钢筋混凝土梁开裂荷载计算公式比较研究_刘运林_储德华_刘建军_种迅
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第 45 卷 第 6 期 2015 年 3 月下
建 筑 结 构 Building Structure
Vol． 45 No． 6 Mar． 2015
钢筋混凝土梁开裂荷载计算公式比较研究
1， 2 1 1 2 刘运林 ， 储德华 ， 刘建军 ， 种 迅
*
（ 1 安徽建筑大学土木工程学院，合肥 230601 ； 2 合肥工业大学土木与水利工程学院 ，合肥 230009 ）
（ 3）
式中： σ 为拉应变为 ε 时混凝土的应力； b 为截面 的宽度； A s 为受拉钢筋面积。 将式（ 1 ） 代入式（ 2 ） ， 将结果 近似认为 ε s = ε tu ， 再代入式（ 3 ） ， 经整理简化可得： 2 αE Αs 1 + bh h x cr = · 2 αE Αs 1 + bh
M cr = 0 ． 292 （ 1 + 2 ． 5 α Α ） f t bh2
计算方法首先考虑素混凝土梁的开
16
建
筑
结
构 水工规范
［4 ］
2015 年 计算方法与过镇海
［4 ］ ［3 ］
I0 为换 式中： W0 为截面抵抗矩，W0 = I0 / ( h － x ) ， 算截面惯性矩。 梁内的受拉和受压钢筋， 按弹性模量比 n（ n = E s / E c ） 换算成等效面积 nA s 和 nA s ' 后， 将钢筋混凝 中和 土梁看作均匀弹性材料， 计算截面面积为 A0 、 轴位置或受压区高度 x 及换算截面惯性矩 I0 和截面 抵抗矩 W0 等。 1. 3 水工规范［4］计算方法 ［4 ］ 钢筋混凝土受弯构件的开裂 参照水工规范 ， 弯矩为： M cr = γ m f tk I0 / （ h － y0 ） 其中： I0 = （ 0 ． 083 + 0 ． 19 α E ρ） bh3 y0 = （ 0 ． 5 + 0 ． 425 α E ρ） h （ 15 ） （ 16 ） （ 14 ）
图2 σε 曲线模型
裂时混凝土中的拉应力很小， 故用图 1 （ c ） 中的实线 所示的矩形应力分布代替虚线所示的折线形应力分 布。由此引起的误差很小， 却给计算分析带来了方 便。根据混凝土的应力应变关系， 可得出如下物理 方程： f t = E c ε t0 = 0 ． 5 E c ε tu ，σ c = E c ε c ，σ s = E s ε s （ 2 ） 式中： E c 为混凝土弹性模量； E s 为钢筋弹性模量； ε c 为距中和轴距离为 y 处纤维的应变； σ c 为压应变为 ε c 时混凝土的应力； σ s 为应变为 ε s 时钢筋的应力。 利用构件纵轴向的平衡条件可得 ： 0 ． 5 σ tc bx cr = f t b（ h － x cr ） + σ s Α s
计算方法类
似， 但是不同点在于水工规范 计算方法考虑了混 凝土中钢筋的影响， 同时此方法没有对梁的截面抵 抗矩塑性影响系数按截面高度进行修正 ； 而且这两 ［3 ］ 个计算方法中， 过镇海 计算方法是通过惯性矩除 进而 以中心轴到受拉边缘的距离得到截面抵抗矩 ， ［4 ］ 计算开裂荷载的， 而水工规范 计算方法则是计算 出梁的换算截面惯性矩， 再通过换算截面惯性矩除 ， 以混凝土受压区高度 进而计算开裂荷载的。 ACI 318M05 规范［5］计算方法与过镇海［3］计算 ［4 ］ 方法和水工规范 计算方法相近， 都需要计算截面 ACI 318M05 规范［5］ 计算方法计算的惯性 惯性矩， ［3 ］ 矩和过镇海 计算方法相类似， 没有考虑钢筋的影 响。另外此方法是通过惯性矩除以中性轴至受拉边 05 规范［5］ 计算方 缘的距离来计算的； 且 ACI 318M法通过混凝土的抗压强度的设计值直接计算得到混 05 规范［5］ 计算方 即 ACI 318M凝土弯曲抗拉强度， 法不用考虑截面抵抗矩塑性影响系数 。 2 试验结果及分析 6］～ ［ 10］ 中的有关混凝土 本文通过搜集文献［ ， 梁试验中的开裂荷载的记录 整理收集到的 7 个不 同的截面尺寸、 混凝土强度等级以及配筋情况的试 件， 试件参数如表 1 所示。
名义弯曲抗拉强度 f t， f 与混凝土轴心抗拉强度 的比值称为截面抵抗矩塑性影响系数基本值 γ m ， 根 据混规中其值取为： γm = f t， f = 1 ． 55 ft （ 11 ）
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4）
截面抵抗矩塑性影响系数基本值 γ m 的数值不 仅取决于非线性的应力图， 还随界面应变梯度、 截面 形状、 配筋率等因素而变化。
b t
图1
开裂时截面的计算简图
由几何关系（ 图 1 （ b） ） 得开裂截面的曲率 cr ： cr = ε cu εc εs = = h － x cr x cr h0 － x cr
t t
（ 1）
式中： h 为截面的高度； h0 为截面的有效高度； x cr 为 混凝土开裂时的受压区高度； ε c 为截面受压区边缘 混凝土的压应变； ε s 为纵向受拉钢筋的应变。 临近开裂时， 由于受压区混凝土的应力较小， 仍
0
引言 现有《混 凝 土 结 构 设 计 规 范 》（ GB 50010 —
受压区高度和截面有效高度的比值， 也称相对受压 区高度； σ t 为拉应变为 ε t 时混凝土的应力； 其余符 号的含义见下文。
2010 ） ［1］（ 简称混规） 没有给出钢筋混凝土梁开裂荷 载的计算方法， 只给出了相应的裂缝控制验算， 不同 文献在推导其计算公式的过程中所考虑的因素和简 化方法不尽相同， 计算公式也有所不同。 而在工程 设计和试验研究中， 都会涉及到开裂荷载的取值， 有 必要对已有钢筋混凝土梁开裂荷载计算方法进行总 结研究， 为钢筋混凝土梁开裂荷载的计算提供较为 准确的参考。为此， 本文收集了现有的不同文献中 的关于开裂荷载的计算方法， 分析其推导过程， 并和 收集到的开裂荷载试验结果进行对比 ， 分析异同。 1 开裂荷载的计算方法 1. 1 顾祥林［2］计算方法 2］ 文献［ 中顾祥林提出的计算方法推导过程如 下所示： 当钢筋混凝土梁临近开裂， 即混凝土最大拉应 梁的受拉区混凝土开裂并退出工作 ， 变 ε = ε tu 时， 截面处于 I a 状态， 截面的计算简图如图 1 所示， 图中 ε tu 为混凝土的极限拉应变， 其中 ε t0 可取 ε tu = 2 ε t0 ， 为拉应力达到 f t 时混凝土的拉应变，f t 为混凝土的 抗拉强度； x n 为换算截面受压区高度； ξ n 为混凝土
图3 素混凝土梁临近开裂的状态
利用对压区合力作用点的力矩平衡条件 ΣM c = 0， 可求出截面的开裂弯矩 M cr ： M cr = f t b（ h － x cr ）
随梁截面高度 h 的增大， 混凝土开裂时的应变 塑 性 系 数 随 之 减 小， 梯度 （ 3 ． 73 ε tp / h ） 减 小， 其中 ε tp 为轴心受拉峰值应变。 根据混规建议对构件的 截面抵抗矩塑性影响系数 γ 按截面高度 h 加以修 正， 见下式： γ = （ 0． 7 + 120 ） γm h （ 400mm ≤ h ≤ 1 600mm） （ 12 ）
第 45 卷 第 6 期 可以认为压应力按线性 分布。由轴心受拉混凝 土的应力应变关系 （ 图 2 ） 以及受拉区混凝土的 应变分布（ 图 1 （ b ） ） ， 可 确定受拉区混凝土的拉 应力 分 布 如 图 1 （ c ） 中 的虚 线 所 示。 但 是， 开
等． 钢筋混凝土梁开裂荷载计算公式比较研究 刘运林，
［ 摘要］ 收集了现有的不同文献中钢筋混凝土梁开裂荷载的计算方法 ， 并和已有的试验结果进行对比分析 。 结果 表明： 不同计算方法主要区别在于是否考虑截面抵抗矩塑性影响系数 ， 是否考虑钢筋对计算截面惯性矩的影响 。 同时通过对比分析开裂荷载试验值与理论值得出 ， 过镇海计算方法得到的开裂荷载理论值与试验值更接近 ， 偏差 更小。 ［ 关键词］ 钢筋混凝土梁； 开裂荷载； 截面抵抗矩塑性影响系数 ； 弯曲抗拉强度 中图分类号： TU375 文献标识码： A 848X（ 2015 ） 06001404 文章编号： 1002-
式中 α E 为钢筋弹性模量 E s 和混凝土弹性模量 E c 之 比， 即 αE = E s / E c 。 对一般钢筋混凝土梁， Α s / bh = 0. 5 % ～ 2 % ， 将 Αs ， α E 代入式 （ 4 ） 可得 x cr = αE = 6 ． 7 ～ 8 ． 0 。 0. 5 h。 将 x cr = 0 ． 5 h 代入式 （ 1 ） 可得开裂截面的曲 率为： cr 2 ε tu = h （ 5）
( h －2 x
x cr ） 3
cr
+
2 x cr + 3 （ 6） Αs ， 则有： bh （ 7）
)
2 α E f t Α s （ h0 －
令 αΑ = 2 αE 设 h0 = 0 ． 92 h， 1. 2 过镇海计算方法 过镇海
［3 ］
钢筋混凝土梁受拉区临近开裂时的应变值很 小， 受压区应力分布接近三角形， 拉区改用名义弯曲 抗拉强度 f t， 可以用换算截面法计算开裂弯矩， f 后， 见下式： M cr = γ m W0 f t （ 13 ）
Comparative study on calculation formula of crack load for reinforced concrete beam
2 Liu Yunlin1， ，Chu Dehua1 ，Liu Jianjun1 ，Chong Xun2
（ 1 School of Civil Engineering，Anhui Jianzhu University，Hefei 230601 ，China； 2 School of Civil Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009 ，China） Abstract： The calculation methods of crack load for reinforced concrete beam in the existing literatures were collected，and were compared with existing experimental results． Ｒesults show that the main difference of formulas lies in whether to consider plastic influence coefficient of sectional resistance moment and the effect of reinforcement on the calculation sectional inertia moment． Comparative analyses on test result and theoretical value of crack load show that theoretical value of crack load according to Guo Zhenhai calculation method is close to the experimental value with smaller deviation． Keywords： reinforced concrete beam； crack load； plastic influence coefficient of sectional resistance moment； flexural tensile strength
t c t c
（ 图 3 （ c） ） 简化为图 3 （ d ） 所示的图形， 最大压应力 x 2 f 。建立水平力的平衡方程： 为 h －x t 1 x 3 ·2 f t = b ( h － x ) f t bx h －x 2 4 （ 8）
解得受压区高度 x = 0 ． 464 h，顶面最大压应力为 1. 731 f t 。由此即可计算截面开裂弯矩 M cr ： M cr = 0 ． 256 f t bh2 （ 9） 如果按弹性材料计算， 即假设应力图为直线分 布（ 图 3 （ e ） ） ， 素混凝土梁开裂时的名义弯曲抗拉 强度 f t， f： f t， f = M cr ≈ 1 ． 536 f t bh2 / 6 （ 10 ）
* 国家自然科学基金 （ 50908071 ， 51378167 ， 51278519 ） ， 安徽省自然 科学基金资助项目 （ 1408085MKL45 ） ， 安徽省重点实验室计划项目 （ 1106c0805024 ） ， 博士科研启动基金（ 20142041 ） 。 Email： 1016265123@ qq． com。 通讯作者： 储德华， 硕士研究生，
15
当混凝土临近开裂前， 梁的截面保持 裂弯矩（ 图 3 ） ， 平截面变形。假设混凝土的最大拉应变达到 2 倍轴 心受拉峰值应变 ε t0 时即将开裂。 此时受拉区应力 分布与轴心受拉素混凝土梁的应力应变曲线相似 （ 图 2） ， 受压区应力很小， 远低于混凝土的抗压强 度， 受压区应力仍接近三角形分布。 将截面应力图
建 筑 结 构 Building Structure
Vol． 45 No． 6 Mar． 2015
钢筋混凝土梁开裂荷载计算公式比较研究
1， 2 1 1 2 刘运林 ， 储德华 ， 刘建军 ， 种 迅
*
（ 1 安徽建筑大学土木工程学院，合肥 230601 ； 2 合肥工业大学土木与水利工程学院 ，合肥 230009 ）
（ 3）
式中： σ 为拉应变为 ε 时混凝土的应力； b 为截面 的宽度； A s 为受拉钢筋面积。 将式（ 1 ） 代入式（ 2 ） ， 将结果 近似认为 ε s = ε tu ， 再代入式（ 3 ） ， 经整理简化可得： 2 αE Αs 1 + bh h x cr = · 2 αE Αs 1 + bh
M cr = 0 ． 292 （ 1 + 2 ． 5 α Α ） f t bh2
计算方法首先考虑素混凝土梁的开
16
建
筑
结
构 水工规范
［4 ］
2015 年 计算方法与过镇海
［4 ］ ［3 ］
I0 为换 式中： W0 为截面抵抗矩，W0 = I0 / ( h － x ) ， 算截面惯性矩。 梁内的受拉和受压钢筋， 按弹性模量比 n（ n = E s / E c ） 换算成等效面积 nA s 和 nA s ' 后， 将钢筋混凝 中和 土梁看作均匀弹性材料， 计算截面面积为 A0 、 轴位置或受压区高度 x 及换算截面惯性矩 I0 和截面 抵抗矩 W0 等。 1. 3 水工规范［4］计算方法 ［4 ］ 钢筋混凝土受弯构件的开裂 参照水工规范 ， 弯矩为： M cr = γ m f tk I0 / （ h － y0 ） 其中： I0 = （ 0 ． 083 + 0 ． 19 α E ρ） bh3 y0 = （ 0 ． 5 + 0 ． 425 α E ρ） h （ 15 ） （ 16 ） （ 14 ）
图2 σε 曲线模型
裂时混凝土中的拉应力很小， 故用图 1 （ c ） 中的实线 所示的矩形应力分布代替虚线所示的折线形应力分 布。由此引起的误差很小， 却给计算分析带来了方 便。根据混凝土的应力应变关系， 可得出如下物理 方程： f t = E c ε t0 = 0 ． 5 E c ε tu ，σ c = E c ε c ，σ s = E s ε s （ 2 ） 式中： E c 为混凝土弹性模量； E s 为钢筋弹性模量； ε c 为距中和轴距离为 y 处纤维的应变； σ c 为压应变为 ε c 时混凝土的应力； σ s 为应变为 ε s 时钢筋的应力。 利用构件纵轴向的平衡条件可得 ： 0 ． 5 σ tc bx cr = f t b（ h － x cr ） + σ s Α s
计算方法类
似， 但是不同点在于水工规范 计算方法考虑了混 凝土中钢筋的影响， 同时此方法没有对梁的截面抵 抗矩塑性影响系数按截面高度进行修正 ； 而且这两 ［3 ］ 个计算方法中， 过镇海 计算方法是通过惯性矩除 进而 以中心轴到受拉边缘的距离得到截面抵抗矩 ， ［4 ］ 计算开裂荷载的， 而水工规范 计算方法则是计算 出梁的换算截面惯性矩， 再通过换算截面惯性矩除 ， 以混凝土受压区高度 进而计算开裂荷载的。 ACI 318M05 规范［5］计算方法与过镇海［3］计算 ［4 ］ 方法和水工规范 计算方法相近， 都需要计算截面 ACI 318M05 规范［5］ 计算方法计算的惯性 惯性矩， ［3 ］ 矩和过镇海 计算方法相类似， 没有考虑钢筋的影 响。另外此方法是通过惯性矩除以中性轴至受拉边 05 规范［5］ 计算方 缘的距离来计算的； 且 ACI 318M法通过混凝土的抗压强度的设计值直接计算得到混 05 规范［5］ 计算方 即 ACI 318M凝土弯曲抗拉强度， 法不用考虑截面抵抗矩塑性影响系数 。 2 试验结果及分析 6］～ ［ 10］ 中的有关混凝土 本文通过搜集文献［ ， 梁试验中的开裂荷载的记录 整理收集到的 7 个不 同的截面尺寸、 混凝土强度等级以及配筋情况的试 件， 试件参数如表 1 所示。
名义弯曲抗拉强度 f t， f 与混凝土轴心抗拉强度 的比值称为截面抵抗矩塑性影响系数基本值 γ m ， 根 据混规中其值取为： γm = f t， f = 1 ． 55 ft （ 11 ）
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4）
截面抵抗矩塑性影响系数基本值 γ m 的数值不 仅取决于非线性的应力图， 还随界面应变梯度、 截面 形状、 配筋率等因素而变化。
b t
图1
开裂时截面的计算简图
由几何关系（ 图 1 （ b） ） 得开裂截面的曲率 cr ： cr = ε cu εc εs = = h － x cr x cr h0 － x cr
t t
（ 1）
式中： h 为截面的高度； h0 为截面的有效高度； x cr 为 混凝土开裂时的受压区高度； ε c 为截面受压区边缘 混凝土的压应变； ε s 为纵向受拉钢筋的应变。 临近开裂时， 由于受压区混凝土的应力较小， 仍
0
引言 现有《混 凝 土 结 构 设 计 规 范 》（ GB 50010 —
受压区高度和截面有效高度的比值， 也称相对受压 区高度； σ t 为拉应变为 ε t 时混凝土的应力； 其余符 号的含义见下文。
2010 ） ［1］（ 简称混规） 没有给出钢筋混凝土梁开裂荷 载的计算方法， 只给出了相应的裂缝控制验算， 不同 文献在推导其计算公式的过程中所考虑的因素和简 化方法不尽相同， 计算公式也有所不同。 而在工程 设计和试验研究中， 都会涉及到开裂荷载的取值， 有 必要对已有钢筋混凝土梁开裂荷载计算方法进行总 结研究， 为钢筋混凝土梁开裂荷载的计算提供较为 准确的参考。为此， 本文收集了现有的不同文献中 的关于开裂荷载的计算方法， 分析其推导过程， 并和 收集到的开裂荷载试验结果进行对比 ， 分析异同。 1 开裂荷载的计算方法 1. 1 顾祥林［2］计算方法 2］ 文献［ 中顾祥林提出的计算方法推导过程如 下所示： 当钢筋混凝土梁临近开裂， 即混凝土最大拉应 梁的受拉区混凝土开裂并退出工作 ， 变 ε = ε tu 时， 截面处于 I a 状态， 截面的计算简图如图 1 所示， 图中 ε tu 为混凝土的极限拉应变， 其中 ε t0 可取 ε tu = 2 ε t0 ， 为拉应力达到 f t 时混凝土的拉应变，f t 为混凝土的 抗拉强度； x n 为换算截面受压区高度； ξ n 为混凝土
图3 素混凝土梁临近开裂的状态
利用对压区合力作用点的力矩平衡条件 ΣM c = 0， 可求出截面的开裂弯矩 M cr ： M cr = f t b（ h － x cr ）
随梁截面高度 h 的增大， 混凝土开裂时的应变 塑 性 系 数 随 之 减 小， 梯度 （ 3 ． 73 ε tp / h ） 减 小， 其中 ε tp 为轴心受拉峰值应变。 根据混规建议对构件的 截面抵抗矩塑性影响系数 γ 按截面高度 h 加以修 正， 见下式： γ = （ 0． 7 + 120 ） γm h （ 400mm ≤ h ≤ 1 600mm） （ 12 ）
第 45 卷 第 6 期 可以认为压应力按线性 分布。由轴心受拉混凝 土的应力应变关系 （ 图 2 ） 以及受拉区混凝土的 应变分布（ 图 1 （ b ） ） ， 可 确定受拉区混凝土的拉 应力 分 布 如 图 1 （ c ） 中 的虚 线 所 示。 但 是， 开
等． 钢筋混凝土梁开裂荷载计算公式比较研究 刘运林，
［ 摘要］ 收集了现有的不同文献中钢筋混凝土梁开裂荷载的计算方法 ， 并和已有的试验结果进行对比分析 。 结果 表明： 不同计算方法主要区别在于是否考虑截面抵抗矩塑性影响系数 ， 是否考虑钢筋对计算截面惯性矩的影响 。 同时通过对比分析开裂荷载试验值与理论值得出 ， 过镇海计算方法得到的开裂荷载理论值与试验值更接近 ， 偏差 更小。 ［ 关键词］ 钢筋混凝土梁； 开裂荷载； 截面抵抗矩塑性影响系数 ； 弯曲抗拉强度 中图分类号： TU375 文献标识码： A 848X（ 2015 ） 06001404 文章编号： 1002-
式中 α E 为钢筋弹性模量 E s 和混凝土弹性模量 E c 之 比， 即 αE = E s / E c 。 对一般钢筋混凝土梁， Α s / bh = 0. 5 % ～ 2 % ， 将 Αs ， α E 代入式 （ 4 ） 可得 x cr = αE = 6 ． 7 ～ 8 ． 0 。 0. 5 h。 将 x cr = 0 ． 5 h 代入式 （ 1 ） 可得开裂截面的曲 率为： cr 2 ε tu = h （ 5）
( h －2 x
x cr ） 3
cr
+
2 x cr + 3 （ 6） Αs ， 则有： bh （ 7）
)
2 α E f t Α s （ h0 －
令 αΑ = 2 αE 设 h0 = 0 ． 92 h， 1. 2 过镇海计算方法 过镇海
［3 ］
钢筋混凝土梁受拉区临近开裂时的应变值很 小， 受压区应力分布接近三角形， 拉区改用名义弯曲 抗拉强度 f t， 可以用换算截面法计算开裂弯矩， f 后， 见下式： M cr = γ m W0 f t （ 13 ）
Comparative study on calculation formula of crack load for reinforced concrete beam
2 Liu Yunlin1， ，Chu Dehua1 ，Liu Jianjun1 ，Chong Xun2
（ 1 School of Civil Engineering，Anhui Jianzhu University，Hefei 230601 ，China； 2 School of Civil Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009 ，China） Abstract： The calculation methods of crack load for reinforced concrete beam in the existing literatures were collected，and were compared with existing experimental results． Ｒesults show that the main difference of formulas lies in whether to consider plastic influence coefficient of sectional resistance moment and the effect of reinforcement on the calculation sectional inertia moment． Comparative analyses on test result and theoretical value of crack load show that theoretical value of crack load according to Guo Zhenhai calculation method is close to the experimental value with smaller deviation． Keywords： reinforced concrete beam； crack load； plastic influence coefficient of sectional resistance moment； flexural tensile strength
t c t c
（ 图 3 （ c） ） 简化为图 3 （ d ） 所示的图形， 最大压应力 x 2 f 。建立水平力的平衡方程： 为 h －x t 1 x 3 ·2 f t = b ( h － x ) f t bx h －x 2 4 （ 8）
解得受压区高度 x = 0 ． 464 h，顶面最大压应力为 1. 731 f t 。由此即可计算截面开裂弯矩 M cr ： M cr = 0 ． 256 f t bh2 （ 9） 如果按弹性材料计算， 即假设应力图为直线分 布（ 图 3 （ e ） ） ， 素混凝土梁开裂时的名义弯曲抗拉 强度 f t， f： f t， f = M cr ≈ 1 ． 536 f t bh2 / 6 （ 10 ）
* 国家自然科学基金 （ 50908071 ， 51378167 ， 51278519 ） ， 安徽省自然 科学基金资助项目 （ 1408085MKL45 ） ， 安徽省重点实验室计划项目 （ 1106c0805024 ） ， 博士科研启动基金（ 20142041 ） 。 Email： 1016265123@ qq． com。 通讯作者： 储德华， 硕士研究生，
15
当混凝土临近开裂前， 梁的截面保持 裂弯矩（ 图 3 ） ， 平截面变形。假设混凝土的最大拉应变达到 2 倍轴 心受拉峰值应变 ε t0 时即将开裂。 此时受拉区应力 分布与轴心受拉素混凝土梁的应力应变曲线相似 （ 图 2） ， 受压区应力很小， 远低于混凝土的抗压强 度， 受压区应力仍接近三角形分布。 将截面应力图