弧长及扇形的面积

§3.7 弧长及扇形的面积

学习目标:

经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，了解弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公式解决问题． 学习重点:

弧长计算公式及理解，弧长公式ι=

180R

n π，其中R 为圆的半径，n 为圆弧所对的圆心

角的度数，不带单位．由于整个圆周可看作360°的弧，而360°的圆心角所对的弧长为圆

周长C=2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是

3601×2πR ，即180R

π，可得半径为R 的圆中，

n °的圆心角所对的弧长ι=

180R

n π．

圆心角是1°的扇形的面积等于圆面积的

3601

，所以圆心角是n °的扇形面积是S

扇形

=360

n πR 2．要注意扇形面积公式与弧长公式的区别与联系（扇形面积公式中半径R 带平方，分母为360；而弧长公式中半径R 不带平方，分母是180）．已知S 扇形、ι、n 、R 四量中任意两个量，都可以求出另外两个量．

扇形面积公式S 扇=2

1

ιR ，与三角形的面积公式有些类似．只要把扇形看成一个曲边三

角形，把弧长看作底，R 看作高就比较容易记了． 学习难点:

利用弧长公式时应注意的问题及扇形面积公式的灵活运用． 学习方法:

学生互相交流探索法. 学习过程:

一、例题讲解：

【例1】 一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm 的圆的周长，求该圆弧所在圆的半径．

【例2】 如图，在半径为3的⊙O 和半径为1的⊙O ′中，它们外切于B ，∠AOB=40°．AO ∥CO ′，求曲线ABC 的长．

【例3】 扇形面积为300π，圆心角为30°，求扇形半径．

【例4】 如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，边长为4cm ，求图中阴影部分的面积．

【例5】 如图，等腰直角三角形ABC 的斜边AB=4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D 、E ，求图中阴影部分的面积．

【例6】 半径为3cm ，圆心角为120°的扇形的面积为（ ） A ．6πcm 2

B ．5πcm 2

C ．4πcm 2

D ．3πcm 2

【例7】 如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1， ∠AOB=120°，则阴影部分面积是（ ） A ．4π

B ．2π

C ．3

4

π D ．π

【例8】 如图，已知⊙O 的直径BD=6，AE 与⊙O 相切于E

点，过B 点作BC ⊥AE ，垂足为C ，连接BE 、DE ．

（1）求证：∠1=∠2；

（2）若BC=4．5，求图中阴影部分的面积．（结果可保留π与根号）

【例9】 如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中⌒

CD 、

⌒DE 、⌒

EF 的圆心依次按A 、B 、C 循环，它们依次相连接．如果AB=1，求曲线CDEF 的长．

【例10】 如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE ，求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）．

【例11】 如图是赛跑跑道的一部分，它由两条直线和中间半圆形弯道组成的．若内外两条跑道的终点在一直线上，则外跑道起点往前移，才能使两跑道有相同的长度，如果跑道宽1．22米，则外跑道的起点应前移 米．（π取3．14，结果精确到0．01米） 二、课后练习

1．在半径为12的⊙O 中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ） A ．24πcm

B ．12πcm

C ．10πcm

D ．5πcm

2．如果一条弧长等于ι，它的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧

长增加（ ）

A ．

n 1

B ．

180R π

C ．

R l π180

D ．

360

1

3．已知扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形有周长为（ ）

A ．3

5π

B ．35

π＋10

C ．65π

D ．65

π＋10

4．圆环的外圆周长为250cm ，内圆周长为150cm ，则圆环的宽度为（ ） A ．100cm

B ．

π50

C ．

π25

D ．

π100

5．弧长等于半径的圆弧所对应的圆心角是（ ）

A ．

π︒360 B ．

π︒180 C ．

π︒90 D ．60°

6．正三角形ABC 内接于半径为2cm 的圆，则AB 所对弧的长为（ ）

A ．32π

B ．34π

C ．

3

8π

D ．34π或

3

8π

7．已知圆的周长是6π，那么60°的圆心角所对的弧长是（ ） A ．3

B ．3

π

C ．6

D ．π

8．如图1，正方形的边长为1cm ，以CD 为直径在正方形内画半圆，再以C 为圆心，1cm 为半径画弧⌒

BD ，则图中阴影部分的面积为（ ）

A ．2πcm 2

B ．4π

cm 2

C ．8π

cm 2

D ．16π

cm 2