计算方法 14 欧拉公式-常微分方程

(k ) hL yn1 yn 1
这里，L 是 f(x,y) 关于 y 的利普希茨常数，如果
选取 h 充分小，使得 hL<1，则当 k 时，有
( k 1) yn 1 yn1 ，这说明以上迭代公式是收敛的。
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改进的欧拉公式
在实际计算中，通常将改进欧拉公式表述称以下
形式：
yn1 yn hf ( xn , yn ) h yn1 yn f xn , yn f xn1 , yn1 2
2
记 f ( x, y ) e
x2
，取 h 0.5
2
则 x0 0, x1 0.5, x2 1.0, x3 1.5, x4 2.0
x yi 1 yi 0.5e 于是欧拉计算公式： ( i 0,1, 2, 3) y0 0
y(1.0) y2 0.88940 y(0.5) y1 0.5, 可得： y(1.5) y3 1.07334, y(2.0) y4 1.2604
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显式欧拉公式几何意义
解曲线 欧拉节点 欧拉折线 近似欧拉节点 近似欧拉折线
P2 P1 x1 x2 x3 x4 P4 P3
P0 x0
在显式欧拉公式中，除了y0 y( x0 ) 外，有 yn y( xn )
和 f ( xn , yn ) y( xn )。因此，用显式欧拉公式计算
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0.000000 0.005000 0.019025 0.041218 0.070802 0.107076 0.149404
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0.000000 -0.000163 -0.000294 -0.000400 -0.000482 -0.000545 -0.000592
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用 yn 近似地代替 y( xn ) ，可将初值问题离散化成
yn 1 yn 为 f ( x n , yn ) h 即 yn1 yn hf ( xn , yn )
( n 0,1,)
(1)
以上公式称为显式欧拉公式。 为了不引起混淆 y( xn )表示解 y y( x ) 在 xn 处 的精确值，而 yn 表示其近似值。
h yn f x n , yn f x n 1 , y n 1 2
并将式中的 y( xn ) 用 yn 代替，y( xn1 ) 用 yn1 代替
可导出 yn1 称此公式为梯形公式。容易看出，梯形公式实际 是显式和隐式欧拉公式的算术平均。
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问题，其中步长 h 0.1 。
y x y , x 0, 0.6 y(0) 0
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例题
解：
f ( x, y) x y y0 0 h 0.1
欧拉计算公式：yi 1 0.1xi 0.9 yi (i 0,1, 2,,6)
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改进的欧拉公式
可以不难看到，梯形公式虽然提高了精度，但其
算法复杂，在应用迭代公式进行实际计算时，每
迭代一次，都要重新计算函数 f(x,y) 的值，而迭
代又要反复进行若干次，计算量很大。为了控制 计算量，通常只迭代一次就转入下一步的计算， 这样就简化了算法。
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以上公式称为隐式欧拉公式。
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欧拉公式
公式 (1) 和 (2) 均为欧拉公式，但有本质的区
别。式 (1) 是关于 yn1 的一个可直接进行的计算
公式，这类公式称作显式的；而式 (2) 的右端含
有未知的 yn1 ，它实际上是一个关于 yn1 的计算 方程，这类公式称作隐式的。
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梯形公式
对方程 y f ( x, y) 从 xn 到 yn 积分，得
y( xn1 ) y( xn )
xn1 xn
f t , y(t ) dt
利用数值积分中的梯形公式

xn1 xn
h f t , y( t ) dt f xn , y( xn ) f xn 1 , y ( x n 1 ) 2
yn1 yn hf ( xn , yn ) yn1 yn hf ( xn1 , yn1 ) (n 0,1,) (n 0,1,) (1) (2)
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欧拉公式
隐式公式不能直接求解，需采用迭代法求解。用
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改进的欧拉公式
具体的说，先用显式欧拉公式求得 yn1 的近似
值 yn1 ，称这个值为预报值，预报值的精度可能
较差，再将该预报值代入梯形公式，求得 yn1 ，
称这个值为校正值，校正值的精度会有所提高， 如此建立的计算公式称为改进的欧拉公式。
yn1 yn hf ( xn , yn ) h yn1 yn f xn , yn f xn1 , yn1 2
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例题
例：利用欧拉方法求以下公式在给出点处的近似
值（取 h 0.5 ）。
x t2 y( x ) 0 e dt x 0.5,1.0,1.5, 2.0
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例题
解：问题等价于求解
x y e , x 0, 2 y(0) 0
所得到点列的散点图，是一条近似欧拉折线。
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隐式欧拉公式
在 xn1 处的导数 y( xn1 ) ，可以近似表示成差商
y ( xn 1 ) y ( x n ) h 用 yn 代替 y( xn ) ，yn1 代替 y( xn1 ) ，可将初值 yn 1 yn 问题离散化成为 f ( xn1 , yn1 ) h (2) 即 yn1 yn hf ( xn1 , yn1 ) y( xn1 )
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改进欧拉计算公式：
yi 1 0.1 xi 0.9 yi (i 0,1, 2,,6) yi 1 yi 0.05 ( xi yi ) ( xi 1 yi 1 )
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理论上就可以保证初值问题的解 y=y(x) 存在并
且唯一。
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显式欧拉公式
在 xn 处的导数 y( xn ) 可以近似地表示成差商
y ( xn 1 ) y ( x n ) y ( x n 1 ) y ( x n ) y( xn ) xn 1 x n h


预报： y p yn hf ( xn , yn ) 校正： yc yn hf ( xn1 , y p )
改进： yn1
1 y p yc 2


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例题
例：利用欧拉方法、改进欧拉方法求解以下初值
显式欧拉公式提供迭代初值，其迭代公式为：
(0) y n1 yn hf ( xn , yn ) ( k 0,1,) ( k 1) ( k 1) yn1 yn hf ( xn1 , yn1 ) ( k 1) (k ) y y = h f ( x , y ) f ( x , y 因为 n1 n1 n 1 n 1 n 1 n 1 )
2016/2017 学年
第一学期（16周）
欧拉公式 – 常微分方程
微分方程数值解法
在科学与工程技术领域中，常需要求解常微分方
程的定解问题。这类问题的最简单形式，是一阶
常微分方程的初值问题。
y f ( x, y) y ( x 0 ) y0
我们知道，只要右端函数 f(x,y) 适当光滑，如关 于 y 满足利普希茨条件 f ( x , y ) f ( x , y ) L y y
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例题
解：计算结果如表所示。
xi
0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000
yi (欧拉) y( xi ) yi yi (改进欧拉) y( xi ) yi
0.000000 0.000000 0.010000 0.029000 0.056100 0.090490 0.131441 0.000000 0.004837 0.008731 0.011818 0.014220 0.016041 0.017371