高三文科数学试卷

2010年师大附中、临川一中高三联考数学试卷（文科）

时间：120分钟 总分：150分 命题人：章峰涛 审题人：罗振国 一．选择题（每小题5分，共50分）

1．已知集合{|014}A x N x =∈<-<，2{|560}B x Z x x =∈-+=,则下列结论中不正确的是（ ）

A.R R C A C B ?

B.A B B =

C.()R A C B =?

D.()

R C A B =?

2. 已知数列{}n a 的通项为83+=n a n ，下列各选项中的数为数列{}n a 中的项的是（ ）

A ．8

B ．16

C ．32

D ．36

3、 函数x

xa y x

=(01)a <<的图象的大致形状是 ( )

4．设函数x x x f 3)(3+=)(R x ∈，若2

0πθ≤≤时，)1()sin (m f m f -+θ＞0恒成

立，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．（0，1）

B ．（－∞，0）

C ．（－∞，1

2） D ．（－∞，1） 5．从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) A 0 B

1

2

C

D

35 6．对于实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[]3,[ 1.08]2π=-=-．如果定义函数()[]f x x x =-，那么下列命题中正确的一个是（ ）

A ．(5)1f =

B ．方程1

()3

f x =有且仅有一个解

C ．函数)(x f 是周期函数

D ．函数)(x f 是减函数

7.数列{}n a 满足121

1,,2

a a ==并且1111()2(2)n n n n n a a a a a n -++-+=≥，则数列的第

2010项为（ ）

A . 10012

B .20102

1 C . 20101 D . 1100

8. .一个正四面体在平面上的射影不可能是（ ）

A.正三角形

B.三边不全相等的等腰三角形

C.正方形

D.邻边不垂直的菱形 9．如图，△ABC 中，GA GB GC O ++=，CA a =，

=. 若CP ma =，CQ nb =.H PQ CG = ， 2=，则

11

m n

+=（ ） A .2 B .4 C .6 D .8

10．若直线3ax ＋5by ＋15＝0到原点的距离为1，则22b a +的取值范围为（ ） A ．[3，4] B ．[3，5] C ．[1，8] D ．(3，5] 二．填空题（每小题5分，共25分）

11．已知命题P ：|1－x －1

3|≤2，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，┒p 是┒q

的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是 ． 12．已知函数

x x x x f cos )1lg()(2+++=且a f =-)2010(，则

=)2010(f .

13．若集合{}

φ≠--<+x k x x 21，则实数k 的取值范围是 ； 14．若直线1+=kx y 和

14

2=+y

x 与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则=k ．

15．在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿对角线AC 把矩形折成二面角D －AC －

B ，并且D 点在平面AB

C 内的射影落在AB 上．若在四面体

D －ABC 内有一球，当球的体积最大时，球的半径是 .

A

C

B

G

H Q

P

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16．（12分）已知函数.)2ln()(2c bx x x x f ++-+=在点x=1处的切线与直线

0273=++y x 垂直，且f （－1）=0，求函数f (x )在区间[0，3]上的最小值。

17．（12分）已知：)(1,cos 2x =，)

(x x 2sin 3,cos =， 函数x

x n m x f 22tan 12007

cot 12007)(++

++

?=. （1）化简)(x f 的解析式,并求函数的单调递减区间；

（2）在△ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2009)(=A f 1=b ,△ABC 的面积为23,求C

A c a sin sin )(1005++的值.

18.已知不等式组??

?

??+-≤>>n nx y y x 200900所表示的平面区域为D n ,记D n 内的整点个数为)(*∈N n a n （整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）. （1）数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若n n a a a S +++= 21，记n

n S T 2017036

=，求证：221<++n T T T .

19．（12分）如左图示，在四棱锥A －BHCD 中， A H ⊥面BHCD ，此棱锥的三视图如下： （1）证明：B C ⊥A D ；

（2）求二面角B －AC －D 平面角的余弦值.

20（13分）（1）若012=+-bx x （

22

1

≤≤x ）

，试求实数b 的范围； （2）设实数]1,0[?k ,函数2211)(x x k x x x f +-+=，]2,2

1[∈x 试求函数)(x f 的值域。

21．（14分）如图：内接于⊙O 的△ABC 的两条高线A D 、BE 相交于点H,过圆心O 作OF ⊥BC 于 F ，连接AF 交OH 于点G ，并延长CO 交圆于点I.(O 为原点) (1) 若λ=,试求λ的值； (2)若y x +=,试求y x +的值； (3)若点B 的坐标为(－4,－3)， 点C 的坐标为C(4,－3),试求点G 的轨迹方程.

主视

1

1

左视 1

1

俯视

1

1

A

B

D

C

H

2010年师大附中、临川一中高三联考数学试题（文科答案） 一．选择题

1.C {2,1,0,2,3,4}A =--,{2,3}B =,B A ?

2. C

3．D 解析：当x>0时,x a y = 为减函数； 当x<0时， x a y -= 为增函数. 故选D

4．D f '(x)=3x 2+3>0 f (x)在x ∈R 为增函数 因此f (x)为奇函数 所以f (msin θ)≥－f (1-m)=f (m-1)，msin θ>m-1 即m(1-sin θ)<1 0≤θ≤π

2 1≥ sin θ≥0 1≥1- sin θ≥0所以m <1

1-sin θ

所以m <1

5．D

6．C ．显然(5)5[5]0f =-=，这说明(5)1f =是错误的；因为1111

()[]3333

f =-=，

4441()[]3333f =-=，所以，

“方程1

()3f x =有且仅有一个解”的判断是错误的；这也说明函数)(x f 不是减函数． 7.C 【解析】111111111()22(2)n n n n n n n n a a a a a n a a a -++-+-+=?

+=≥，1

{}n

a ∴是等差数列，且111,a =1,d =则数列的通项公式1n a n =，故第2010项为2010

1

8.D 9. C

10．B 子能由条件得a 225＋b 2

9

＝1，则22b a +表示椭圆上的点到原点的距离的取

值范围[3，5]。

二．填空题

11. m ≥9 p ：－2≤x ≤10，由┒p 是┒q 的必要不充分条件，得q 是p 的必要

不充分条件，

令g (x )＝x 2－2x ＋1－m 2

(m ＞0)，得?

????g (－2)≤0g (10)≤0，得m ≥9

12.a -2010cos 2. 13.3>k

14.21±.

15．

47 - 7

6 当球的体积最大时，球与三棱锥D -ABC 的各面相切，设球队半径为R ，则V D -ABC = V O -ABC +V O -DAC + V O -DBA + V O -DAB = 1

3 R (S △ABC + S △DAC + S △

DBC + S △DAB ).由题设易知

AD ⊥平面DBC , 又∵BD ?平面DBC ，∴AD ⊥BD ，

∴△ABD 为直角三角形，∵AB = 4，AD = 3，∴BD = 7 ，∴S △ABC = 1

2 AD ·BD = 12 ×3×7 = 37

2 .在△DAB 和△DBC 中，∵AD = BC ，AB = DC ，DB = DB ，∴△DAB ≌△BCD ，故S △DBC = 372 ，V D -ABC = V A –DBC = 1

3 ×3×372 = 372 ，

∴S △ABC = S △ADC = 6，∴13 R (6 + 6 + 372 + 372 )，于是( 4 + 7 )R = 37

2 ， 解得R = 47 - 76

三．解答题 16．解：.22

1

)(b x x x f +-+=

' 与直线0273=++y x 垂直的直线的斜率为4,3

7

)1(,37=='b f 得令，又f （－1）=ln （2－1）－1－4+c =0，所以c =5，…2′422

1

)(+-+=

'x x x f ，由223,0)(=

='x x f 得，当]223,0[∈x 时，f′（x ）≥ 0，f （x ）单调递增；当]3,2

2

3(

∈x 时，f′（x ）≤ 0，f （x ）单调递减。……6′ 又f （0）=ln2+5，f （3）=ln5+8，所以f （x ）在[0，3]最小值为ln2+5。……12′

17．17．（1）

2008

)6

2sin(2)(++

=π

x x f ……3′

单减区间??

? ??++??????

++32,22,6ππππππππk k k k ，()Z k ∈…6′

（2）3,2,3

===

a c A π

，…………9′ ==++A a

C A c a sin 1005sin sin )(10052010……………12′

18．解：（1）当2007,,2,1 =x ，2008时，分别有n n n ,,2007,2008 个整点,

故n n n n a n 201703620082=+++= …………6′ （2）n n a a a S +++= 21)21(2017036n +++= 易得：221<++n T T T …………12′ 19．证明：（1）由A H ⊥面BHCD 及三视图知： AH=BH=HC=1，底面BHCD 是正方形，B C ⊥H D ，H D 是AD 在底面的射影，由三垂线定理知 B C ⊥A D （也可由线面垂直证）……6′

（2）由题意可得：2===AC BC AB ，3=AD 取AC 的中点M ，过M 作MN ∥CD 交AD 于N ，则 BMN ∠是所求二面角的平面角，……8′

26=

BM ，2

1=MN ， 2321==

AD BN (3)

6cos =∠BMN …………12′ （注：本题也可用向量法） 20．解：（1）因为x x b 1+=，又221≤≤x 可得：实数b 的范围是：??

?

???25,2…5′ （2）令1x t x +

=, 则2t ≥, 2)()(2--==t k t t g x f ，]2

5

,2[∈t . 于是，只须求()g t 在]2

5

,2[∈t 的取值范围.

当<0k 时，()()f x g t =是关于t 的严格递增函数，则()()f x g t =的值域是

)]2

5

(),2([g g ，即函数)(x f 的值域为]2175,

22[k k --………8′A

B

D

C

H M

N

当>1k 时，012>-

k 222()()f x g t ==－

2

2

2

2112)1(t

k t k t k -+-

- 观察知)(t g 在]2

5

,2[∈t 上关于t 的严格递减函数，.故()()f x g t =的值域是

)]2(),2

5

([g g 即函数)(x f 的值域为]22,2175[

k k --。……………13′

21．．解：∵CI 为直径 ∴∠IAC 和∠IBC 均为直角 ∴AI ∥BE,BI ∥AD ∴四边形AIBH 为平行四边形

（1）λ===2121∴21

=λ (3)

（2）+=+= 而-=-=

∴OC OA OB IA OB BH OB OH ++=+=+= ∴+=而OB y OA x CH += ∴2=+y x ……………7′ （3）∵OF=

21IB=AH 2

1,∴FG=GA 21

又F 为BC 的中点，∴G 为△ABC 的重心 显然,A 的轨迹为除B,C 外的⊙O ，其方程为：2522=+y x （3-≠y ）………9′

设A （o y x ,0）,G （y x ,），则??

???

--=

=333300y y x x ,得：???+==63300y y x x 代入⊙O 的方程并化简得G 的轨迹方程为：9

25

)2(22=++y x （3-≠y ）. ………………14′

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