计算物理 随机数与伪随机数
蒙特 卡罗方法
并行化处理和加速技术
并行化模拟
将模拟过程分解为多个独立的子任务，并分配给不同的计 算节点进行并行处理，从而加快模拟速度。
GPU加速技术
利用GPU的并行计算能力，对蒙特·卡罗模拟中的计算密集 型任务进行加速处理。
分布式处理技术
将大规模模拟任务分解为多个小任务，并分配给分布式系 统中的多个节点进行处理，以实现更高效的模拟和更短的 计算时间。
02
蒙特·卡罗方法数学基础
概率论与数理统计基础
概率空间与事件
定义概率空间，理解事件的独立性、 互斥性等基本性质。
随机变量及其分布
掌握离散型和连续型随机变量的概念 ，熟悉常见的概率分布（如二项分布 、正态分布等）。
数学期望与方差
理解数学期望和方差的概念，会计算 随机变量的数学期望和方差。
大数定律与中心极限定理
蒙特·卡罗方法可用于模拟结构在各种工况下的响应，优化结构 设计方案，提高结构的安全性和经济性。
工艺流程优化
通过蒙特·卡罗方法模拟工艺流程中的各种不确定因素，优化工 艺参数和操作条件，提高产品质量和生产效率。
控制策略优化
蒙特·卡罗方法可用于模拟控制系统的动态过程，优化控制策略 ，提高控制系统的稳定性和控制精度。
系统故障模拟
蒙特·卡罗方法可用于模拟复杂系 统的故障过程，评估系统的可靠
性和维修性。
风险评估
通过蒙特·卡罗方法模拟各种风险 因素对系统的影响，量化风险指标 ，为风险管理提供决策支持。
敏感性分析
蒙特·卡罗方法可用于分析系统参数 变化对系统性能的影响，确定关键 参数和敏感因素。
工程设计优化问题
结构优化设计
根据设计的模拟流程，编写相应的模拟程 序，实现模拟实验的自动化进行。
计算机的随机数
计算机的随机数随机数是指在一定范围内，无法预测的数字，它在计算机科学中有着广泛的应用。
无论是数据加密、模拟随机事件还是数据压缩，随机数都是不可或缺的。
计算机中的随机数可以分为真正的随机数和伪随机数两类。
真正的随机数是通过特殊硬件设备或自然现象（如大气噪声）生成的数字。
而伪随机数是通过算法模拟随机数的生成过程，这种方式生成的随机数虽然看似随机，但却可以完全通过计算预测。
在计算机中生成随机数的方式一般是通过随机数生成器（Random Number Generator，简称 RNG）实现。
随机数生成器是一个通过一定的算法生成随机数的程序或硬件设备。
随机数生成器一般需要一个种子（Seed）来初始化，种子可以是时间、多个输入等随机特征，而随机数生成器则使用种子和初始状态生成一串看似随机的数字序列。
伪随机数生成算法常见的有线性同余发生器（Linear Congruential Generator，简称 LCG）、Mersenne Twister、Blum Blum Shub等。
其中，LCG是最简单的一种随机数生成算法，它的随机数序列是通过以下公式生成的：Xn+1 = (a*Xn + c) mod m其中a、c、m分别为对应的随机数常数，Xn为当前随机数，Xn+1为下一个随机数。
LCG可以使用任意的初始种子进行初始化，但其生成的随机数序列有着周期性，因此不适合生成特别长的随机数序列。
Mersenne Twister则是一种较为高级的随机数生成算法，其生成的随机数序列被认为是比较随机的。
Blum Blum Shub则是一种基于数论的随机数生成算法，其生成的随机数序列被认为是比较可靠和安全的。
除了伪随机数生成算法之外，还存在硬件随机数生成设备。
这些设备利用物理现象（例如光、热、电子噪声等）生成真正随机的数字序列。
硬件随机数生成设备一般由专门的芯片实现，其生成的随机数序列也被认为是比较随机的且难以预测。
总之，随机数在计算机科学中有着广泛的应用，无论是数据加密、网络协议还是模拟随机事件都需要依赖于随机数。
彭芳麟计算物理基础课后答案
彭芳麟计算物理基础课后答案P968、t=[0:0.1:2*pi]; A1=5; A2=3; w1=2; w2=4;x1=A1*sin(w1*t+pi/3); x2=A2*sin(w2*t+pi/4); plot(t,x1,'-r',t,x2,'-b');1234567-5-4-3-2-1012345P98 21 x=-5:0.1:5; y=0:0.1:10;[X,Y]=meshgrid(x,y); z=X.^2.*Y + sqrt(Y)./X; mesh(X,Y,z);-2024-22P97 20 subplot(1,2,1);[X0,Y0,Z0]=sphere(20); X=2*X0;Y=3*Y0; Z=4*Z0+1; surf(X,Y,Z); axis equal subplot(1,2,2) t=-1:0.1:1;[X,Y,Z]=cylinder(1+t.^2,20);%形成旋转曲面 surf(X,Y,Z); P195 1x=[-1.0 -0.75 -0.50 -0.25 0 0.25 0.50 0.75 1.00];y=[-0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 2.5645 3.1334 3.7061 4.2836];a=polyfit(x,y,1);a= 2.2516 2.0131y=2.2516x+2.0131P151 3syms vvp=1578;f=int(4/pi^(1/2)*v^2/vp^3*exp(-v^2/vp^2),v,0,Inf);VF=vpa(f);1. 解：依题，取a 5,c 1,m 16, x0 1xn 1 (5xn 1)(mod16),x0 1,x伪随机数：n n162. 解：依题，取a 137,c 187,m 256,x0 1xn 1 (137xn 187)(mod 256),x0 1,xn 2 (137xn 1 187)(mod 256),x x x伪随机数：n n ,n 1 n 1 ,n 2 n 2256 256 2563. 解：引入二维随机均匀分布向量(x,) 表示针在桌上的位置，s 1 1x [0, ], f (x ) ;[0, ], f () .1 22 s / 2 0 2 / 2 0其中，s 为线间的距离，l 为针长度，x 为线中点到最近平行线的距离，为针与线平行线间的夹角。
随机数算法
随机数算法简介随机数在计算机科学和信息安全领域扮演着重要角色。
随机数算法用于生成一系列看似随机的数字，这些数字在统计上是均匀分布、不可预测的。
本文将介绍几种常见的随机数算法，包括伪随机数算法和真随机数算法，以及它们的优缺点和应用场景。
伪随机数算法伪随机数算法是一种基于确定性计算的生成随机数的方法。
通过一个初始种子(seed)，该算法按照一定规则生成一系列数字。
由于算法的确定性，相同的初始种子将产生相同的随机数序列。
线性同余法线性同余法是最常见的伪随机数生成算法之一。
它通过以下公式计算随机数：X(n+1) = (a × X(n) + c) mod m其中，X(n)表示当前的随机数，X(n+1)表示下一个随机数，a、c、m是事先确定的常数。
这个算法的优点是简单、高效，也易于实现。
然而，如果选择的参数不当，可能产生周期较短或重复的随机数序列。
梅森旋转算法梅森旋转算法是一类伪随机数算法的统称，它们使用一个巨大的状态空间来生成随机数。
最著名的梅森旋转算法是梅森旋转发生器(Mersenne Twister)。
梅森旋转算法的优点是周期非常长，产生的随机数序列质量较高。
它的缺点是占用内存较大，生成随机数的速度相对较慢。
真随机数算法真随机数算法是通过物理过程来生成随机数，例如电子噪声、放射性衰变等。
相比于伪随机数算法，真随机数算法具有更高的随机性和不可预测性。
硬件随机数生成器硬件随机数生成器是一种基于物理过程的真随机数生成器。
它利用物理设备（如热噪声源、放射性衰变）产生的不可预测的随机事件来生成随机数。
由于依赖于硬件设备，硬件随机数生成器通常安全性较高，但成本也较高。
环境噪声环境噪声是通过采集环境中的噪声信号来生成随机数。
这些噪声信号可以是来自于温度、湿度、大气压力等方面的变化。
环境噪声具有很高的随机性，可以被用作真随机数的来源。
由于环境噪声易于采集和获取，这种方法相对来说比硬件随机数生成器更容易实现。
计算物理学练习题及参考解答
如图第一项限中单位正方形内投点在圆内的概率即为单位圆面积的四分之一。
2 数学方程： 4 dx1 dx2 (1 x12 x2 )
1
0
1
0
算法框图： 产生随机点 （ξ， η） M 个； 统计其中满足条件 2 2 1 的点的个数 N； 计算π值 4 N / M 。 Matlab 程序：P=4/100000*length(find(sum(rand(2,100000).^2)<1))
F ( x ) pi 。
xi x
在区间[0,1]上取均匀分布的随机数ξ，判断满足下式的 j 值：
F ( x j 1 ) F ( x j )
则抽样值η为 x j ，η分布符合分布函数 F(x)的要求为。 25、试述连续分布的随机变量的变换抽样法。 答：设连续型随机变量η的分布密度函数为 f ( x ) 。要对满足分布密度函数 f(x)的随机变量η 抽样较难时 可考虑通过其它已知函数的抽样来得到。考虑变换
!输出 avu,du1,du2,del 100 open(12,file='out.dat') write(12,1000) Nt,Ng,Nf,Ns,dx,avu,du1,du2,del close(12)
5
1000 format(4i10,5f15.4) end 计算距离的函数子程序 function dist(x,y,z) dist=sqrt(x*x+y*y+z*z) return end ! 计算权重的函数子程序 subroutine weight(x,f) dimension x(6) r1=dist(x(1),x(2),x(3)) r2=dist(x(4),x(5),x(6)) f=exp(-3.375*(r1+r2)) return end ! 梅氏游动一步的子程序 subroutine walk(RND,dx,x) dimension x(6),x0(6) call weight(x,f0) do 10 i=1,6 x0(i)=x(i) call random(RND) ! 存旧 10 x(i)=x(i)+dx*(RND-0.5) ! 生新 call weight(x,f) call random(RND) if(f.ge.f0*RND) goto 30 !游动 do 20 i=1,6 20 x(i)=x0(i) !不动 30 return End 29．有限差分法 答：微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来 代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数 来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件 就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组 ，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 30．采用有限差分法求解微分方程时可以用直接法、随机游走法和迭代求解法。其中迭代法被广泛采用， 有直接迭代法、高斯－赛德尔迭代法和超松弛迭代法。 !
马文淦《计算物理学》习题
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H 0 ( x ) = 1, H1 ( x ) = x , = H n +1 ( x ) 2 x H n ( x ) − 2n H n −1 ( x ). （7）Mathematica 语言编写一个从某点出发求多元函数的局部极小或极大 值的程序包。 （8）用 Mathematica 语言编写一个程序包，它能实现平面图形的（a）平 移， （b）旋转， （c）对 x 坐标轴的反射。
第三章、Monte Carlo 方法的若干应用（习题）
（1）利用 Monte Carlo 方法计算三维、四维、五维和六维空间的单位半径 球的体积。 （2）利用分布密度函数 f ( x ) = A e − x 做重要抽样来求积分，并分析误差与 投点数的关系。
I =∫
+∞ 0
x 5/2 e − x d x.
∑
j =1
l
1 π4 ≥ ξ , 1 j4 90
然后置 x = −
1 ln(xxxx 2 3 4 5 ) ，其中 ξi 为 [0,1] 区间均匀分布的伪随机数。 L （11）对正则高斯分布抽样： ( x − µ )2 1 = p( x ) d x exp − d x. 2 σ 2 σ 2p （12）Gamma 函数的一般形式为 = f ( x) d x an x n −1 e − ax d x ( x ≥ 0) ( n − 1)!
第四章、有， 数值求解正方形场域 （ 0 ≤ x ≤ 1，
的拉普拉斯方程：
∇2ϕ ( x, y ) = 0; ( x,0) ϕ = ( x,1) 0, ϕ= (0, y ) ϕ= (1, y ) 1. ϕ=
（2）用有限差分法发展一个程序，数值求解极坐标下的泊松方程：
计算物理
《计算物理》 (丁泽军)概论概论0.1 0.1.1 计算物理学概貌 计算物理学的意义计算物理学是随着计 理论物理学 实验物理学 算机技术的飞跃进步而不 断发展的一门学科，在借 助各种数值计算方法的基 础上，结合了实验物理和 理论物理学的成果，开拓 计算物理学 了人类认识自然界的新方 法。
传统的观念认为，理 图 0.1.1-1 现代物理学三大类别之间的关系。
论是理论物理学家的事， 而实验是实验物理学家的事，两者之间不见得有必然的联系，但现代的计算机实 验已经在理论和实验之间建立了很好的桥梁。
一个理论是否正确可以通过计算机 模拟并于实验结果进行定量的比较加以验证， 而实验中的物理过程也可通过模拟 加以理解。
当今，计算物理学在自然科学研究中的巨大威力的发挥使得人们不再 单纯地认为它仅是理论物理学家的一个辅助工具，更广泛意义上，实验物理学、 理论物理学和计算物理学已经步入一个三强鼎立的“三国时代” ，它们以不同的 研究方式来逼近自然规律（图 0.1.1-1） 。
计算机数值模拟可以作为探索自然规律的一个很好的工具，其理由是，纯理 论不能完全描述自然可能产生的复杂现象， 很多现象不是那么容易地通过理论方 程加以预见。
说明这个观点的一个最好的例子是，20 世纪 50 年代初，统计物理 学中的一个热点问题是， 一个仅有强短程排斥力而无任何相互吸引力的球形粒子 体系能否形成晶体。
计算机模拟确认了这种体系有一阶凝固相变，但在当时人们 难于置信，在 1957 年一次由 15 名杰出科学家参加的讨论会上，对于形成晶体的 可能性，有一半人投票表示不相信。
其后的研究工作表明，强排斥力的确决定了 简单液体的结构性质，而吸引力只具有次要的作用。
另外一个著名的例子是粒子 穿过固体时的通道效应就是通过计算机模拟而偶然发现的，当时，在进行模拟入 射到晶体中的离子时，一次突然计算似乎陷入了循环无终止地持续了下去，消耗 了研究人员的大量计算费用。
真随机数产生方法
真随机数产生方法随机数是指在一定范围内并且没有规律、符合统计概率的数值。
在现代科学技术中，随机数广泛应用于密码学、模拟实验、数值计算以及数据分析等领域。
为了保证随机数的真实性和随机性，在随机数的产生上需要使用一些特定的方法和算法，下面将介绍几种常用的随机数产生方法。
1.物理随机数生成器：物理随机数生成器基于物理过程生成随机数，如放射性衰变、热噪声、光子计数器等。
以上过程都属于物理性质的随机现象，可以提供高质量的随机数。
这种方法的优点是能够生成真正的随机数，但缺点是设备成本较高且硬件复杂。
2.伪随机数生成器：伪随机数生成器是指利用确定性算法产生的数列，该数列具有类似随机数的统计性质。
计算机程序中常用的随机数生成算法如线性同余法、乘积同余法、梅森旋转算法等。
这种方法的优点是产生速度快且成本较低，但缺点是数列的随机性有一定的限度，容易出现周期性。
3.基于硬件和软件的混合随机数生成器：基于硬件和软件的混合随机数生成器结合了物理随机数生成器和伪随机数生成器的优点。
生成器的硬件部分通过采集物理噪声等真正的随机信息，然后再通过伪随机数生成算法进行处理，生成随机数。
这种方法既能提供较高质量的真随机数，又能满足生成速度和成本的要求。
4.基于量子力学的随机数生成器：基于量子力学的随机数生成器利用量子物理学的特性生成随机数。
例如，基于单光子的随机数生成器采用光子的量子性质来产生随机数，利用光的干涉和吸收性质使得光子到达探测器的时间是随机的。
这种方法的优点是可以生成高质量的真随机数，但缺点是设备成本较高且技术复杂。
随机数在现代社会中应用广泛，例如在密码学中使用随机数生成密钥，保证密码的安全性；在模拟实验中使用随机数生成不确定变量，模拟实际情况；在数据分析和机器学习中使用随机数进行抽样和建模等。
因此，随机数的产生方法具有重要意义。
总结起来，随机数的产生方法可以分为物理随机数生成器、伪随机数生成器和基于硬件和软件的混合随机数生成器。
蒙特卡洛方法在高分子科学研究中的应用
蒙特卡洛方法在高分子科学研究中的应用摘要蒙特卡洛方法于上世纪提出，随着现代科技的发展，蒙特卡洛方法的基本思想在愈来愈多的领域得到运用与研究。
蒙特卡洛方法作为一种重要的统计模拟方法，广泛应用于高分子科学、统计物理、生物医药、金融等领域中的模拟计算。
蒙特卡洛方法可以用于模拟高分子的各种微观状态，构建不同概率分布的高分子构象。
本文介绍了蒙特卡洛方法的基本原理和方法以及在高分子科研中的特征与应用。
关键词：蒙特卡洛方法高分子蒙特卡洛，在世界地图上是俯卧在地中海沿岸国度摩纳哥的一个城市，那里也凭借弥漫着随机性的赌场闻名于世。
而将蒙特卡洛作为一种计算方法的命名显然已经赋予了其新的内容。
所以，顾名思义，蒙特卡洛方法与赌博中的随机性，概率性有着天然且密切的联系。
几乎涉及到复杂的、与概率相关的数值计算的领域都有可能会用到，比如计算物理、经济金融等。
在数学上，蒙特卡洛方法被称为随机模拟方法、随机抽样技术或者统计试验方法。
别看它的别称这么多，其实，蒙特卡洛方法并没有什么高深的理论，它只是一种方法或者说是策略，如果一定要说的话那只有概率论或统计学中的大数定律了。
它的最基本思想是：为了求解数学、物理及化学等问题，建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；当所解的问题本身属随机性问题时，则可采用直接模拟法；然后通过对模型或过程的观察抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。
在高分子科研中蒙特卡洛主要采用直接模拟法。
蒙特卡洛方法的突出特点是，它的解是由试验得到的，而不是计算出来的。
其程序结构简单，解题时受问题条件限制的影响较小，具有广泛的适应性。
但不能解决精确度要求很高的问题。
其次，蒙特卡洛方法需要大量的随机数，计算量很大，人工计算需耗费大量的时间，而利用计算机可大大减少计算时间，增加试验次数以提高计算精度，因此，蒙特卡洛方法的广泛应用与计算机技术的发展是不可分割的。
（伪）随机数是蒙特卡洛方法的实现基础，一个良好的随机数可以加快模型的收敛。
计算物理maple
一、问答题1.简述计算物理与理论物理和实验物理的关系？计算物理学（computationalphysics）是物理学、数学、计算机科学三者结合的产物，与理论物理和实验物理有着密切的关系。
定义为以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法，解决复杂的物理现象问题的一门应用型学科。
计算物理所依赖的理论原理和数学方程由理论物理提供，结论还需要理论物理来分析检验。
同时所需要的数据是由实验物理提供的，结果也需要实验来检验。
对实验物理而言，计算物理可以帮助解决实验数据的分析，控制实验设备，自动化数据获取以及模拟实验过程等。
对理论物理而言，计算物理可以为理论物理研究提供计算数据，为理论计算提供进行复杂的数值和接下运算的方法和手段。
计算物理学研究如何使用数值方法解决已经存在定量理论的物理问题。
总之，计算物理学是伴随电子计算机的出现而发展起来的一门新学科。
它区别于实验物理和理论物理。
但在整个物理学的发展过程中, 计算物理，理论物理和实验物理是相辅相成，相互促进，密不可分的。
2.计算物理有哪些主要分支，各有什么特点？计算物理学的研究对象非常广泛，大到整个宇宙，小到基本粒子.计算物理学的内容一般包括两个方面:一是用计算机计算一个复杂系统的力学性质和统计性质，另一是用计算机做模拟.(一)科学计算一个系统，随着它的维数和尺度的增加，求解的复杂性也增加了.例如二体问题，一般可求解，三体问题和四体问题求解很复杂，而对于多体问题求解就更复杂了。
一般方法是将有关方程作数值解，有效的途径就是用高速大型的电子计算机进行运算.科学计算在天体物理的多体动力学研究、引力论、大气物理、等离子体物理、高度非平衡现象以及原子分子物理等等各个方面都有广泛的应用.特别对于非线性系统，利用计算机求解就显得更重要.到目前为止，一般的非线性方程解析解还处在开始发展阶段，只有少数几种情况下有解析解.我们对一个由差分或微分方程描述的简单非线性系统，利用计算机进行运算时，结果出现复杂的振荡和不稳定的行为，以及存在倍周期分岔序列和“混乱”行为.这个“混乱”行为对于非线性系统具有一定的普适性，因此受到大家的普遍关注。
随机数的方法
随机数的方法随机数是计算机领域中常用的一种方法，用于产生一组随机的数值。
在一些需要随机性的计算中，比如密码学、概率统计、物理模拟等，随机数的作用不可忽视。
下面将介绍几种常用的随机数产生方法。
一、线性同余法线性同余法是最简单、最基础的随机数产生算法。
它的计算原理是利用某个数不断地乘以一个常数并加上另一个常数，然后对一个大数取余数，得到的余数就是一个伪随机数。
该算法的公式为：X(n+1) = (aX(n)+c) mod m其中，X(n)为第n个随机数，a、c、m为常数。
为了避免过多的线性相关性，常数的选择至关重要。
二、拉斐特——罗森费尔德算法拉斐特——罗森费尔德算法又称真随机数发生器，它是一种基于物理过程的随机数生成方法。
它的原理是利用光电效应或微波辐射产生的电信号的微小变化，作为随机因素，产生随机数。
该算法生成的随机数既真实又不可预测，但是需要一些特殊的硬件设备才能实现。
三、梅森旋转算法梅森旋转算法是一种用于产生高质量随机数的算法。
它的原理是利用一个大型的循环移位寄存器，每次进行大量的移位运算以增加随机性。
该算法的随机性非常好，并且产生的随机数周期很长，但是它需要更多的时间和计算资源来实现。
四、高斯分布高斯分布是一种常见的概率分布，也是一种常用的随机数生成方法。
它的原理是根据正态分布函数的概率密度函数来产生符合该函数的随机数。
通过该方法生成的随机数呈现出逼近正态分布的性质，适用于需要模拟实际情况的概率统计问题。
总之，随机数发生算法有很多种，我们需要根据实际需要选择合适的算法。
在实际应用中，需要考虑到随机数的质量、随机性、周期性等方面问题。
如何利用计算机伪概率伪随机数
如何利用计算机伪概率伪随机数计算机伪概率和伪随机数是在计算机科学领域中常用的概念和技术，用于模拟具有随机性的事件和生成伪随机序列。
虽然它们并不是真正的随机数和概率，但在很多实际应用中能够提供足够的随机性和可预测性。
在下面的文章中，我们将看到如何利用计算机伪概率和伪随机数。
首先，我们来了解一下计算机伪概率的概念。
在计算机科学中，概率是描述一个事件发生的可能性的度量。
而计算机伪概率指的是利用计算机算法和数学模型来模拟真实世界中的概率分布。
计算机伪概率不是真正的概率，因为它们是通过算法和数学公式计算得到的，而不是真实随机事件的结果。
然而，计算机伪概率往往能够提供足够的随机性，以满足大多数实际应用的需求。
接下来，我们来看一下伪随机数的概念。
在计算机科学中，伪随机数是利用确定性算法通过一系列的计算步骤生成的数字序列。
这些数字看起来是随机的，但实际上是通过一定的数学模型和算法计算得到的。
伪随机数的生成过程通常以一个种子值作为输入，通过运用一定的计算步骤和算法来生成一个序列。
利用计算机伪概率和伪随机数有很多实际应用。
下面是一些例子：1.模拟实验：在科学研究和工程设计中，我们经常需要进行各种实验来验证理论和模型的正确性。
使用计算机伪概率和伪随机数可以生成模拟实验的输入数据，以模拟真实物理或化学系统的行为。
这样可以避免实际实验的成本和时间消耗，并且可以对实验条件和参数进行自由控制。
2.游戏和赌博：计算机游戏和赌博游戏通常需要使用随机数来生成随机的游戏结果。
利用计算机伪随机数可以实现具有良好随机性的游戏体验，确保游戏结果的公平性和随机性。
3.加密和安全：在密码学和网络安全领域中，随机数生成是非常重要的一个环节。
利用计算机伪随机数可以生成加密密钥、随机种子和安全令牌等，在保护数据的传输和存储过程中起到重要作用。
4.模拟随机事件：在一些模拟和优化问题中，需要模拟真实随机事件的行为和结果。
利用计算机伪概率和伪随机数可以模拟一些具有随机性的过程，如天气模拟、交通流量模拟等，以便进行系统优化和决策。
计算物理_第8章_蒙特卡洛方法
Monte Carlo方法的特点
• Monte Carlo方法与数值解法的不同 Monte Carlo方法: 随机抽样的方法来求解物理问题;
数值解法:从一个物理系统的数学模型出发,通过求解一 系列的微分方程来的导出系统的未知状态;
产生整型的随机数序列,随机性来源于取模运算
如果c=0 乘同余法：速度更快，也可产生长的随机数序列
产生伪随机数的乘加同余方法
产生伪随机数的乘加同余方法是由Rotenberg 于1960年提出来的，由于这个方法有很多优点， 已成为仅次于乘同余方法产生伪随机数的另一 主要方法。
乘加同余方法的一般形式是，对任意初始值x1，
Monte Carlo模拟的步骤
1. 根据研究的物理系统的性质，建立能够描述该系统特性的 理论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数；
2. 从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一些模 拟结果；
3. 对模拟结果进行分析总结，预言物理系统的某些特性。
Monte Carlo方法的特点
• Monte Carlo方法与数值解法的不同 Monte Carlo方法利用随机抽样的方法来求解物理问题;
因为随机数表需在计算机中占有很大内存，而且也难 以满足蒙特卡罗方法对随机数需要量非常大的要求， 因此，该方法不适于在计算机上使用。
伪随机数 （Pseudo-Random Number)
伪随机数
在计算机上产生随机数最实用、最常见的方法 是数学方法，即用如下递推公式：
nk T ( n , n1 ,, nk1 ), n 1,2,
物理方法
用物理方法产生随机数的基本原理是：利用某些 物理现象，在计算机上增加些特殊设备，可以在 计算机上直接产生随机数。这些特殊设备称为随 机数发生器。用来作为随机数发生器的物理源主 要有两种：一种是根据放射性物质的放射性，另 一种是利用计算机的固有噪声。
随机数详解
自由度的显著水平为 α 时的 tα 值。计算出来的 χ 2 小于 tα ， 则认为在 α 的显著水平下，原伪随机数在[0，1]区间是均 匀分布的假定是正确的。 如果计算的得到的 χ 2 大于 tα ，则认为在 α 的显著水平 下，伪随机数不满足均匀性的要求。 通常取显著水平为 0.01 或 0.05。为了反映均匀性分 布的特性，k 的取值不宜太小，但也不能太大。一般选取 的 k 值， 要能使每个子区间有若干个伪随机数时就比较合 适。
2 xn +1 = 10 − r xn mod10 2 r
[
](
ξ n = xn / 10
2r
).
这样得到的 {ξ i }伪随机数序列是分布在[0，1]上的。相应的二 进制递推公式为( x n 为 2r 位二进制数)：
2 x n +1 = 2 − r x n mod 2 2 r
[
](
)
ξ n = x n / 2 2r
（2） 独立性检验—无重复联列检验 如果把[0，1]上的伪随机数序列 {ξ1, ξ 2 ,......, ξ 2 N }分成两列
ξ 1 , ξ 3 ,...ξ 2i −1 ,..., ξ 2 N −1
ξ 2 , ξ 4 ,...ξ 2i ,..., ξ 2 N
第一列作为随机变量 x 的取值，第二列作为随机变量 y 的取 值。在 x − y 平面内的单位正方形域 [0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1] 上，分别以 平行于坐标轴的平行线，将正方形域分成 k × k 个相同面积的 小正方形网格。落在每个网格内的随机数的频数 nij 应当近似 等于 N / k 2 。由此可以算出 χ 2 为
N / k 。此数也称频数。它的统计误差 σ i =
”伪随机数”和”真随机数”有何不同？
”伪随机数”和”真随机数”有何不同？随着信息技术的飞速发展，越来越多的应用对随机数的需求日益增加。
而随机数可以分为"伪随机数"和"真随机数"两类。
尽管它们在表面上看起来没有太大区别，但实际上它们之间存在着许多显著的差异。
本文将详细介绍"伪随机数"和"真随机数"的定义以及它们的区别。
一、定义与概念1. 伪随机数伪随机数是指通过确定的计算方法生成的数列，看似随机但实际上是可预测的。
这里的"伪"并非表示虚假或欺骗性质，而是指在给定初始条件下，每一次生成的数都是可重复的。
伪随机数通常使用算法生成，其中一个著名的算法是线性同余法。
2. 真随机数真随机数是无法通过计算或算法预测的数列，每一个数都是独立自由且不可重复的。
真随机数是通过利用自然界的某种随机现象或物理器件来产生的，如大气噪声、核裂变等。
二、生成原理与方法1. 伪随机数的生成原理伪随机数的生成依赖于确定的计算方法或算法。
常见的算法包括线性同余法、梅森旋转算法等。
这些算法通过对种子数进行一系列的计算操作，生成一个数列。
由于算法的确定性，伪随机数的生成是可预测的，即在给定初始条件下，相同的算法必定会产生相同的数列。
2. 真随机数的生成方法真随机数的生成依赖于自然界的随机现象或物理器件。
其中，大气噪声是一种常用的生成真随机数的方法。
大气噪声是无线电领域一种广泛存在的随机信号，利用大气噪声的不可预测性，可以通过特殊的电路将其转化为真随机数。
三、可预测性与安全性1. 伪随机数的可预测性由于伪随机数是通过算法生成的，因此在给定算法和初始条件的情况下，可以准确预测出下一个生成的数。
这就意味着，如果攻击者获取了生成伪随机数的算法和初始条件，就可以轻松破解伪随机数的生成过程，从而威胁到加密数据的安全性。
2. 真随机数的安全性真随机数的生成不依赖于算法，而是利用自然界的随机现象产生的。
随机数及随机数生成器
我所关注的随机数及其生成器化学物理系（003）SA06003030 马瑞作为化学物理系从事计算化学和计算物理方面工作的科学工作者，我们在科研中经常用到随机数及其生成器，确切的说应该是“伪随机数”和“伪随机数生成器”！特别是在计算物理学中的蒙特卡罗模拟，还有对其它许多较为复杂的模型的动力学过程模拟……。
在这些计算所需的程序中几乎都离不开伪随机数生成器，而且许多对计算机硬件、编程、算法不太在意的同行们，往往就把这里的“伪随机数”当作真正的随机数用了。
我曾经听说过一个故事：有一位计算物理学家在使用蒙特卡罗模拟时，发现其所得的结果总是无法与实验结果相吻合。
在排除了其它一切可能之后，他把注意力集中在自己所用的伪随机数生成器上，经过一系列繁琐的数学变换，他最终发现——自己所求解的计算物理模型涉及到高维空间中的一组平行等距平面切分高维球体的问题，而这个伪随机数生成器产生的坐标所确定的点，恰恰不能在这个高维球面上均匀分布！我的亲身经历其实，我自己也亲眼见证过类似的事件：大三的时候，我曾经写过一个包含有随机过程的Turbo C程序，它能一边模拟一个模型的演化过程，一边实时将模型的当前状态绘制在屏幕上。
刚开始，我使用一个伪随机数生成器来产生连续的伪随机数序列，以此作为二维平面上点的一对又一对坐标值，结果竟然在屏幕的实时监控动画上发现——“随机”确定的一连串点，竟然在平面上近似沿着一条直线散布！这明显会向我的模型演化结果中引入奇异的现象，当然这些现象将是不真实的。
后来，我不时用系统时钟初始化伪随机数生成器，从而产生没有明显分布规律的二维随机点，至少在表面上获得了合乎需要的二维均匀分布。
但是自此以后，我一直相当关注随机数及其生成器的问题，特别注意如何有效避免“伪随机数数列”的内在规律对实际使用的干扰，当然还留意一些产生真正随机数而不是“伪随机数”的方法；另一方面，我们从事理论化学和统计物理方面研究的人，常常会对涉及到热力学函数“熵”、“焓”、“内能”的问题感兴趣，恰好关于随机数的研究也可以从“信息熵”的角度来分析。
随机数法
用“线性同余法”产生随机数，公式如下：x=(x*29+7) mod 1000为什么是29和37？为什么用MOD ？mod 1000的意思就是如果超过1000就把该数减去1000.还可以打个比方，x mod 12 代表的是钟表刻度，它的值永远在0..11之间。
这个概念在数学里叫”同余”。
一般：在计算机上可以用物理方法来产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。
另一种方法是用数学递推公式产生，这样产生的序列与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数或伪随机序列，只要方法和参数选择合适，所产生的伪随机数就能满足均匀性和独立性，与真正的随机数具有相近的性质。
产生随机数的方法是先用一定的方法产生[0,1]均匀分布的随机数，然后通过一个适当的变换就可以得到符合某一概率模型的随机数。
常用的产生[0,1]均匀分布的随机数的方法有乘同余法和混合同余法。
用乘同余法产生[0,1]均匀分布的随机数递推公式为：Xi=λxi-1(modM) (i=1,2,……n) (2-13)式中λ为乘子，M为模，当i=1时，xi=xi-1为初始参数，x0可取1或任意奇数。
利用上式算出序列x1,x2……后再取γ i=xi / M (2-14)即为第i个[0,1] 均匀分布的随机数。
混合同余法又称线性同余法，产生随机数的递推公式为：Xi=(λxi-1+C)(modM) (i=1,2,……n) (2-15)γ i=xi / M (2-16)根据概率论可知，[0,1]均匀分布的随机变量ζ与其它的变量ζ之间存在如下的重要关系：η=F-1(ζ) (2-17)式中F-1( . )为变量η的分布函数。
对于F-1( . )不能表示为显函数的情况，可采用线性插值法变换，此时η与ζ的关系，可用图2-6来表示。
在[0,1]均匀分布随机变量轴上，在0-1之间可划成m等份。
给定分布的概率分布曲线也同时被划分成m段，将每一段曲线用折线来代替就可以得到对应于[0,1]均匀分布随机数γi的给定分布的随机数xi。
冯诺伊曼伪随机数取中法
冯诺伊曼伪随机数取中法1.引言1.1 概述冯诺伊曼伪随机数取中法是一种用于生成伪随机数的算法。
在计算机科学领域，伪随机数的生成非常重要。
通常情况下，真正的随机数是由物理现象生成的，例如放射性衰变或热噪声，但这些方法不太实用也不够高效。
因此，我们需要一种生成伪随机数的方法，它可以在计算机中模拟真正的随机性。
冯诺伊曼伪随机数取中法是一种简单但有效的伪随机数生成器。
它的基本原理是通过对一个数进行一系列的数学运算，得到一个看似随机的结果。
尽管这些结果并不能被视为真正的随机数，但它们的分布和性质足够接近真正的随机数，以满足大多数应用的需求。
本文将首先介绍冯诺伊曼伪随机数生成器的基本原理和算法流程。
然后，将重点讨论其中的一种常用方法，即取中法。
这种方法通过从生成的伪随机数中取中间的一部分作为新的伪随机数，进一步增加了其随机性和无序性。
我们将详细描述这个方法的实现步骤，并通过具体的示例来说明其效果和优势。
最后，我们将总结本文的内容，强调冯诺伊曼伪随机数取中法的重要性和应用前景。
虽然它并不是最先进或最复杂的伪随机数生成器，但其简单性和高效性使其在许多实际应用中仍然具有广泛的适用性。
我们还将展望未来可能的改进和发展方向，以进一步提高伪随机数生成器的性能和功能。
综上所述，本文将详细介绍冯诺伊曼伪随机数取中法的原理、方法和应用。
读者将能够全面了解这一算法，并在实际应用中灵活运用。
对于对于计算机科学和随机数生成有兴趣的读者，本文将提供有价值的信息和参考。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言中，我们将概述本文的主题和内容，简要介绍冯诺伊曼伪随机数取中法的背景和应用领域。
接着，我们将给出本文的结构，明确将要讨论的各个方面和章节，为读者提供阅读指南。
最后，我们将阐述本文的目的，即为读者提供关于冯诺伊曼伪随机数取中法的详尽信息和分析。
在正文部分，我们将详细介绍冯诺伊曼伪随机数生成器的原理和特点。
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ξ n′ + i = ξ n′′ + i
i = 1,2, L , k
(2) 随机数序列便出现了周期性的循环现象。对于 随机数序列便出现了周期性的循环现象。对于k=1的情 周期性的循环现象 的情 只要有一个随机数重复，其后面的随机数全部重复， 况，只要有一个随机数重复，其后面的随机数全部重复， 这与随机数的要求是不相符的。 这与随机数的要求是不相符的。
它的产生效率为p(1)p(0)=p(1-p)，其中p为p(0)或p(1)。 ，其中 为 它的产生效率为 或 。 其产生效率的最大值为25%。 其产生效率的最大值为 。
4
巴夫昂投针实验在真随机数产生器中由于物理偏差所引起的问 巴夫昂投针实验在真随机数产生器中由于物理偏差所引起的问 真随机数 题： （ 1）在投针实验中平行线间间距必须保证为一个常数值， 并 ） 在投针实验中平行线间间距必须保证为一个常数值， 在所要求的误差范围内与针长相等。如果我们仅要求π值的一 在所要求的误差范围内与针长相等 。 如果我们仅要求 值的一 至二位有效数字，这个要求是不难满足做到的， 至二位有效数字，这个要求是不难满足做到的，但是如果要求 更多位的有效数字，这就比较困难了。 更多位的有效数字，这就比较困难了。 （ 2）正确地判断临界状态下的针与平行线的相交也非易事 。 ） 正确地判断临界状态下的针与平行线的相交也非易事。 （ 3）必须保证针的投掷位置和角度的分布是均匀分布的。 为 ） 必须保证针的投掷位置和角度的分布是均匀分布的。 保证角度分布的均匀性，可以在投针的时候，让针迅速旋转， 保证角度分布的均匀性，可以在投针的时候，让针迅速旋转， 并采用非常平的、摩擦系数是各向同性的桌面。 并采用非常平的、摩擦系数是各向同性的桌面。 （ 4）投针位置的分布决不是均匀分布的 ， 而是在投掷目标点 ） 投针位置的分布决不是均匀分布的， 周围服从高斯分布。在实际应用中，我们必须由实验来决定这 周围服从高斯分布。 在实际应用中， 一分布宽度， 一分布宽度，并且要对它引起的偏差做类似于前面所述的由弗 里吉雷欧等人所做的复杂修正。 里吉雷欧等人所做的复杂修正。
7
用数学方法产生的伪随机数，存在两个问题 用数学方法产生的伪随机数，存在两个问题 (1) 递推公式和初始值 1，确定后，整个随机数序列便被唯 递推公式和初始值ξ 确定后， 一确定。不满足随机数相互独立 的要求。 相互独立的要求 一确定 。 不满足随机数 相互独立 的要求 。 由于随机数序列 是由递推公式确定的，而在计算机上所能表示的[0， 上的 是由递推公式确定的，而在计算机上所能表示的 ，1]上的 数又是有限的，因此， 数又是有限的 ， 因此 ， 这种方法产生的随机数序列就不可 能不出现无限重复。一旦出现这样的n’， 能不出现无限重复。一旦出现这样的 ，n” (n’< n” )，使 ， 得下面等式成立： 得下面等式成立：
2-2 随机数与伪随机数
三种类型： 三种类型： (1) 真随机数列， 真随机数列， (2) 准随机数列 准随机数列, (3) 伪随机数列。 伪随机数列。
1
一 真随机数 真随机数数列是不可预计的， 真随机数数列是不可预计的，因而也不可能重 复产生两个相同的真随机数数列。 复产生两个相同的真随机数数列。 真随机数只能用某些随机物理过程来产生。 真随机数只能用某些随机物理过程来产生。例 放射性衰变、 电子设备的热噪音、 如 ： 放射性衰变 、 电子设备的热噪音 、 宇宙射线 的触发时间等等。 的触发时间等等。 如果采用随机物理过程来产生蒙特卡洛计算 用的随机数， 理论上不存在什么问题。 用的随机数 ， 理论上不存在什么问题 。 但在实际 应用时， 要做出速度很快（ 应用时 ， 要做出速度很快 （ 例如每秒产生上百个 浮点数） 浮点数 ） ， 而又准确的随机数物理过程产生器是 非常困难的。 非常困难的。
我们从原始的真随机数序列出发， 我们从原始的真随机数序列出发 ， 将序列中的二进制 数依次成对组合；如果这组中的两个数相同， 数依次成对组合；如果这组中的两个数相同，则舍去这两 个数；如果这组中的两个数不相同， 个数；如果这组中的两个数不相同，则保留第二个二进制 数而丢弃第一个数。 数而丢弃第一个数。 这样构成的一个新序列可以保证： 这样构成的一个新序列可以保证 ： 在原始序列中的数 是相互独立的情况下， 出现的概率相等。 是相互独立的情况下，“0”和“1”出现的概率相等。 和 出现的概率相等 具体运算过程： 具体运算过程： “0”出现在新序列中的概率为 出现在新序列中的概率为p’(0)= p(0)p(1) 出现在新序列中的概率为 “1”出现在新序列中的概率为 出现在新序列中的概率为p’(1)= p(1)p(0) 出现在新序列中的概率为 舍去了一组数的几率为p(0)2+p(1)2 舍去了一组数的几率为 p(0)p(0) p(0)p(1) p(1)p(0) p(1)p(1)
6
三 伪随机数
实际应用的随机数通常都是通过某些数学公式计算而产 生的伪随机数。 生的伪随机数 。 这样的伪随机数从数学意义上讲已经一点 不是随机的了。但是， 不是随机的了 。 但是， 只要伪随机数能够通过随机数的一 系列的统计检验， 系列的统计检验，我们就可以把它当作真随机数而放心地 使用。这样我们就可以很经济地、重复地产生出随机数。 使用。这样我们就可以很经济地、重复地产生出随机数。 对物理问题的计算机模拟所需要的伪随机数应当满足如下 标准或特征： 的标准或特征： (1) 良好的统计分布特性 √ (2) 高效率的伪随机数产生 (3) 伪随机数产生的循环周期长 (4) 产生程序可移植性好和伪随机数可以重复产生
11
（2）乘同余法
-- 由Lehmer在1951年提出 在 年提出
通简写为CONG 通常简写为
od xk+1 ≡ m ( axk , M) xk+1 ξk+1 = M
位机， 对32位机，取值： 位机 取值：
a = 5 =1220703125, M = 2 = 2147483638
13 32
a =16807, M = 232 −1= 2147483637
2
随机数表： 随机数表：
个数字用转盘随机产生， 将0,1,2,…,9 共10个数字用转盘随机产生，再把相邻 个 个数字用转盘随机产生 再把相邻4个 数字合并， 数字合并 ， 用 10000除 ， 就得到在 除 就得到在0.000,0 到 0.999,9上均匀 上均匀 分布的随机数， 首先编制了4万随机数表 分布的随机数，1925年，Tippett首先编制了 万随机数表， 年 首先编制了 万随机数表， 现在最大的是RAND百万随机数表，现在一般不用。 百万随机数表， 现在最大的是 百万随机数表 现在一般不用。 1975年，弗里吉雷欧(Frigerio)等人的真随机数获取： 年 弗里吉雷欧 等人的真随机数获取： 等人的真随机数获取 用一个α粒子放射源和一个高分辨率的计数器做成的装置 粒子放射源和一个高分辨率的计数器做成的装置， 用一个 粒子放射源和一个高分辨率的计数器做成的装置， 毫秒时间内平均记录了24.315个α粒子。 粒子。 在20毫秒时间内平均记录了 毫秒时间内平均记录了 个 粒子 当计数为偶数时，便在磁带上记录二进制的“ 。 当计数为偶数时，便在磁带上记录二进制的“1”。 这个 装置每小时可以产生大约6000个31比特 比特(bits)的真随机数。 的真随机数。 装置每小时可以产生大约 个 比特 的真随机数 这些数被存储在磁带上， 并通过了一系列的“ 随机数” 这些数被存储在磁带上 ， 并通过了一系列的 “ 随机数 ” 检 验后用于蒙特卡洛计算当中。 验后用于蒙特卡洛计算当中。 消除奇数计数 的几率并不精确等于 消除 奇数计数的几率并不精确等于 所引起的偏差的 奇数计数 的几率并不精确等于1/2所引起的偏差的 处理方法， 利用上面介绍的装置得到的“ 或者 或者“ 的真 处理方法 ， 利用上面介绍的装置得到的 “ 0”或者 “ 1”的真 随机数序列中， 和 出现的几率 出现的几率P(0)和P(1)可能并不精确等 可能并不 随机数序列中，0和1出现的几率 和 可能并 3 于1/2。 。
5
二 准随机数
准随机数序列并不具有随机性质，仅仅是它用来处理 准随机数序列并不具有随机性质， 问题时能够得到正确结果。 问题时能够得到正确结果。 准随机数概念是来自如下的事实：对伪随机数来说， 准随机数概念是来自如下的事实 ： 对伪随机数来说 ， 要实现其严格数学意义上的随机性，在理论上是不可能的， 要实现其严格数学意义上的随机性，在理论上是不可能的， 在实际应用中也没有这个必要。关键是要保证 随机” 是要保证“ 在实际应用中也没有这个必要。关键是要保证“随机”数 数列具有能产生出所需要的结果的必要特性。 数列具有能产生出所需要的结果的必要特性。 例 在多重积分和大多数模拟研究中，多维空间的每个点 在多重积分和大多数模拟研究中， 或模拟事例被认为是相互独立的，而这些点或事例的顺序 或模拟事例被认为是相互独立的，而这些点或事例的顺序 则似乎并不重要。因而我们可以在大多数运算中， 则似乎并不重要。因而我们可以在大多数运算中，放心地 置随机性的概念于不顾。同样， 置随机性的概念于不顾。同样，我们也可以不考虑对某些 分布均匀性的涨落程度。事实上在许多情况下， 分布均匀性的涨落程度。事实上在许多情况下，超均匀的 分布比真随机数的均匀分布更合乎实际需要。 分布比真随机数的均匀分布更合乎实际需要。
2 n 2r
−r
ξ n+1 = x n / 10 2 r
2进制算法 进制算法
x n +1 = mod{[ x × 2 ],2 }
2 n 2r
−r
ξ n+1 = x n / 2 2 r
10
x n+1 = mod{[ x × 10 ],10 }
2 n 2r
−r
ξ n+1 = x n / 10
2r
11 -12.1-14.4-19.6-36.1-129.6-84.1 44 -193.6 -93 - 864.9 - 64 -409.6 -9-81 10 -10.0 50 -250.0