圆曲线带有缓和曲线的曲线元素计算原理

1、缓和曲线的概念

汽车在直线上行驶时，离心力为零；在曲线上行驶，就会产生离心力，如果某路线的直线段与圆曲线直接连接时，汽车从直线进入圆曲线那一瞬间就会突然产生离心力，驶出圆曲线又立即消失。同时驾驶员在直线进入圆曲线或回到直线时迅速改变行车方向，造成驾驶操纵紧张，因而造成行成不安全、乘客不舒适。汽车在以高速进入较小半径圆曲线时，这种现象尤为明显。为了缓和行车方向的突然变化及离心力的突然产生和消失，确保高速行车的安全和舒适，需要在直线段和圆曲线之间插入一段曲率半径由无穷大逐渐变化到圆曲线半径的过渡性曲线，这种曲线就叫做缓和曲线。

缓和曲线的作用是使汽车在不降低车速的情况下能均匀徐缓转向，由直线段逐渐过渡到圆曲线或曲圆曲线逐渐过渡到直线段，从而保证行车平稳、旅客舒适。在设有超高和加宽时，缓和曲线也作为逐步超高及加宽的部分。

2、数学模型

字母含义:

(1)、曲线主要桩点

名称简称汉语拼音缩写英语缩写

交点交点JD IP

转点转点ZD TP

第一缓和曲线起点直缓点ZH TS

第一缓和曲线终点缓圆点HY SC 曲线中点曲中点QZ MC

第二缓和曲线起点圆缓点YH CS

第二缓和曲线终点缓直点HZ ST

(2)、曲线已知参数：

R:圆曲线半径Ls:缓和曲线长度α：转向角

(3)、曲线要素计算：

β0：切线角（缓和曲线角）；

δ0：缓和曲线总偏角；

b0:缓和曲线反偏角；

P:内移值；

q:切垂距（切线增值）；

T H:切线长；

L H:曲线总长（两段缓和曲线+圆曲线的长度）；

Ly:圆曲线长度；

E H:外矢距；

D H:切曲差；

X0:以ZH点或HZ点为坐标原点，ZH或HZ的切线为X轴，ZH或HZ的法线方向为Y 轴,缓和曲线终点（HY点或YH点）的X坐标增量；

Y0:以ZH点或HZ点为坐标原点，ZH或HZ的切线为X轴，ZH或HZ的法线方向为

Y轴,缓和曲线终点（HY点或YH点）的Y坐标增量；

(4)、待求点字母含义：

L:待求点至ZH点或HZ的曲线长度；

:以ZH点或HZ点为坐标原点，ZH或HZ的切线为X轴，ZH或HZ的法线方向为Y 轴,待求点的X坐标增量；

:以ZH点或HZ点为坐标原点，ZH或HZ的切线为X轴，ZH或HZ的法线方向为Y轴,待求点的Y坐标增量；

二、缓和曲线公式

1、基本公式

如上图所示，缓和曲线的半径随着曲线长度的增大而成反比地均匀减小，即在缓和曲线上任一点的曲率半径ρ与曲线的长度L呈反比关系。以公式表示为：

ρ=C÷L或者C=ρ?L

C值可按以下方法确定，在缓和曲线终点即HY点（或者YH点）的曲率半径等于圆曲线半径，即ρ=R，该点的曲线长度即为缓和曲线的全长L S，即L=L S，那么

C=R?L S

C为常数，表示缓和曲线曲率半径的变化率。

A为缓和曲线常数：A=C

2、缓和曲线角度关系公式

（1）、切线角（缓和曲线角）公式

β0=180°LS÷(2πR)=90°LS/(πR)熟记（2）、缓和曲线总偏角公式

δ0=30°LS÷(πR）

（3）、缓和曲线反偏角公式

b0=60°LS÷(πR）

（4）、缓和曲线上任意一点的偏角公式

δ=30°L2÷(πRL S）熟记

（5）、缓和曲线上任意一点的切线角公式

δ=90°L2÷(πRL S）熟记

3、缓和曲线的参数方程

设缓和曲线的起点为原点，过该点的切线为X轴，法线为Y轴，在缓和曲线上任取一点P的坐标为X,Y，如下图所示所示。

缓和曲线上任意一点的参数方程为

=L?L5÷(40R2L S2)

=L3÷6RL S?L7÷336R3L S3

当计算缓和曲线终点坐标时，上式中的L=L S,则缓和曲线的终点坐标为：

0=L S?L S3÷(40R2)

0=L S2÷6R?L S4÷336R3

4、曲线内移值与切线增值的计算公式

= 0?R（1?cosβ0）

q= 0?R sinβ0

将上式中的cosβ0和sinβ0展开为级数，略去高次项，并按照切线角（缓和曲线角）公式和缓和曲线终点坐标公式，将β0、 0、 0代入得：

P=L S2÷(24R)

q=L S÷2?L S3÷(240R2)

内移值P等于缓和曲线中点纵坐标的两倍；切线增值约为缓和曲线长度的一半，

缓和曲线的位置大致是一半占有直线部分，另一半占用原圆曲线部分。

5、曲线要素的计算公式

切线长T H=R+P tanα÷2+q

曲线长L H=R(α?2β0）π÷180°+2L S

或者L H=πRα÷180°+L S

圆曲线长L y=πR(α?2β0)÷180°

外距E H=R+P secα÷2?R

或者E H=R+P÷[cosα÷2]?R

切曲差D H=2T H?L H

6、曲线主点里程计算及测设

根据交点里程和曲线和曲线测设要素，计算主点里程公式

直缓点ZH=JD+T H

缓圆点YH=ZH+L S

曲中点QZ=YH+L y÷2

圆缓点YH=QZ+L y÷2

缓直点HZ=YH+L S

交点JD=HZ-T H+D H