第7章 小波变换和多分辨率处理me

k
h2 (n) h1(n) h3 (n) h1(n)
符号反转（关于水平轴对称） 顺序反转（关于垂直轴对称）
h4 (n) h1(K 1 n) 顺序反转（关于垂直轴对称再又移K-1）
h5 (n) (1)n h1(n)
调制（改变了所有奇数序号的系数的符号）
h6 (n) (1)n h1(K 1 n) 顺序反转和调制
N=2,2*2的哈尔矩阵为：H2
1 1 2 1
1 1
1
类似的，N=4时取k，p，q如书 所示表，可得4*4的哈尔矩阵为：
H4
1
1
4
2
0
1 1 1
1
1
1
2 0 0
0 2 2
我们对哈尔变换的主要兴趣在于，H2的行可用于定义一个2 抽头完美重建滤波器组，如前一节的分析滤波器h0 （n）和 h1 （n），以及最简单的最古老的小波变换和小波向量。
伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时 间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可 聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继 Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数 学显微镜”。
7.1 背景
小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是 小区域、长度有限、均值为0的波形。所谓“小”是 指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性， 其振幅正负相间的震荡形式。
么它就是一个跨度集合，在该集合中，包含一个以上的 k
的集合，展开函数及其对偶式超完备或是冗余的。他们形成了
一个框架。
当下式：A f (x) 2 k (x), f (x) 2 B f (x) 2中A=B时，则展开集合
称为紧框架
k
（计算尺度系数和小波系数中提到）
k 可以用情况1或2中的表达式来计算。
从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备
的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或
去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分
辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频 率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)
信号或函数 f (x)通常可以被分解为如下的一系列展开函数的线性
组合： f (x) kk (x)
k
k 是展开系数 k (x) 称为展开函数。
如果对于任意特定的c，只有一组 k 那么 k (x) 称为基函数
展开函数集合 {k (x)}就称为可表示这类函数的基。
可展开的基函数形成一个函数空间，称为展开集合的闭合跨度：
7.2.2 尺度函数
考虑由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数(x) 组成的 函数集合，即 j,k (x) 2 j/2(2 j x k)
对所有的j，k∈Z和； (x) L2 (R)都成立,由于j控制着函数的形 状，所以(x)为尺度函数
一般的，对于任何j，我们将k上跨越的子空间可以表示为：
第七章 小波和多分辨率处理
Contents
7.1 背景 7.2 多分辨率展开 7.3 一维小波变换 7.4 快速小波变换 7.5 二维小波变换
7.6 小波包
• 1807: Joseph Fourier——FT，只有频率分辨率而没有时 间分辨率
• 1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 • 1945: Gabor——STFT • 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
N 0, 其他，z [0,1]
h0 (z) h00 (z)
1 , z [0,1] N
hk (z) hpq (z)
2p/2, (q 1) / 2 p z (q 0.5) / 2 p
1
2
p
/
2
,
(q 0.5) / 2 p z q / 2 p
N 0, 其他，z [0,1]
7.1.3 哈尔变换
7.1.2 子带编码
正交滤波器满足如下的三个条件： gi (n), g j (n 2m) (i j) (m) i, j {0,1} g1(n) (1)n g0 (Keven 1 n) i {0,1}
hi (n) gi (Keven 1 n)
Keven下标指的是滤波器系数值是偶数，正交滤波器在后面的 快速小波变换中都要用到。
7.1.1 图像金字塔
Step 1: 计算输入图像的低一级的分辨率近似值。这可以通过对输入图像 进行滤波操作，并进行2倍的下采样。可以采用多种滤波器，如邻域平均 （可生成平均值金字塔），高斯低通滤波器（可生成高斯金字塔）。输 出就为j-1层的的低分辨率近似值。 Step 2: 对上一步的输出进行2倍内插（上采样），并进行滤波处理，作为j 级图像的预测值。 Step 3: 计算步骤2的预测值和步骤1的输入之间的差异，作为j级预测残差 图像，可用于后续原始图像的重建。
7.1.1 图像金字塔
我们看到在这幅图像的不同部分，局部直方图是不同的，可能变化会很明 显，这就使得整个图像的建模十分困难，为了解决这个难题，我们引入了图像 金字塔的概念。
7.1.1 图像金字塔
图像金字塔––––是一系列以金字塔形状排列的、分辨率逐步降 低的图像合集。
基础级J的大小为N*N（J=log2N） 顶点级0的大小为1*1 第j级的大小为2j*2j （ 0≤ j ≤ J） 共有J+1级，但是通常我们截短到 P+1级（1≤P ≤ J且j=J-P,…J-1，J）
Vj span{ j,k (x)}
k
增加j就增加了Vj的大小，允许具有较小变化的变量或较细的细 节函数包含在子空间中，这是因为随着j增大，空间函数会变得 较窄，并且x有较小变化即可分。
k，j， 2j/2
7.2.2 尺度函数
7.2.2 尺度函数
简单尺度函数遵循多分辨率分析的四个基本要求： MRA要求1：尺度函数对其整数平移是正交的。 MRA要求2：低尺度的尺度函数跨越的子空间嵌套在高尺度跨越的子空间内。 也就是说包含高分辨率函数的子空间必须包含所有的低分辨率函数。
V Span{k (x)}
k
f (x) V 的意思是 f (x) 属于{k (x)} 的闭合跨度，并可以写成上式
7.2.1 级数展开
k k (x), f (x) k(x) f (x)dx
(x) 为对偶基 k
情况1：如果展开函数构成了V的一个正交基，即：
j (x),k (x)
jk
0, 1,
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小波变 换CWT（ continuous wavelet transform ） • 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 • 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解 和重构算法）
3
• 1988： Inrid Daubechies作为小波的创始人，揭示了小波 变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离散小 波分析变成为现实
4
7.1 背景
傅里叶变换––––能将满足一定条件（周期）的某个函数表示成
三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
f
(x)
a0 2
n1
an
cos
nx
bn
sin
nx
有一定的局限性。 1 傅立叶级数的正弦与余弦系数
a0
1
Leabharlann Baidu
f (x)dx
an
1π
π π
f
(x) cos nx d
x
bn
1 π
• Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在把 小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献
• 在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了小波变 换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解和重构的 快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应 用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处 理等
jk jk
则该基与其对偶基相等，k k (x), f (x)
情况2：如果函数本身不正交，但却是V的一个正交基，即: j (x),k (x) 0, j k 且基函数及其对偶为双正交函数，用
k k (x), f (x) k(x) f (x)dx 来计算
7.2.1 级数展开
情况3：如果展开集合不是V的一个基，但支持一般展开，那
7.1.2 子带编码
7.1.2 子带编码
为了完美重构，综合滤波器和分析滤波器必须按如下两种方法 之一联系起来：
g0 (n) (1)n1h1(n), g1(n) (1)n h0 (n) g0 (n) (1)n h1(n), g1(n) (1)n1h0 (n)
在上图中我们可以看到，斜对着的滤波器是由调制联系起来的， 所以四个滤波器看作是交叉调制，并满足如下双正交条件： hi (2n k), g j (k) (i j) (n) i, j {0,1}
7.1.1 图像金字塔
（a）512*512 9,8,7,6级 （b）双线性内插 滤波器 第6级来预测第7级 的近似加上第7级 的预测残差
7.1.2 子带编码
在子带编码中，一幅图像被分解为一组频带受限的分量，成为子带。由于 执行了分解，所以子带可以无误差的重构原始的图像。
^
f (n) h(k) f (n k) f (n) h(n)
化不能同时满足。
信号，但不能确定具有这些频
率的信号出现在什么时候
7.1 背景
小波变换––––以某些特殊函数为基将数据过程或数据系列变换为级数系列以发 现它的类似频谱的特征，从而实现数据处理。
小 ❖ 波在时域和频域都是局部的而标准的傅立叶变换只在频域上是局
部的。 与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过
π
π
f
(x)sin nx d
x
为常数，不能反映振幅变化的情 况； (n 0,1, ) 2 求傅立叶系数需要所考虑的时
间域上所有信息，不能反映局部 (n 1, 2, ) 信息的特征；
3 加窗傅立叶变换时间窗是固定
只有频率分辨率而没有时间分 不变的，高频与低频的时间局部
辨率 可确定信号中包含哪些频率的
(4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法)
7.1 背景
多分辨率––––是小波分析中的最重要的概念之一， 它从函数空间的高度研究函数的多分辨率表示将一个 函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分。
➢我们观察的图像时，通常我们看到的是相似 的纹理或灰度级连成的区域。如果物体的尺 寸比较小或对比度较低，我们通常以较高的 分辨率来研究它们；反之只要用粗略的观察 就够了。
7.1 背景
• 小波是指在频率和位置都是变化的有限宽 度的基函数。下图说明了波与小波之间的 差异。
一些著名的小波[3]：
1、Daubechies小波
2、Coiflets小波 3、Symlets小波
4、Morlet小波
5、Mexican Hat小波
6、Meyer小波
SKIP
12
7.1 背景
7.1.2 子带编码
子带图像编码的一个二维4带宽滤波器
7.1.2 子带编码
4个8抽头的Daubechies归一化正交滤波器的冲击响应
7.1.2 子带编码
7.1.3 哈尔变换
哈尔变换可以用如下矩阵形式表示：T=HFHT
其中，F是一个N*N的图像矩阵，H是一个N*N哈尔变换矩阵，T 是一个N*N的变换结果
哈尔基函数：hk(z),其中z∈[0,1],k=0,1…N-1
为了生成矩阵H，定义整数k=2 +q-1 0≤p≤n-1 其中n=log N， 2p/2, (q1)/2pz(q0.5)/2p
p
2
当p=0时，q=0或1，而且当p≠0时，1≤q≤2p 。 hk(z)hpq(z)
1
2
p
/
2
,
(q 0.5) / 2 p z q / 2 p
7.1.3 哈尔变换
（a）用H2哈尔基 函数的离散小波变 换 （b）由（a）得到 的几种近似
7.2 多分辨率展开
1、多分辨分析(MRA)的概念[5]
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
对函数g(t)进行正交化，得到函数称为正交尺度函数(t)。 由(t)计算出小波函数(t)。
7.2.1 级数展开