特殊行列式及行列式计算方法总结
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特殊行列式及行列式计算方法总结
一、 几类特殊行列式
1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）
2. 以副对角线为标准的行列式
11112112,1
221222,11,21,11,11
2
,1(1)2
12,11
0000
00000
00000
(1)
n n n n n
n n n n n n
nn
n n n n n nn
n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------==
=-
3. 分块行列式（教材P14例10）
一般化结果：
00n n m n n m n m m n m m n
m
A C A A
B B
C B ⨯⨯⨯⨯=
=⋅
0(1)0n m n n m n
mn n m m
m n
m
m n
A C A A
B B
C B ⨯⨯⨯⨯=
=-⋅
4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！
以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算
二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】
1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；
2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；
3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算
——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）
【常见的化简行列式的方法】
1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题）
00010002000199900
02000000
002001
D =
分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。 解法一：定义法
(1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-=
解法二：行列式性质法
利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。
2001(20011)
20011
20011
2
000020010
001000200(1)
(1)
(1)2001!2001!0199900
02000
00
D ⨯---=-=--=
解法三：分块法
00010002000199900
02000000
002001
D =
利用分块行列式的结果可以得到
2000(2000-1)
2
001
0020=2001=2001(-1)2000!=20010199900
2000000
D ⋅
⋅
！
解法四：降阶定理展开
按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。
2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 例2
1111
1111
11111111a a D b b
+-=
+- 分析：该行列式的特点是1很多，可以通过12r r -和34r r -来将行列式中的很多1化成0. 解：
2141
43
220
0110011001111
1111
011
00001100111
1
111
1
110
111100011
001
1
00r r r r r r a a a a a D ab
ab
b b b
b
b
a ab
a b b
------=
==----==-
例3
3
223
111
11132232
22
222
322
333333332234
44
44
4
a a
b a b b a a b a b b D a a b a b b a
a b
a b
b
=
，(0)i a ≠
分析：该类行列式特点是每行a 的次数递减，b 的次数增加。特点与范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性质将D 化成范德蒙行列式。 解：
2311111123
2222223333
123423
33333323
44444
4
3333
3124
12341234
3333
1234
141()
()()1(
)()()1()()()1(
)()()(
,,,)()
j
i j i i
j b b
b a a a b b b a a a D a a a a b b b a a a b b b a a a b b b b a a a a V a a a a b b a a a a a a ≤<≤=⋅
=⋅=⋅-∏
练习：（11-12年 IT 专业期末考试题）
若实数z y x ,,各不相等，则矩阵⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛=22
2111
z y x z y x M 的行列式=M __________ 3. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 例4
000
0000
000
00
n a b a b D a b b
a
=
分析：该行列式特点是a 处于主对角线，b 在a 后的一个位置，最后一行中b 是
第一个元素，a 是最后一个元素。 解：按第一列展开：
11
11111000
00
(1)(1)0000
00
(1)(1)n n n n n n n n
a b b
a b a
b D a b a b a
b a
a a
b b a b ++-+-+=⋅-+-⋅=⋅+-⋅=+-
练习：（11-12年期中考试题）