第10讲 数据的统计分析与描述资料
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1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
1 若 F~ F（n1 ，n2 ） ，则 ~ F ( n 2 , n1 ) F
F分布F（10，50）的密度函数曲线
0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
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2018/12/21 10
第二节 参数估计
无论总体 X 的分布函数 F（x； 1 , 2 ,, k ）的类型已知 或未知，我们总是需要去估计某些未知参数或数字特征， 这就是参数估计问题.即参数估计就是从样本（X1，X2，…， Xn） 出发， 构造一些统计量 ˆi ( X1， X2， …， Xn） （i=1， 2， …， k） 去估计总体 X 中的某些参数 （或数字特征） 2， …， （ i i=1， k）.这样的统计量称为估计量. 1. 点估计：构造（X1，X2，…，Xn）的函数 ˆi ( X1，X2，…， Xn）作为参数 i 的点估计量，称统计量 ˆi 为总体 X 参数 i 的点估计量. 2. 区间估计： 构造两个函数 i1 ( X1， X2， …， Xn） 和 i 2 ( X1， X2，…，Xn）做成区间， （ i1 , i 2 ）即为参数 i 的区间估计.
2
( xm )2
x
e
( y m )2 2s 2
dy
标准正态分布：N（0，1）
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15
密度函数
j ( x)
1
2p
e
x2 2
分布函数
F ( x)
1
2p
x
e
y 2
2
0.1
，
-2 0 2 4 6
dy
0.05 0 -4
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0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -6
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源自文库
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4.
F 分布 F（n1 ，n2 ） 2 2 若 X~ （n1 ） ，Y~ （n2 ） ，且相互独立，则随机变量
X n1 F Y n2
服从自由度为（n1 ，n2 ）的 F 分布，记作 F~ F（n1 ，n2 ）. 由 F 分布的定义可以得到 F 分布 的一个重要性质：
1
它是各个数据与均值偏离程度的度量. 方差：标准差的平方. 极差：样本中最大值与最小值之差.
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4
3. 表示分布形状的统计量—偏度和峰度
1 偏度：g1 3 s
3 ( X X ) i i 1 n
1 峰度：g 2 4 s
4 ( X X ) i i 1
n
偏度反映分布的对称性， g1 >0 称为右偏态， 此时数据 位于均值右边的比位于左边的多； g1 <0 称为左偏态， 情况 相反；而 g1 接近 0 则可认为分布是对称的. 峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为 3，若 g2 比 3 大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本 中含有较多远离均值的数据，因而峰度可用作衡量偏离正 态分布的尺度之一. 4.
1 n k k 阶原点矩： Vk X i n i 1 1 n k 阶中心矩： U k ( X i X ) k n i 1
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二、分布函数的近似求法
得
1、整理资料： 把样本值 x1，x2，…，xn 进行分组，先将它们依大小次序排列，
* * * * * x1 x2 xn [ x1 , xn ] 的区间[a，b]内插入一些等分点： .在包含 ' ' a x1' x 2 xn b, 注意要使每一个区间 ( xi' , xi' 1 ] （i=1，2，…，n-1）
频率直方图.
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fi ' ' ' x x x 的矩形， i i 1 i , i 1, 2, , n 1 , 即得 ' xi
三、几个在统计中常用的概率分布
1．正态分布 N ( m , s )
2
1 1 2s e 密度函数： p( x) 分布函数： F ( x) 2p s 2p s 2 其中 m 为均值，s 为方差， x .
7
2、 分布 （n） 若随机变量 X1，X2，… Xn 相互独 立，都服从标准正态分布 N（0，1） ，则随机 变量
2 2 2 2 服从自由度为 n 的 分布，记为 Y~ （n）.
2 2 2 X X X 1 2 n Y=
Y 的均值为 n，方差为 2n.
0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
0
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3、 t 分布 t（n） 若 X~N （0 ， 1 ） ，Y~ （ n ） ，且相互 独立，则随机变量
2
T
X Y n
服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T~t（n）. t 分布 t（20）的密度函数曲线和 N（0，1）的 曲线形状相似.理论上 n 时，T~t（n） N（0，1）.
内都有样本观测值 xi （i=1，2，…，n-1）落入其中.
( xi , xi 1 ] 中出 2、求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间
现的次数ni ，它就是这区间或这组的频数.计算频率 f i
' '
'
'
ni . n
'
x1 , x 2 , , x n 各点，分别以 3、作频率直方图：在直角坐标系的横轴上，标出 ( xi' , xi' 1 ] 为底边，作高为
数学建模与数学实验
数据的统计描述和分析
后勤工程学院数学教研室
2018/12/21
1
实验目的
1、直观了解统计基本内容。
2、掌握用数学软件包求解统计问题。
实验内容
1、统计的基本理论。 2、用数学软件包求解统计问题。
3、实验作业。
数 据 的 统 计 描 述 和 分 析
2018/12/21
统计的基本概念
参数估计
假设检验
方差分析
3
第一节 统计的基本概念
一、统计量
1、表示位置的统计量—平均值和中位数
1 n 平均值（或均值，数学期望） ： X Xi n i 1
中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值. 2、表示变异程度的统计量—标准差、方差和极差
1 n 标准差： s [ ( X i X )2 ]2 n 1 i 1
1 若 F~ F（n1 ，n2 ） ，则 ~ F ( n 2 , n1 ) F
F分布F（10，50）的密度函数曲线
0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
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第二节 参数估计
无论总体 X 的分布函数 F（x； 1 , 2 ,, k ）的类型已知 或未知，我们总是需要去估计某些未知参数或数字特征， 这就是参数估计问题.即参数估计就是从样本（X1，X2，…， Xn） 出发， 构造一些统计量 ˆi ( X1， X2， …， Xn） （i=1， 2， …， k） 去估计总体 X 中的某些参数 （或数字特征） 2， …， （ i i=1， k）.这样的统计量称为估计量. 1. 点估计：构造（X1，X2，…，Xn）的函数 ˆi ( X1，X2，…， Xn）作为参数 i 的点估计量，称统计量 ˆi 为总体 X 参数 i 的点估计量. 2. 区间估计： 构造两个函数 i1 ( X1， X2， …， Xn） 和 i 2 ( X1， X2，…，Xn）做成区间， （ i1 , i 2 ）即为参数 i 的区间估计.
2
( xm )2
x
e
( y m )2 2s 2
dy
标准正态分布：N（0，1）
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15
密度函数
j ( x)
1
2p
e
x2 2
分布函数
F ( x)
1
2p
x
e
y 2
2
0.1
，
-2 0 2 4 6
dy
0.05 0 -4
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0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -6
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源自文库
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4.
F 分布 F（n1 ，n2 ） 2 2 若 X~ （n1 ） ，Y~ （n2 ） ，且相互独立，则随机变量
X n1 F Y n2
服从自由度为（n1 ，n2 ）的 F 分布，记作 F~ F（n1 ，n2 ）. 由 F 分布的定义可以得到 F 分布 的一个重要性质：
1
它是各个数据与均值偏离程度的度量. 方差：标准差的平方. 极差：样本中最大值与最小值之差.
2018/12/21
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3. 表示分布形状的统计量—偏度和峰度
1 偏度：g1 3 s
3 ( X X ) i i 1 n
1 峰度：g 2 4 s
4 ( X X ) i i 1
n
偏度反映分布的对称性， g1 >0 称为右偏态， 此时数据 位于均值右边的比位于左边的多； g1 <0 称为左偏态， 情况 相反；而 g1 接近 0 则可认为分布是对称的. 峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为 3，若 g2 比 3 大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本 中含有较多远离均值的数据，因而峰度可用作衡量偏离正 态分布的尺度之一. 4.
1 n k k 阶原点矩： Vk X i n i 1 1 n k 阶中心矩： U k ( X i X ) k n i 1
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2018/12/21
二、分布函数的近似求法
得
1、整理资料： 把样本值 x1，x2，…，xn 进行分组，先将它们依大小次序排列，
* * * * * x1 x2 xn [ x1 , xn ] 的区间[a，b]内插入一些等分点： .在包含 ' ' a x1' x 2 xn b, 注意要使每一个区间 ( xi' , xi' 1 ] （i=1，2，…，n-1）
频率直方图.
2018/12/21 6
fi ' ' ' x x x 的矩形， i i 1 i , i 1, 2, , n 1 , 即得 ' xi
三、几个在统计中常用的概率分布
1．正态分布 N ( m , s )
2
1 1 2s e 密度函数： p( x) 分布函数： F ( x) 2p s 2p s 2 其中 m 为均值，s 为方差， x .
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2、 分布 （n） 若随机变量 X1，X2，… Xn 相互独 立，都服从标准正态分布 N（0，1） ，则随机 变量
2 2 2 2 服从自由度为 n 的 分布，记为 Y~ （n）.
2 2 2 X X X 1 2 n Y=
Y 的均值为 n，方差为 2n.
0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
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3、 t 分布 t（n） 若 X~N （0 ， 1 ） ，Y~ （ n ） ，且相互 独立，则随机变量
2
T
X Y n
服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T~t（n）. t 分布 t（20）的密度函数曲线和 N（0，1）的 曲线形状相似.理论上 n 时，T~t（n） N（0，1）.
内都有样本观测值 xi （i=1，2，…，n-1）落入其中.
( xi , xi 1 ] 中出 2、求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间
现的次数ni ，它就是这区间或这组的频数.计算频率 f i
' '
'
'
ni . n
'
x1 , x 2 , , x n 各点，分别以 3、作频率直方图：在直角坐标系的横轴上，标出 ( xi' , xi' 1 ] 为底边，作高为
数学建模与数学实验
数据的统计描述和分析
后勤工程学院数学教研室
2018/12/21
1
实验目的
1、直观了解统计基本内容。
2、掌握用数学软件包求解统计问题。
实验内容
1、统计的基本理论。 2、用数学软件包求解统计问题。
3、实验作业。
数 据 的 统 计 描 述 和 分 析
2018/12/21
统计的基本概念
参数估计
假设检验
方差分析
3
第一节 统计的基本概念
一、统计量
1、表示位置的统计量—平均值和中位数
1 n 平均值（或均值，数学期望） ： X Xi n i 1
中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值. 2、表示变异程度的统计量—标准差、方差和极差
1 n 标准差： s [ ( X i X )2 ]2 n 1 i 1