第二节不定积分的基本性质与基本积分公式

(1) k dx kx C (k是常数);
(2) xdx x1 C ( 1);
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(3)
dx x
ln
x
C;
(4) a x dx a x C ; 特别， ex dx ex C ln a
(5) cos x dx sin x C;
(6) sin x dx cos x C; 3
1 x2
2
(4)
1 x2(1 x2 ) dx
x2 1 x2 x 2 (1 x 2 ) dx
11
1
( x2 1 x2 )dx x arctan x C
7
例2 求下列不定积分
(5)
x4 1 x2 dx
x4 11 1 x2 dx
( x2 1)( x2 1) 1
第二节 不定积分的基本性质 与基本积分公式
一、不定积分的基本性质
(1) [ f (x) g(x)]dx f ( x)dx g( x)dx ;
证 [ f ( x)dx g( x)dx]
[ f ( x)dx] [ g( x)dx] f ( x) g( x) .
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
例1 求下列不定积分
a x dx a x C ln a
(1)
(4x3 2x2
x
1)dx
x4
2
x3
2
3
x2
x
C
33
(2) (sin x 2cos x ex )dx cos x 2sin x ex C
(3) (2x 3x )2dx (4x 2 6x 9x )dx
4x
x
dx
1 ( x sin x) C 2
(7)
1
dx sin
x
1 sin x
dx
(1 sin x)(1 sin x)
1 sin x cos2 x
dx
(sec2 x secx tan x)dx tan x secx C 10
训练：求下列不定积分
(1) ( x2 1)2 dx ( x4 2x 2 1)dx 1 x5 2 x3 x C 53
2
2
1 x2
2
(5)
1 x2 dx
(1
1
x2
) dx
x
2 arctan x
C
11
练习：
P194 习题五
12
1
(2) kf (x)dx k f (x)dx
（k 是常数，k 0)
(3)
d dx
[
f
( x)dx]
f (x)
,
d f ( x)dx f ( x)dx
(4) F(x)dx F( x) C , dF( x) F( x) C
这些性质不难由不定积分的定义直接获得。
2
二、基本积分公式
(4)
cos 2x dx cos x sin x
cos 2 cos
x sin2 x dx
x sin x
(cos x sin x)dx sin x cos x C
(5) tan2 x dx (sec2 x 1)dx tan x x C
(6)
sin2
x dx 2
1
cos 2
二、基本积分公式
(7)
dx cos2 x
sec2 x dx tan x C;
(8)
dx sin2
x
csc2
x dx
cot
x
C;
(9)
1 dx arcsin x C (或 arccos x C) 1 x2
(10)
1 1 x2
dx
arctan x
C
(或 arccot
x
C)
4
直接积分法—分项积分法
1 x2
dx
(x2
1 1 1 x2 )dx
x3 3
x arctan
xC
8
例3 求下列不定积分
三角恒等变形
(1)
sin2x dx cos x
2sin x cos x dx cos x
2sin x dx
2cos x C
(2)
cos x2 dx
cos 2 x sin2 x dx
1 sin x
1 x x2 x (1 x2 ) dx
x (1 x2 ) x(1 x2 ) dx
11
( 1
x2
) dx x
arctan x
ln |
x
|
C
6
例2 求下列不定积分
(3)
( x2 1)
1 x2 2x dx
x2 1
(
2
) dx
x 1 x2
x
1 x2
(x
1 x
2 )dx 1 x2 ln | x | 2arcsinx C
2
6x 9x
C
ln4 ln6 ln9
(4) e2x dx (e2 )x dx (e2 )x / lne2 C e2x C 2
5
例2 求下列不定积分
(1 x)2
1 2x x2
(1) x dx
dx x
1
1
3
( x 2 2x 2 x 2 )dx 2
x
4
3
x2
2
5
x2
C
35
(2)
(2)
x 9 dx x 3
(
x
3) dx
2
3
x2
3x
C
3
(3) cos2 x dx 1 cos x dx 1 ( x sin x) C
2
2
2
(4)
1 cos x 1 cos 2x
dx
1 cos x 2sin2 x
dx
1 (csc2 x csc x cot x) dx 1 (cot x csc x) C
cos x sin x
(cos x sin x)dx sin x cos x C
(3)
1 sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos 2 x sin2 x cos 2 x dx
(sec2 x csc2 x)dx tan x cot x C
9
例3 求下列不定积分