎪⎪=⎨⎪=−⎪⎩21234y x x =−+−（2）取点（-2，-8）为所要找的点P ，如图所示，运用勾股定理求得ED ＝5，PD ＝10， 观察图象知AD ＝2，CD ＝1，点E 、P 、A 、C 到直线y ＝2的距离分别是5、10、2、1． （3）抛物线上任一点到点D 的距离等于该点到直线y ＝2的距离．【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点． (2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，然后运用勾股定理求得．【过关检测】一、单选题1．（2021春·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）将抛物线22()1y x =−+向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为（ ） A ．2(1)3y x =−+ B ．2=(3)1y x −− C ．2(1)1y x =−− D ．2(1)1y x =+−【答案】C【分析】根据抛物线平移的法则：左加右减，上加下减即可得到答案．【详解】解：将抛物线22()1y x =−+向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为22211211()()y x x =−++−=−−，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，根据函数图象的平移法则：左加右减，上加下减进行平移，是解题的关键．2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知二次函数()2y a x m =+与一次函数y ax m =+，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】解：A 、由抛物线可知0a >，0m >，由直线知0a >，0m >，∴A 正确； B 、由抛物线可知0a >，0m <，由直线知0a >，0m >，∴B 错误； C 、由抛物线可知a<0，0m >，由直线知a<0，0m <，∴C 错误； D 、由抛物线可知a<0，0m <，由直线知a<0，0m >，∴D 错误； 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．【答案】A【分析】根据抛物线开口向上，与y 轴交与y 轴负半轴，得到00a c ><，，根据抛物线对称轴为直线1x =，得到20b a =−<，由此即可判断A ；根据当1x =时，0y <，即可判断B ；根据当=1x −时，0y =，即可判断C 、D ．【详解】解：∵抛物线开口向上，与y 轴交与y 轴负半轴， ∴00a c ><，，∵抛物线对称轴为直线1x =，∴12b a −=， ∴20b a =−<，∴0abc >，故A 结论正确，符合题意； ∵当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故B 结论错误，不符合题意； ∵当=1x −时，0y =， ∴0a b c −+=，∴02bb c −−+=，b a c =+∴32b c =，故C 、D 结论错误，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．【答案】D【分析】根据已知条件可得出20ax kx a −−=，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．【详解】解：抛物线()20y ax a a =−≠与直线y kx =交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，2kx ax a =−∴， 20ax kx a −−=∴．12kx x a ∴+=，<0k a ∴．当>0a ，0<k 时，直线y ax k =+经过第一、三、四象限，当0<a ，>0k 时，直线y ax k =+经过第一、二、四象限， 综上所述，y ax k =+一定经过一、四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式．5．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过点(1,0)−，其对称轴为直线1x =．有下列结论：①0abc <；②80a c +<；③若抛物线经过点(2,)t −，则关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c t a ++−=≠的两根分别为2−，4，其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据已知条件得出a<0，2b a =−0>，根据抛物线经过点(1,0)−，得出230c b a a a a =−=−−=−>，即可判断①，根据3c a =−代入②即可判断；根据对称性可得抛物线也经过点()4,t ，即可判断③【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过点(1,0)−，其对称轴为直线1x =． ∴a<0，12b x a =−=，0a b c −+=则2b a =−0>，∴230c b a a a a =−=−−=−> ∴<0abc ，故①正确；∵88350a c a a a +=−=<，故②正确， ∵抛物线经过点(2,)t −，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点()4,t ，∴抛物线2y ax bx c =++与直线y t =的交点坐标为(2,)t −和()4,t ， ∴一元二次方程20(0)ax bx c t a ++−=≠的两根分别为2−，4，故③正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．6．（2023·湖南·统考中考真题）已知()()111222,,,P x y P x y 是抛物线243y ax ax =++（a 是常数，)0a ≠上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线2x =−；②点()0,3在抛物线上；③若122x x >>−，则12y y >；④若12y y =，则122x x +=−其中，正确结论的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据对称轴公式4222b ax a a =−=−=−可判断①；当0x =时，3y =，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到1222+=−x x ，可以判断④．【详解】解：∵抛物线243y ax ax =++（a 是常数，)0a ≠， ∴4222b ax a a =−=−=−，故①正确； 当0x =时，3y =， ∴点()0,3在抛物线上，故②正确； 当0a >时，12y y >， 当0a <时，12y y <，故③错误；根据对称点的坐标得到1222+=−x x ，124x x +=−，故④错误． 故选B ．【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)(,0)A B m −、，且12m <<，，可以得到0a >，1022b a <−<，从而可以得到b 的正负情况，从而可以判断①；继而可得出b a −<，则0a b +>，即可判断②；由图象可知，当1x =−时，0y =，即0a b c −+=，所以有a c b +=，从而可得出0a c <<−，即可判断③；利用12512332⎛⎫−−=− ⎪⎝⎭，再根据1022b a <−<，所以252332b b a a ⎛⎫⎛⎫−−−<−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得12y y <，即可判断④． 【详解】解 ：∵抛物线2y ax bx c =++的图象开口向上， ∴0a >，∵抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)(,0)A B m −、，且12m <<， ∴1022b a <−<，∴0b <，故①正确； ∵1022b a <−<，0a >，∴b a −<∴0a b +>，故②正确；由图象可知，当1x =−时，0y =，即0a b c −+<， ∴a c b += ∵0a >，0b <， ∴0a c <<−，故③正确；∵12512332⎛⎫−−=− ⎪⎝⎭，又∵1022b a <−<，∴252332b b a a ⎛⎫⎛⎫−−−<−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵抛物线2y ax bx c =++的图象开口向上，∴12y y <，故④错误． ∴正确的有①②③共3个， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握根据二次函数图象性质是解题的关键．A ．1个B ．2个【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点，即可判断a b c 、、的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过()10−，，得到45b a c a =−=−，，代入进行求解即可判断②④，根据当2x =时二次函数取得最大值，即可判断③．【详解】解：抛物线的开口向下，<0a ∴，抛物线的对称轴为直线22b x a =−=，>0b ∴，抛物线交y 轴正半轴，0c ∴>，<0abc ∴，故①错误，抛物线的对称轴为直线22b x a =−=，4b a ∴=−，图像过点()10−，，0a b c ∴−+=，5c a ∴=−，()42452470a cb a a a a ∴+−=−−⨯−=<，42a c b ∴+<，故②错误，当2x =时，函数由最大值42a b c ++， 242a b c am bm c ∴++≥++，∴()42a b m am b +≥+（m 为常数），故③错误，()()323425121020b c a a a a a −=⨯−−⨯−=−+=−>，320b c ∴−>，故④正确，综上所述，正确的个数为1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．9．（2023·安徽六安·校考二模）已知抛物线2y ax bx c =++和直线2y x c =+分别交于A 点和B 点，则抛物线()22y b x ax =−−的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】求出求出交点A 、B 的坐标，根据已知图象确定，a 与A 点的横坐标的正负，进而推断新抛物线2(2)y b x ax =−−的图象的开口方向，对称轴位置，从而确定答案．【详解】解：由22ax bx c x c ++=+，得(2)0x ax b +−=，解得，0x =或2b x a −=，抛物线2y ax bx c =++和直线2y x c =+分别交于A 点和B 点，(0,)B c ∴，A 的横坐标为：2ba −，抛物线2y ax bx c =++的开口向上，交点A 在第三象限内，0a ∴>，20ba −<，抛物线2(2)y b x ax =−−中，0a −<，对称轴202bx a −=<，∴此抛物线的开口向下，对称轴在y 轴的左边，符合此条件的图象是C ， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象与性质，关键是由已知条件确定a 和A 点横坐标的取值．A ． ． ． ．【答案】A【分析】根据函数图像的开口大小与y 轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：设21111y a x b x c =++，22222y a x b x c =++，由图像知，10a >，10b <，10c <，20a <，20b >，20c >，21c c >，∴120c c +>，∵函数1y 的图像开口大于函数2y 的图像开口，∴12a a <，∴120a a +<， ∵121222b ba a −>−>， ∴221101b a b a >>>−，∴21b b <−，∴120b b +<，∴()121202b b a a +−>+，∵()()()212121212y y y a a x b b x c c =+=+++++，∴函数12y y y =+的图像是抛物线，开口向下，对称轴在y 轴的右侧，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， A ．图像开口向下，对称轴在y 轴的右侧，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，故此选项符合题意； B ．图像开口向上，故此选项不符合题意；C ．图像对称轴在y 轴的左侧，故此选项不符合题意；D ．图像开口向上，故此选项不符合题意． 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数()20y ax bx c a =++≠的a越大，图像开口越小．二、填空题11．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数223(0)y ax ax a =−++>，若点(,3)P m 在该函数的图象上，且0m ≠，则m 的值为________． 【答案】2【分析】将点(,3)P m 代入函数解析式求解即可．【详解】解：点(,3)P m 在223y ax ax =−++上，∴2323am am =−++，(2)0am m −−=，解得：2,0m m ==(舍去) 故答案为：2．【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．12．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）函数()=−−2y 2x 31的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向_______平移_______个单位，再沿y 轴向_______平移_______个单位得到． 【答案】 右 3 下 1【分析】根据二次函数图象“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：函数()=−−2y 2x 31的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向右平移3个单位，再沿y 轴向下平移1个单位得到，故答案为：右，3，下，1．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．13．（2023·浙江·九年级假期作业）如果三点()111,P y ，()223,P y 和()334,Py 在抛物线26y x x c =−++的图象上，那1y ，2y ，3y 之间的大小关系是______ ． 【答案】231y y y >>/132y y y <<【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：抛物线26y x x c =−++的开口向下，对称轴是直线632x =−=−，∴当3x >时，y 随x 的增大而减小，()111,P y 关于称轴是直线3x =的对称点是()15,y ， 345<<，231y y y ∴>>．故答案为：231y y y >>．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．【答案】②③④【分析】由图，0a >，0c <，02ba −>，得0b <，推知0a bc −<；由2OB OC =知(2,0)B c −，代入2y ax bx c =++，得20(2)(2)a c b c c =-+-+，化简得241b ac −=；将()2,0A −代入2y ax bx c =++得，420a b c −+=，由对称轴得22b ac a =+，解得14a =；将14a =代入241b ac −=得21c b =−． 【详解】解：由图，0a >，0c <，02b a −>，∴0b <∴0a b −>，0a bc −<，故①错误；(0,)C c ，由2OB OC =知(2,0)B c −，代入2y ax bx c =++，得20(2)(2)a c b c c =-+-+，2420ac bc c −+=，化简得，241b ac −=，故②正确； 将()2,0A −代入2y ax bx c =++得，420a b c −+=， 对称轴1(22)22b x c a =-=--，得22b ac a =+，代入上式得，42(22)0a c ac a +-+=，解得14a =，故③正确；将14a =代入241b ac −=得21c b =−，故④正确；综上分析可知，正确的是②③④. 故答案为：②③④.【点睛】本题考查二次函数图象性质，运用数形结合思想，理解图象与方程的联系是解题的关键．【答案】210 【分析】先求出()02C ，，()24D ，，如图所示，作点C 关于x 轴的对称点E ，连接EP DE 、，则()02E −，，然后证明当D 、P 、E 三点共线时P E D P +最小，即CP DP +最小，最小值为DE ，利用勾股定理求出DE 的长即可得到答案．【详解】解：在21222y x x =−++中，当0x =时，2y =，∴()02C ，；∵抛物线解析式为()2211222422y x x x =−++=−−+，∴()24D ，；如图所示，作点C 关于x 轴的对称点E ，连接EP DE 、，则()02E −，，∴PE CP =，∴CP DP PE DP +=+，∴当D 、P 、E 三点共线时P E D P +最小，即CP DP +最小，最小值为DE ，∴CP DP +的最小值==故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当D 、P 、E 三点共线时P E D P +最小，即CP DP +最小，最小值为DE 是解题的关键．16．（2021春·广东广州·九年级广州市育才中学校考阶段练习）关于二次函数223y x ax =−−在22x −≤≤的取值范围内，函数y 的最小值（用含a 的式子表示），下列结论：①当2a <−时，函数y 的最小值14a +；②当2a >时，函数y 的最小值是14a −；③22a −≤≤时，函数y 的最小值是23a −−；④当22a −≤≤，函数y 的最小值23a −+．其中正确的有___（填序号即可）． 【答案】①②③【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据22x −≤≤，即可得到相应的最值，从而可以解答本题．【详解】解：二次函数223y x ax =−−， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线221ax a −=−=⨯，①当2a <−时，2x =−时，函数有最小值，函数y 的最小值是44314y a a =+−=+，故①正确； ②当2a >时，2x =时，函数有最小值，函数y 的最小值是44314y a a =−−=−，故②正确；③当22a −≤≤时，x a =时，函数有最小值，函数y 的最小值是222233y a a a =−−=−−；故③正确；④当22a −≤≤时，x a =时，函数有最小值，函数y 的最小值是222233y a a a =−−=−−；故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值．【答案】()2212y x =+−或()2212y x =−+−【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出1h =−，2k =−，2a =±，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：()2y a x h k=−+，∵这条抛物线与抛物线()21122y x =−+−的顶点坐标相同，∴1h =−，2k =−，又∵这条抛物线与抛物线223y x =+形状相同，∴2=a ，即2a =±，∴这条抛物线的解析式为：()2212y x =+−或()2212y x =−+−，故答案为：()2212y x =+−或()2212y x =−+−．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键．【答案】178(,)55和33(,)55− 【分析】先根据题意画出图形，先求出D 点坐标，当E 点在线段BC 上时:DEB ∠是△DCE 的外角，2DEB DCB ∠=∠，而DEB DCE CDE ∠=∠+∠，所以此时DCE CDE ∠=∠，有CE DE =，可求出BC 所在直线的解析式5y x =−+，设E 点(,5)−+a a 坐标，再根据两点距离公式，CE DE =，得到关于a 的方程，求解a 的值，即可求出E 点坐标；当E 点在线段CB 的延长线上时，根据题中条件，可以证明222BC BD DC +=，得到DBC ∠为直角三角形，延长EB 至E '，取BE BE '=，此时，2DE E DEE DCB ''∠=∠=∠，从而证明E '是要找的点，应为OC OB =，OCB 为等腰直角三角形， 点E 和E '关于B 点对称，可以根据E 点坐标求出E '点坐标．【详解】解：在265y x x =−+中，当0x =时，5y =，则有()05C ，，令0y =，则有2650x x −+=，解得：121,6x x ==， ∴()()1050A B ，，，，根据D 点坐标，有226253m =−⨯+=−所以D 点坐标()23−，设BC 所在直线解析式为y kx b =+，其过点()0,5C 、()5,0B有550b k b =⎧⎨+=⎩， 解得15k b =−⎧⎨=⎩∴BC 所在直线的解析式为：5y x =−+ 当E 点在线段BC 上时，设(,5)E a a −+ DEB DCE CDE ∠=∠+∠而2DEB DCB ∠=∠ ∴DCE CDE ∠=∠∴CE DE =因为：(,5)E a a −+，(0,5)C ，(2,3)D −=解得：175a =，855a −+=所以E 点的坐标为:178(,)55 当E 在CB 的延长线上时，在BDC 中，222(52)318BD =−+=，2225550BC =+=,222(53)268DC =++= ∴222BD BC DC +=∴BD BC ⊥如图延长EB 至E '，取BE BE '=，则有DEE '为等腰三角形，DE DE ='， ∴DEE DE E ''∠=∠ 又∵2DEB DCB ∠=∠ ∴2DE E DCB '∠=∠ 则E '为符合题意的点， ∵5OC OB == ∴45OBC ∠=E '的横坐标：17335(5)55+−=，纵坐标为85−；综上E 点的坐标为：178(,)55或338(,)55−，故答案为：17855⎛⎫ ⎪⎝⎭，或33855⎛⎫− ⎪⎝⎭， 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到E 点的位置，是求解此题的关键．三、解答题19．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点()()()10401M N P −−，、，、，12三点，求这个二次函数的解析式．【答案】2268y x x =−−【分析】根据题意设二次函数解析式为(1)(4)y a x x =+−，然后将()1P −，12代入求解即可．【详解】解：∵二次函数的图象经过点()()1040M N −，、，，∴设二次函数解析式为：(1)(4)y a x x =+−， 把()1P −，12代入，可得()1223a −=⨯⨯−，解得：2a =．∴这个二次函数的解析式为：2268y x x =−−． 【点睛】掌握待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键．20．（2023·上海·九年级假期作业）已知一个二次函数23y x bx =−++的图象经过点()14A ，． (1)求b 的值；(2)求抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式． 【答案】(1)2b =(2)2=23y x x −−【分析】（1）把()14A ，代入二次函数解析式即可求出b 的值；（2）根据轴对称的性质可得抛物线223y x x =−++关于x 轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，然后可得答案．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点()14A ，，∴把点()14A ，代入得2413b =−++，解得：2b =；（2）解：由（1）可知二次函数解析式为223y x x =−++，∵抛物线223y x x =−++关于x 轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴所得抛物线解析式为223y x x −=−++，即2=23y x x −−．【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．(1)若1a =−，画出该抛物线图象，并结合图象写出(2)(),Pm t 为抛物线上的一点，若P 【答案】(1)画图见解析，1x ≤− (2)2m =±【分析】（1）利用五点作图法画出图象，然后根据图象求解即可； （2）首先求出(),P m t '−−，然后将(),P m t 和(),P m t '−−代入()2240y ax ax a a =+−≠求解即可．【详解】（1）将1a =−代入()2240y ax ax a a =+−≠得，224y x x =−−+， ∴列表如下：∴如图所示，将以上5点在坐标系中描出，然后用平滑的曲线连接．∴由图象可得，当y 随x 的增大而增大时，1x ≤−； （2）∵(),P m t ，点P 关于原点的对称点为P '，∴(),P m t '−−，∵(),P m t 和(),P m t '−−都在抛物线上，∴222424am am a t am am a t ⎧+−=⎨−−=−⎩①②，∴+①②得，2280am a −=，∴解得2m =±．【点睛】本题主要考查了五点作图法，二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特点，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)在直线1x =上找一点P ，使PA PC +的和最小，并求出点P 的坐标；(3)将线段AC 沿x 轴向右平移a 个单位长度，若线段AC 与抛物线有唯一交点，请直接写出a 的取值范围．【答案】(1)抛物线的表达式为2142y x x =−++，抛物线的顶点坐标为91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)()1,3(3)26a ≤≤【分析】（1）根据对称轴得出1b =，再将点代入确定解析式，即可确定顶点坐标；（2）连接BC ，交直线1x =于点P ，点P 即为所求，连接AP ，利用两点之间线段最短得出PA PC +的和最小，由待定系数法确定直线BC 的表达式为4y x =−+，即可确定点P 的坐标；（3）根据题意得：点C 的运动轨迹为射线CD ，点A 的运动轨迹为射线AB ，若线段AC 与抛物线有唯一交点，则线段AC 在线段,m n 间平移（含线段,m n ），由抛物线的对称性得212CD =⨯=，()2216AB =⨯+=，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴1122b⎛−⎫ ⎝⨯⎪⎭=−，解得1b =． ∴212y x x c=−++． 把点()2,0A −代入，得()212202c −⨯−−+=，解得4c =．∴抛物线的表达式为2142y x x =−++．把1x =代入2142y x x =−++，得191422y =−++=， ∴抛物线的顶点坐标为91,2⎛⎫⎪⎝⎭．（2）如图1，连接BC ，交直线1x =于点P ，点P 即为所求．。
§2-4 二次函数y=ax2+bx+c的图象(1)y=a(x-h)2和y=a(x+h)2+k的图象和性质
驶向胜利 的彼岸
在同一坐标系中作出函数y=3x² ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象. 完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?
x
y 3x 2
y 3x 1
2 2
-4
-3
27
-2
12 27 29
-1
3 12 14
0
0 3 5
1
1.抛物线y=a(xh)2的顶点是(h,0), 对称轴是平行于y y ax
X=h
2
4. a 越大,开口越小, a 越小,开口越大.
y a x h
2
3.当a>0时,在对称轴 (x=h)的左侧,y随着x的 增大而减小;在对称轴 (x=h)右侧,y随着x的增 大而增大;当x=h时函数 y的值最小(是0). 当a<0时,在对称轴(x=h) 的左侧,y随着x的增大而 增大;在对称轴(x=h)的 右侧,y随着x增大而减小; 当x=h时,函数y的值最 大(是0).
与y=3x2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
y 3x
2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
顶点坐标 是点(1,0).
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
对称轴仍是平行于y轴的直 开口向上,当 2类似. 线(x=1);增减性与y=3（x-1） X=1时有最小 值:且最小值=2. 顶点是(1,2).
2.2二次函数的图像与性质(5)y=ax2+bx+c
＝3(x －4x＋4－4)－3
2
＝3(x －4x＋4)－3×4－3
＝3(x－2)2－15
∵3＞0
∴当 x＝2 时，函数有最小值－15.
1 2
例 4 求抛物线 y＝－ x －2x＋3 的顶点坐标.
2
1 2
解：∵y＝－2x －2x＋3
1 2
＝－2(x ＋4x)＋3
1 2
＝－2(x ＋4x＋4－4)＋3
2
解：∵y＝x ＋x＋1
1 1
2
＝x ＋x＋ － ＋1
4 4
1 3
2
＝(x ＋x＋4)＋4
12 3
＝(x＋2) ＋4
1 3
∴顶点坐标为(－2，4)
变式练习 2
求抛物线 y＝x 2－3x＋2 的顶点坐标.
2
解：∵y＝x －3x＋2
9
9
＝x －3x＋4＋2－4
2
32 1
＝(x－2) －4
3
1
∴顶点坐标为 (2，－4)
1 2
1
＝－2(x ＋4x＋4)＋(－2)×(－4)＋3
1
2
＝－2(x＋2) ＋5
∴顶点坐标为(－2，5)
变式练习 4
3 2
求抛物线 y＝－ x ＋3x＋1 的顶点坐标.
2
3 2
解：y＝－2x ＋3x＋1
3 2
＝－2(x －2x＋1－1)＋1
3 2
3
＝－2(x －2x＋1)＋(－2)×(－1)＋1
b 2 4ac b
y ax bx c a ( x )
.
2a
4a
2
2
因此，抛物线y=ax2+bx+c
知识卡片-二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质能量储备二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，一般方法是现将一般式y=ax2+bx+c通过配方化为顶点式y=a（x--h）2+k，然后找出顶点坐标、对称轴，画出图象并观察图象得到它的增a＞0a＜0通关宝典★ 基础方法点方法点1：利用抛物线的对称性解题如果抛物线上两点(x 1，m )，(x 2，m )的纵坐标相等，那么这两点关于抛物线的对称轴直线x ＝x 1＋x 22对称；反过来，如果两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线上的对称点，那么这两点的纵坐标相等，即y 1＝y 2.例：如图所示，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为( ) A ．(2，3) B ．(3，2) C ．(3，3) D ．(4，3)解析：∵ 点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，∴ 点A 与点B 关于对称轴x ＝2对称．又∵ A (0，3)，∴ AB ＝4，y B ＝y A ＝3，∴ 点B 的坐标为(4，3)，故选D . 答案：D方法点2：比较两个二次函数值大小的方法 (1)把自变量直接代入解析式求值．(2)当点在对称轴同侧时，根据函数的增减性判断．(3)当点在对称轴的两侧时，找某点关于对称轴的对称点，均转化到同侧求解，或利用抛物线上的点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大；当抛物线的开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小． 例： 若A (413，y 1)，B (－1，y 2)，C (53，y 3)为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 3解析：把y ＝－x 2－4x ＋5配方，得y ＝－(x ＋2)2＋9，因为a ＝－1<0，所以当x >－2时，y 随x 的增大而减小．由抛物线的对称性知，y 1的值等于函数在x ＝－34处的函数值．又53>－34>－1>－2，所以y 3<y 1<y 2.答案：C★★易混易误点易混易误点1: 用配方法求抛物线的顶点坐标时出错例：用配方法求y ＝2x 2－8x ＋6的顶点坐标．分析：在二次函数y ＝2x 2－8x ＋6中a ＝2，为了便于配方，需逆用乘法分配律，将原解析式变形为y＝2(x2－4x＋3)，然后再把括号内的多项式进行配方．解：原二次函数变形为y＝2(x2－4x＋3)，∴y＝2(x2－4x＋4－4＋3)＝2[(x－2)2－1]＝2(x－2)2－2.∴顶点坐标为(2，－2)．常见错因：在解决本题中容易犯的错误是只在解析式的右边除以2，把二次项系数变为1，这不符合等式的基本性质，从而会造成错解．蓄势待发考前攻略考查二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）图象的顶点坐标、开口方向、对称轴及函数的增减性等，注重数形结合思想的运用，中考中既有考查基础知识的选择题、填空题，又有考查能力的综合题．完胜关卡。
二次函数y=ax2 bx c的图像和性质
M1(x1，0),M2(x2,0).则 线段
M1M 2 x1 x2
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：一般式平移
（1） y=ax2+bx+c沿对称轴平移:向上（下） 平移m个单位，变成 y=ax2+bx+c+m（或 y=ax2+bx+c-m）.
(2) y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移 m个单位，变成y=a（x+m)2+b(x+m)+c （或y=a（x-m)2+b(x-m)+c）.
用函数图像回答：
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
分析：(1)用顶点坐标公式，可求出顶点 为(2，2)，对称轴是x＝2.
(2) 当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点 (1，0)，根据轴对称，很容易知道(1 ，0) 的轴对称点是点(3，0) ．又当x＝0时，y ＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根 据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称 点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2， 2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6) 连结起来，就是 y 2x2 8x 6 的0图象。
2. 2抛' 当物线a y 0 a时x2， b图x 象c 的落图在象x与轴y的轴下一方定，相无交论，交x 为点任坐何标为实(数0 ，，c都) ；有 y 0 ．
抛物线y=axax2+bx+c=0 的 根的判别式判定：
Δ
抛物线 与x轴 的交点
抛物线
解：列表 y 2x2 8x 6 0
x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
y
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小； 10
当x>6时，y随x的增大而增大.
5
试一试
O
5
10 x
你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？
二 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成 顶点式y=a(x-h)2+k？
增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴
右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的
值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直 线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 x b b ，
? ?
y轴 y轴 直线x=-2 直线x=-2 直线x=4
? ?
最值 0 -5 0 -4 3 ? ?
讲授新课
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨
论
y 1 x2 6x 21 2
的图象和性质？
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 2
x
b 2a
2
4ac b2 4a
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k
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例题解析
❖ 例3 在直角坐标系中，
画出二次函数
y1x2 6x21
2
❖ 的图象
例4：
❖ 讨论抛物线y=ax2+bx+c的性质
yaxb24acb2. 2a 4a
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法
推导出它的对称轴和顶点坐标.
yax2bxc
配方:
顶点坐标是：2ba
,
4acb2 4a
一般地，因为抛物线y ax2 bx c
的顶点是最低（高）点，所以
当x b 时，二次函数y ax2 bx c 2a
有最小（大）值4ac b2 4a
求出下列抛物线对称轴及顶点坐标，并说出它的开口 方向及最值,并判别其增减性？
（1）y=3x2+2x （2）y=-x2-2x
b
2
和0.
2a
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整
体 左左平移(右)),再平沿移对| 称 轴2b|a个整单体位上(当(下)平 移2b>a 0|时,4向ac |右个b2 平单移位;当(当
<b 0时,向 4a2ca>b 20时
向上平移;当
4
ac 4
a<b 20时,向下平移)得到的.4
几分钟时，学生的接受能力最强？
此课件下载可自行编辑修改，供参考 感谢您的支持，我们努力做得更好！
（3）y=-2x2+8x-8
4y1x24x3
2
?
小结 拓展 回味无穷 驶向胜利
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关的彼系岸
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称
yБайду номын сангаас
y
y
y
o x
A
o
o
x
x
o
x
B
C
D
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下
列各式中是正数的有（
）
①a ② b ③ c
④ a+b+c ⑤ a-b+c
⑤⑥ 4a+b
⑦ 2a+b y y
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
. 1. .2
-1
x
B
?
用总长为60m的篱笆墙围成矩 形场地，矩形面积S随矩形一边 长L的变化而变化，当L多少时， 场地的面积S最大？
ax2 b xc 提取二次项系数
a a
配方:加上再
ax2b ax2ba22ba2a c减数的去绝平一对方次值项一系半
aaxx2b2aba2244aa4c4acab2b2.2化简整式:去理,后掉:两前中项三括合项号并化同为类平项方形
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
对称轴为：直x线 b ， 2a
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质(3)
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2
y=a(x-h)2+k
平左 移右
y = a( x – h )2 + k 平上 移下
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出 概念所用的时间x(分钟)之间满足函数关系： y=－0.1x2 +2.6x+43(0≤x≤30)，y值越大表示接受 能力越强. (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？
x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10 分钟时，学生的接受能力是多少？
a
4a
不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可 由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到？
1、当m=_____时，抛物线y=mx2 +2(m+2)x+m+3的 对称轴是y轴；
当m=_____时，图象与y轴交点的纵坐标是1；
2.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
抛物线y=a(x-h)2+k的图像与性质： 1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2
向上 向下
直对线称x轴=-3 顶( -点3, 坐5 )标 直线x=1 ( 1 , -2 )
轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y
都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: ((31))对位称置轴不不同同(2):顶分点别不是同直:线 分x 别是b 和2bya轴, 4a4.cab2 和(0,0).
(4)最值不同:分别是
4
ac 4
a