概率论及数理统计公式集锦

概率论与数理统计公式集锦

二、随机变量及其分布

1、分布函数

()()(),()()()

()k k x x

x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞

?=?=≤=<≤=-???∑? ()X P λ

分布名称

分布名称 2(,)N μσ

标准正态分

布

离散型：()(),1,2,

j i

i j g x y P Y y p i ====∑，

连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=?=单调 三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量及其分布

分布律：(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====分布函数(,)i i ij

x x y y

F X Y p

≤≤=∑∑

边缘分布律：()i i ij j

p P X x p ?===∑()j j

ij i

p P Y y p ?===∑

条件分布律：(),1,2,

ij i j j

p P X x Y y i p ?===

=，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ?

===

=

2、连续型二维随机变量及其分布

①联合分布函数及性质 分布函数：??

∞-∞

-=

x y

dudv v u f y x F ),(),(=P （X<=x,Y<=y ）

性质：2(,)

(,)1,(,),F x y F f x y x y

?+∞+∞==??((,))(,)G

P x y G f x y dxdy ∈=

??

②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：??

∞-+∞

∞

-=

x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：?

+∞

∞

-=

dv v x f x f X ),()(

??

∞-+∞

∞

-=

y Y dudv v u f y F ),()(?

+∞

∞

-=

du y u f y f Y ),()(

③条件概率密度

+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)()

,()(

3、随机变量的独立性

随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ?=， 离散型：..ij i j p p p = ，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y = 4、二维随机变量和函数的分布 离散型：()(,)i j k

k i j x y z P Z z P X x Y y +=====∑

连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞

+∞

-∞

-∞

=-=-?

?

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

①定义：离散型∑+∞

==1

)(k k k

p x

X E ，连续型?

+∞

∞

-=

dx x xf X E )()(

②性质：(),E C C =)()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E =

2、方差

①定义：222()[(())]()()D X E X E X E X E X =-=-

②性质：0)(=C D ，)()(2X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=± 3、协方差与相关系数

①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov ②相关系数：

XY

ρX 、Y 相互独立时：0=XY

ρ(X,Y 不相关)

③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov = ),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++

五、大数定律与中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ε有2

)

(})({ε

εX D X E X P ≤

≥-

2、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立，

2

)

(,)(i i i i X D X E σμ==且C i ≤2

σ，则：

∑∑

==∞→?→

?n

i i

P

n

i i n X E n

X n

1

1

)(),(1

1

②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则0ε?>，有：lim 1A n n P p n ε→∞??

-<=

???

③辛钦大数定律：若1,,n X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，则μ∞

→=?→?∑n P n

i

i

X

n

1

1

3、中心极限定理

①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,)i X i =，均值为μ，方差为

02>σ，当n 充分大时有：1

((0,1)~

n

n k k Y

X n N μ==-??

→∑ ②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(~p n B X ，则对任意x 有：

2

2

lim

}()

t x n P x dt x -→∞≤==Φ?

③近似计算：1

()n

k k P a X b =≤

≤≈Φ-Φ∑

概率论与数理统计公式整理1、总体和样本的分布函数 设总体()X F x ，则样本的联合分布函数)(),(1

21k n

k n x F x x x F =∏=

2、统计量 样本均值：∑

==

n

i i X n

X 1

1

，样本方差：∑

∑==--=--=

n

i i n

i i X n X n X X n S 1

22122

)(11

)(11 样本标准差：∑

=--=

n

i i X X n S 12)(11 ，样本k 阶原点距： 2,1,1

1

==∑=k

X

n

A n

i k

i k

样本k 阶中心距：11(),1,2,3

n

k k i i B X X k n ==-=∑

3、三大抽样分布

(1)2χ分布：设随机变量(0,1)i

X N (1,2,

,)i n =且相互独立，则称统计量

2

22212n X X X ++=χ服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ

性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则

)(~2n m Y X ++χ

(2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则称统计量：n

Y X T =

服从

自由度为n 的t 分布，记为)(~n t T

性质：①()0(1),()(2)

2n E T n D T n n =>=>-②2

2

lim ()()x n n f x x ?-→∞=

(3)F 分布：设随机变量22~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 独立，则称统计量(,)X m

F m n Y n

=

服从第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记为~(,)F F m n ，性质：设~(,)F F m n ，则1~(,)F n m F

七、参数估计

1.参数估计

①定义：用12(,,,)n X X X θ∧

估计总体参数θ，称12(,,

,)n X X X θ∧

为θ的估计量，相应

的12(,,

,)n x x x θ∧

为总体θ的估计值。

②当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值 2.点估计中的矩估计法：

基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩

求法步骤：设总体X 的分布中包含有未知参数12,,,k θθθ，它的前k 阶原点

矩()(1,2,

,)i

i E X i k μ==中包含了未知参数12,,,k θθθ，

即12(,,,)(1,2,,)i i k g i k μθθθ==；又设12,,

,n x x x 为总体X 的n 个样本值，用样本

矩代替i μ，在所建立的方程组中解出的k 个未知参数即为参数12,,

,k θθθ的矩估计量

12,,,k θθθ∧∧∧

。

注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。 3.点估计中的极大似然估计

设12,,n X X X 取自X 的样本，设~(,)X f x θ或~(,)X P x θ， 求法步骤：

①似然函数：11

()(,)()()(,)()n n

i

i

i

i i L f x L P x θθθθ===

=∏∏连续型或离散型

②取对数：1

ln ()ln (,)n

i

i L f x θθ==

∑ 或1

ln ()ln (,)n

i

i

i L p x θθ==∑

③解方程：

1

ln ln 0,,0k

L

L θθ??==??，解得：111212(,,,)(,,,)

n k k n x x x x x x θθθθ∧∧

∧∧?=??

??=?? 的一串估计量，如lim (|P θθ∧

-

八、假设检

验 1.假设检验的基本概念

，否则认为接受

为不成立（即否定了真实的假2.